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Fonctions de plusieurs variables

Plan du chapitreII ntroductionà l at opologiede Rn................................2 A - L an ormeeu clidiennesu rRn.......................................2 B - L ad istanceeu clidiennesu rRn.....................................2 C - T opologiede Rn.....................................................3 II Géné ralitéssur les fonct ionsde pl usieursv ariables ............5 A - R eprésentationg raphiqued "unef onctionde deu xv ariables . .....5 B -

L imiteet cont inuité

III

C alculd ifférentiel

A -

D érivéespar tielles

B - A pplicationsde classe C1.......................................... 7 C - D érivéespar tiellesd "unefon ctionc omposée ......................8 D - A pplicationsde class eC2.......................................... 9 IV

Extr emumsd "unefonc tionde p lusieursv ariables

..............9 V

M éthodes

A - Résou dreu neéq uationau xd érivéespar tielles . ..................11 B - Résoudr eun système d "équationsaux dér ivéesp artielles ........12 C - D éterminerles extr emumsg lobauxd "unef onction . .............13 Introduction La notion de fonctions de plusieurs variables apparait très tôt en physique où l"on étudie souvent des grandeurs dépendant de plusieurs paramètres. Le mathémati- ses traitésVera circuliethyperbolae quadraturapubliés en 1667 : "une fonction est une quantité obtenue à partir d"autres quantités par une succession d"opérations algébriques ou par n"importe quelle opération imaginable». La notion de dérivée partielle s"est développée à la fin de XVII esiècle lorsque New- ton fonda le calcul différentiel. Durant cette période, les fonctions de plusieurs va- riables gagnent en importance : de nombreux problèmes issus de la géométrie ou de la mécanique conduisaient naturellement à la résolution d"équations aux déri- vées partielles. Il subsiste néanmoins des faiblesses dans l"utilisation des fonctions de plusieurs variables : elle manque de rigueur, principalement à cause de la mauvaise compré- les dérivées partielles. Dans ce chapitre, on commencera par introduire les bases de la topologie afin de généraliser notamment les notions d"intervalle ouvert et de segment. Dans un se- cond temps, nous étendrons la notion de continuité et les outils du calcul diffé- rentiel aux fonctions de plusieurs variables. Nous verrons notamment comment résoudre certaines équations aux dérivées partielles et comment déterminer les ex- tremums globaux d"une fonction de deux variables. 1/ 14 I.A -

La nor mee uclidiennes urRnDéfinition(N ormee uclidienne): La norme euclidienne sur l"espace vectorielRn

est l"applicationk¢k:Rn!Rdéfinie par

8xAE(x1,...,xn)2Rn,kxkAEqx

21Å¢¢¢Åx2n.Illustration :La norme permet de mesurer la longueur d"un vecteur comme le

montre la figure ci-dessous.xkxkx 2x

1Proposition1 : La norme euclidienne vérifie les propriétés suivantes.

(i)

P ositivité: pour tout x2Rn, on akxk>0,

(ii) Sé paration: p ourtout x2Rn, on akxkAE0 si et seulement sixAE0, (iii) H omogénéité: pou rt outx2Rnet tout¸2R, on ak¸¢xkAEj¸j¢kxk, (iv)

I négalitét riangulaire: pour tou t( x,y)2(Rn)2, on akxÅyk6kxkÅkyk.Illustration :La figure ci-dessous représente l"inégalité triangulaire pour la norme

euclidienne.xyxÅyI.B -La d istanceeuclidi ennesur RnDéfinition( Distanceeucl idienne): La distance euclidienne surRnest l"applica-

tiond:Rn£Rn!Rdéfinie par

8(x,y)2Rn£Rn,d(x,y)AEkx¡yk.Illustration :Si l"on considère les éléments deRncomme des points, la distance

euclidienne permet de mesurer la longueur entre deux points comme le montre la figure ci-dessous.xy d(x,y)Proposition2 : La distance euclidienne vérifie les propriétés suivantes. (i) P ositivité: pour tou t( x,y)2(Rn)2, on ad(x,y)>0. (ii) Sépar ation: p ourtout ( x,y)2(Rn)2, on ad(x,y)AE0 si et seulement sixAEy. (iii) S ymétrie: pour tou t( x,y)2(Rn)2, on ad(x,y)AEd(y,x). (iv) I négalitét riangulaire: pour t out( x,y,z)2(Rn)3, on a

d(x,z)6d(x,y)Åd(y,z).Illustration :La figure ci-dessous représente l"inégalité triangulaire pour la dis-

tance euclidienne.xyz d(x,y)d(y,z)d(x,z)2/14 (i)

La bou leou vertede cen treaet de rayonrest

B(a,r)AE{x2Rnjd(a,x)Çr}.

(ii)

L abou lefer méede c entreaet de rayonrest

B f(a,r)AE{x2Rnjd(a,x)6r}.Exemples 1 : a) D ansR, on aB(a,r)AE]a¡r,aÅr[ etBf(a,r)AE[a¡r,aÅr]. b)

D ansR2, les boules sont des disques.ar

ar B(a,r)Bf(a,r)Définition(P artieb ornée): On dit qu"une partiedeRnest bornée s"il existe un

pointa2Rnet un réelrÈ0 tels que½B(a,r).Illustration :Autrement dit, une partieest bornée si elle est contenue dans une

boule ouverte.B(a,r)aDéfinition(P artieouv erte/ fer mée): Soitune partie deRn. (i)

O ndit q ueest une partie ouverte si

8a2,9rÈ0,B(a,r)½.

(ii)

O ndit que est une partie fermée si son complémentaire est ouvert.Illustration :Voici des exemples avec des partiesdeR2.aa

0aa

0Exemple d"une partie ouverte Exemple d"une partie fermée

Remarques 1 :

a) I ntuitivement,une par tiede Rnest ouverte si elle ne contient aucune partie de son bord. b) I ntuitivement,u nep artied eRnest fermée si elle contient tout son bord.

Exemples 2 :

a) L "intervalle] a,b[ est un ouvert deRet l"intervalle [a,b] est un fermé deR. b) S ia2RnetrÈ0, alors la boule ouverteB(a,r) est un ouvert deRnet la boule ferméeBf(a,r) est un fermé deRn. c) L "ensemble]0,1[£]0,1[estunouvertdeR2etl"ensemble[0,1]£[0,1]estunfermé deR2. la partie [0,1[ deRn"est pas ouverte et n"est pas fermée. 3/ 14 (i) O ndit q uel ep ointaest intérieur às"il existerÈ0 tel queB(a,r)½. (ii)

O ndit qu ele point aest extérieur às"il existerÈ0 tel queB(a,r)\AE?.Illustration :Sur le schéma ci-dessous le pointsaest intérieur à, le pointbest

extérieur àet le pointcn"est ni un point intérieur ni un point extérieur à. ab c

Remarques 2 :

a) I ntuitivement,l "ensembled esp ointsint érieursd "unepa rtiedeRnestprivé de son bord. b) I ntuitivement,l "ensembledes poin tsext érieursd "unepar tiesont les points qui ne sont ni dansni dans son bord. c) L "ensembledespointsintérieursd"unepartiedeRnestunepartieouvertedeRn.

Exemples 3 :

a) L "ensembledes point sint érieursde [ a,b], [a,b[, ]a,b] ou ]a,b[ est ]a,b[. b) L "ensembledes point sint érieursde B(a,r) ouBf(a,r) estB(a,r). c) L "ensembledes poin tsint érieursde [0 ,1]£[0,1] est ]0,1[£]0,1[. d) L "ensembledespointsextérieursde[a,b],[a,b[,]a,b]ou]a,b[estlaréuniondes

intervalles ]¡1,a[ et ]b,Å1[.Définition(P ointa dhérent): Un pointa2Rnest adhérent à une partiedeRn

si pour tout réelrÈ0, on aB(a,r)\6AE?.Illustration :Sur le schéma ci-dessous les pointsaetbsont adhérents à, mais

pas le pointc. abc Remarque 3 :Intuitivement, les points adhérents à une partiedeRnsont les points de la réunion entreet son bord.

Exemples 4 :

a) L "ensembledes point sadh érentsde [ a,b], [a,b[, ]a,b] ou ]a,b[ est [a,b]. b) L "ensembledes point sadh érentsde B(a,r) ouBf(a,r) estBf(a,r). c)

L "ensembledes point sadh érentsde [0 ,1[£]0,1] est [0,1]£[0,1].Définition(F rontière): La frontière (ou le bord) d"une partiedeRn, notée@,

est l"ensemble des points adhérents àqui ne sont pas intérieur à.Illustration:Au vu des remarques précédentes, la frontière correspond bien à l"in-

tuition que l"on s"en fait sur des exemples simples.@Une partieLa frontière de 4/ 14 a) L af rontièrede [ a,b], [a,b[, ]a,b] ou ]a,b[ est {a,b}. b) L af rontièrede B(a,r) ouBf(a,r) est la sphèreS(a,r)AE{x2Rnjd(a,x)AEr}. c) L af rontièrede [0 ,1[£]0,1] est le carré dont les sommets sont les points de coor- données (0,0), (1,0), (0,1) et (1,1). II - Gé néralitéssur le sfonc tionsde p lusieursv ariables

II.A -

R eprésentationgra phiqued "unef onctiond ed euxv ariables

fonction de deux variables par une surface.Définition(S urfacer eprésentative): Sif:!Rest une application oùest

une partie non vide deR2, alors la surface représentative de l"applicationfest l"ensemble S

fAE{(x,y,f(x,y))2R3j(x,y)2}.Illustration :On peut tracer la surface représentative d"une fonction de deux va-

riables.x 0y

0f(x0,y0)

xyzII.B -Limite et c ontinuité

On fixe une applicationf:!Roùest une partie non-vide deRn.Définition(Limite en un p oint): Soientaun point adhérent àet`2R. On dit

quefa pour limite`enasi

On note lim

x!af(x)AE`.Remarque 4 :Dans le cas oùnAE1, on ad(x,a)AE jx¡aj, donc on retrouve la défi-

nition de la limite pour une fonctionf:I!RoùIest un intervalle deR.Définition(C ontinuitéen un poi nt): Soita2. On dit que la fonctionfest

continue enasi limx!af(x)AEf(a).Définition(Continuitésurunepartie):On dit quefest continue sursi elle est

continue en tout point de.Notation :On noteC0(,R) l"ensemble des fonctions continues dedansR. ATTENTION :Une fonctionf:!Rcontinue par rapport à chacune de ses va- riables n"est pas nécessairement continue. Par exemple, l"applicationf:R2!R définie par f(x,y)AE8 :xyx

2Åy2si (x,y)6AE(0,0)

0 si (x,y)AE(0,0).

n"est pas continue en (0,0) car pour tout réelt6AE0, on a f(t,t)AEt22t2AE12

¡¡¡!t!012

6AE0AEf(0,0).

Cependant, l"applicationx7!f(x,y) est continue surRpour touty2Ret l"applica- tiony7!f(x,y) est continue surRpour toutx2R2. 5/ 14 continue surRn.Proposition3 : Soient (f,g)2C0(,R)2et¸2R. Alors (i)

Les fon ctionfÅg,¸fetf gsont continues sur,

(ii)

S igne s"annule pas sur, la fonctionfg

est continue sur.Exemples 7 : a) L esa pplicationspoly nomialesf:Rn!Rsont continues surRn. Par exemple, l"applicationf:R2!Rci-dessous est continue surR2 f(x,y)AE3x3yÅx2y3Å2xÅ3yÅ6. b) L esapplicationsrationnellessontcontinuessurleurensemblededéfinition.Par exemple, l"applicationf:R2\{(0,0)}!Rci-dessous est continue surR2\{(0,0)} f(x,y)AEx2¡y2Å3xyÅ1x

2Åy2.Théorème1 : Sif:!Rest une fonction continue et siest une partie fermée

et bornée deRn, alors la fonctionfest bornée suret elle atteint ses bornes.III -C alculdi fférentiel

Dans cette partie, on considère une applicationf:U!RoùUest unouvertnon- vide deRn.

III.A -

D érivéespar tielles

On noteBAE(e1,...,en) la base canonique deRn.Définition(Dé rivéespa rtiellesd "ordre1) : Soienta2Ueti2J1,nK. On appelle

dérivée partielle d"ordre 1 defau pointapar rapport à lai-ième variable, sous réserve d"existence, le nombre .Remarques 5 : a) D ansl ec asoù nAE2 ounAE3, on note souvent les dérivées partielles @f@x,@f@you@f@x,@f@y,@f@z. b) L adér ivéepar tielled "ordre1 de fau pointapar rapport à lai-ième variable est par définition la dérivée enaide la fonction d"une variable x i7!f(a1,...,ai¡1,xi,aiÅ1,...,an). tion d"une variable. 6/ 14 mettant des dérivées partielles en un point (x0,y0)2½R2. Les dérivées partielles de l"applicationfau point (x0,y0) sont les dérivées des fonctions réelles d"une va- riablex7!f(x,y0) enx0ety7!f(x0,y) eny0tracées ci-dessous.x 0y

0f(x0,y0)yzy7!f(x0,y)xzx7!f(x,y0)xyz

Exemple 8 :On définitf:R2!Rparf(x,y)AE3x2yÅ2xÅsin(y). Quandy2Rest fixé, la fonctionx!f(x,y) est dérivable surR, donc la dérivée partielle defpar rapport à la première variable existe et on a @f@x(x,y)AE6xyÅ2. De même, lorsquex2Rest fixé, la fonctiony!f(x,y) est dérivable surR, donc la dérivée partielle defpar rapport à la seconde variable existe et on a

@f@y(x,y)AE3x2Åcos(y).Définition(G radient): Soita2U. Si les dérivées partielles d"ordre 1 existent au

pointa, on définit le gradient defenapar

2Rn.Exemple 9 :L"applicationf:R2!Rdéfinie parf(x,y)AExyadmet des dérivées

partielles et on arf(x,y)AE(y,x).Définition(P ointcr itique): Soita2U. On dit queaest un point critique defsi

les dérivées partielles d"ordre 1 existent et si , rf(a)AE0.Exemple 10 :L"applicationf:R2!Rdéfinie parf(x,y)AExyadmet (0,0) pour unique point critique.

III.B -

A pplicationsd ec lasseC1Définition( Applicationd ecl asseC1): On dit quefest de classeC1surUsi ses

dérivées partielles d"ordre 1 existent en tout point deUet sont continues surU.Notation :On noteC1(U,R) l"ensemble des fonctions de classeC1surU.Proposition4 : Soient (f,g)2C1(U,R)2et¸2R. Alors

(i) Les fon ctionfÅg,¸fetf gsont de classeC1surU, (ii)

S igne s"annule pas surU, la fonctionfg

est de classeC1surU.Exemple 11 :Les applications rationnelles sont de classeC1sur leur ensemble de définition. 7/ 14 de classeC1surU, alors pour touthAE(h1,...,hn)2Rntel queaÅh2U, on a f(aÅh)AEf(a)ÅÃ nX iAE1@f@xi(a)hi!

Åo(khk).Corollaire1 : Sifest de classeC1surU, alorsfest continue surU.III.C -Dér ivéespar tiellesd "unef onctionc omposée

Dans cette partie, on considère une applicationf:U!RoùUest unouvertnon- vide deR2.Théorème2 : Soit (x,y):I!U½R2une fonction vectorielle de classeC1définie sur un intervalleIdeR. Sif:U!Rest de classeC1, alors la fonction

F:I!R,F(t)AEf(x(t),y(t))

est de classeC1surIet pour toutt2I, on a F

0(t)AE@f@x(x(t),y(t))¢x0(t)Å@f@y(x(t),y(t))¢y0(t).Remarque 6 :Par abus de notation, on écrit parfois cette relation sous la forme

définie parF(t)AEf(t2,t3). En appliquant le théorème précédent, on obtient queF est de classeC1et que

8t2R,F0(t)AE2t@f@x(t2,t3)Å3t2@f@y(t2,t3).Théorème3 : Soient (x,y) :O!U½R2une fonction de classeC1définie sur un

ouvert non-videOdeR2. Sif:U!Rest de classeC1, alors la fonction

F:O!R,F(u,v)AEf(x(u,v),y(u,v))

est de classeC1surOet pour tout (u,v)2O, on a

@F@v(u,v)AE@f@x(x(u,v),y(u,v))¢@x@v(u,v)Å@f@y(x(u,v),y(u,v))¢@y@v(u,v).Remarque 7 :Par abus de notation, on écrit parfois ces relations sous la forme ré-

Exemple 13 (Transformation linéaire) :Si on écritxAEauÅbvetyAEcuÅdvavec un quadruplet (a,b,c,d)2R4, alors on a les dérivées partielles @x@uAEa,@y@uAEc,@x@vAEb,@y@vAEd. Sif:R2!Rest une fonction de classeC1, alors l"applicationF:R2!Rdéfinie par

8(u,v)2R2,F(u,v)AEf(auÅbv,cuÅdv)

est de classeC1et on a @F@u(u,v)AEa@f@x(x,y)Åc@f@y(x,y), @F@v(u,v)AEb@f@x(x,y)Åd@f@y(x,y). 8/ 14 alors on a les dérivées partielles @x@rAEcos(µ),@y@rAEsin(µ),@x@µ

AE¡rsin(µ),@y@µ

AErcos(µ).

est de classeC1et on a @F@µ

III.D -

A pplicationsde cla sseC2Définition(Dér ivéespa rtiellesd "ordre2) : Les dérivées partielles d"ordre 2 de

l"applicationfsont, sous réserve d"existence, les dérivées partielles d"ordre 1 des applications @f@x1,...,@f@xn.Notation :L"application@@xjµ est laj-ième dérivée partielle de lai-ième déri- vée partielle def. On la note plus simplement@2f@xj@xi.

Remarques 8 :

a) A pr iori,il y a n2dérivées partielles d"ordre 2. b) D ansl ecas où nAE2, il y a donc quatre dérivées partielles d"ordre 2 que l"on note souvent

@2f@x2,@2f@x@y,@2f@y@x,@2f@y2.Définition( Applicationd ecl asseC2): On dit quefest de classeC2surUsi ses

dérivées partielles d"ordre 2 existent et sont continues surU.Notation :On noteC2(U,R) l"ensemble des fonctions de classeC2surU.Proposition5 : Soient (f,g)2C2(U,R)2et¸2R. Alors

(i) Les fon ctionfÅg,¸fetf gsont de classeC2surU, (ii)

S igne s"annule pas surU, la fonctionfg

est de classeC2surU.Exemple 15 :Les applications rationnelles sont de classeC2sur leur ensemble de définition.Théorème de Schwarz: Sif:U!Rest une application de classeC2, alors

8(i,j)2J1,nK2,@2f@xi@xjAE@2f@xj@xi.IV -Ext remumsd "unef onctionde plu sieursv ariables

On considère une applicationf:!Roùest une partie non-vide deR2.Définition(M aximum/ m inimum/ e xtremumg lobal): Soita2.

(i) O ndit que la f onctionfadmet un maximum global enaet quef(a) est le maximum global defsif(x)6f(a) pour toutx2. (ii) O ndit q uel af onctionfadmet un minimum global enaet quef(a) est le minimum global defsif(x)>f(a) pour toutx2. (iii) O ndi tqu ela fon ctionfadmet un extremum global enaet quef(a) est un extremum global sifadmet un maximum global ou un minimum glo- bal ena.9/14 (i) O ndit q uel afonc tionfadmet un maximum local enaet quef(a) est un maximum local defs"il existe un réelrÈ0 tel que

8x2B(a,r)\,f(x)6f(a).

(ii) O ndit qu el af onctionfadmet un minimum local enaet quef(a) est un minimum local defs"il existe un réelrÈ0 tel que

8x2B(a,r)\,f(x)>f(a).

(iii) O ndit qu efadmet un extremum local enaet quef(a) est un extremum

local defsifadmet un maximum local ou un minimum local ena.Exemple 16 :On peut repérer les extremums d"une fonction sur sa surface repré-

sentative comme ci-dessous.¡2024¡2024¡2¡1012Maximum globalMaximums locaux

Minimum

globalMinimums locaux xyzRemarques 9 : a) U nmaximum (r espectivementminimum, ext remum)global est aussi un ma xi- mum (respectivement minimum, extremum) local. b) L aré ciproquede cet tep ropriétéest fa ussecomme on peut l "observersur la sur - face précédente.Proposition6 : Soitf:U!Rune application de classeC1définie sur un ouvert non videUdeRn. Sifadmet un extremum local en un pointa2U, alorsaest un

point critique def.ATTENTION :La réciproque de la proposition précédente est fausse. Par exemple,

si on considère l"applicationf:R2!Rdéfinie parf(x,y)AEx2¡y2, alors (0,0) est un point critique def, maisfn"admet pas d"extremum local en (0,0). On peut le remarquer sur la surface représentative def.¡101¡101¡101 xyz 10/ 14 V.A - Ré soudreune éq uationa uxd érivéespar tielles

Il n"y a pas de méthode générale de résolution pour les équations aux dérivées par-

tielles. On utilise souvent des changements de variable qui sont donnés dans les énoncés. Nous allons traiter plusieurs exemples. Exemple 17 (Transformation affine) :On cherche les fonctionsf:R2!Rde classesC1vérifiant@f@xÅ@f@yAEf. (E)

On utilise le changement de variable

,u¡v2 D"après les théorèmes de compositions, la fonction

F:R2!R,F(u,v)AEf³uÅv2

|{z} x, u¡v2 |{z} y´ est de classeC1et on a

On en déduit que

fest solution de (E),@F@uAE12 F. C"est une équation différentielle d"ordre 1 enuque l"on sait résoudre. On en déduit qu"il existe une fonctionh:R!Rde classeC1telle que

8(u,v)2R2,F(u,v)AEh(v)exp³u2

Finalement, on obtient que les solutions de (E) sont les fonctions

oùh:R!Rest une fonction de classeC1.Exemple18(Passageencoordonnéespolaires):On souhaite déterminer les fonc-

x @f@xÅy@f@yAE0. (E) On passe en coordonnées polaires (x,y)AE(rcos(µ),rsin(µ)). La fonction

¡¼2

,¼2 h !R,F(r,µ)AEf(rcos(µ)|{z} x,rsin(µ)|{z} y) est de classeC1d"après les théorèmes de compositions, et on a AE 1r

On en déduit que

quotesdbs_dbs21.pdfusesText_27