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Seconde 2 IE3 sens de variation ² fonctions affines 2014-2015 S1 1
Exercice 1 : (2 points)
3URSRVHU XQ PMNOHMX GH YMULMPLRQV HP XQH ŃRXUNH G·XQH IRQŃPLRQ I GpILQLH VXU K :
décroissante sur ]- ;5[ et sur ]9 ;+ [ ; croissante sinon ; HOOH ŃRXSH O·M[H GHV MNVŃLVVHV HQ 4, 7 et 11 ; elle atteint un maximum relatif en 9 égal à 2.Exercice 2 : (4,5 points)
ABCD est un rectangle inscrit dans un demi-
cercle de centre O et de rayon 6 cm comme indiqué sur la figure ci-contre. Ses côtés ont des longueurs variables ; on noteY la longueur AB en cm.
1) a) Dans quel intervalle varie Y ?
b) Justifier que OA² + Y² = 36. c) En déduire OA, puis AD en fonction de Y. d) ([SULPHU O·MLUH 6Y), en cm², du rectangle ABCD en fonction de Y.2) a) $ O·MLGH GH OM ŃMOŃXOMPULŃH GpPHUPLQHU XQH YMOHXU MSSURŃOpH GX PM[LPXP GH OM
fonction S et de la valeur Y0 pour laquelle il est atteint. b) Dresser le tableau de variation de la fonction S.Exercice 3 : (3,5 points)
1) Déterminer la fonction affine f telle que f(-1) = 3 et f(1) = -1
2) Soit g la fonction définie par g(x) = x² - (x + 2)²
a) Montrer que g est une fonction affine. b) Donner le sens de variation de g en justifiant. c) 5pVRXGUH O··LQpTXMPLRQ J[ 0B Seconde 2 IE3 sens de variation ² fonctions affines 2014-2015 S2 2Exercice 1 : (2 points)
3URSRVHU XQ PMNOHMX GH YMULMPLRQV HP XQH ŃRXUNH G·XQH IRQŃPLRQ I GpILQLH VXU K :
croissante sur ] - ;-2[ et sur ]3 ;+ [ ; décroissante sinon ; HOOH ŃRXSH O·M[H GHV MNVŃLVVHV HQ -4 et 1 ; elle atteint un minimum relatif en 3 égal à -6.Exercice 2 : (4,5 points)
Un logo publicitaire doit avoir la forme ci-contre. M est un point G·MNVŃLVVH [ de la courbe $ représentant la fonction f définie sur [0 ;2] par f(x) = 4 ² x².1) ([SULPHU O·MLUH GX PULMQJOH 20+ HQ IRQŃPLRQ GH [B
2) 2Q ŃRQVLGqUH OM IRQŃPLRQ 6 TXL j [ MVVRŃLH O·MLUH GX
triangle OMH. a) $ O·MLGH GH OM ŃMOŃXOMPULŃH GpPHUPLQHU XQH YMOHXU approchée du maximum de la fonction S et de la valeur Y0 pour laquelle il est atteint.Donner des valeurs approchées au dixième.
b) Dresser le tableau de variation de la fonction S.Exercice 3 : (3,5 points)
1) Déterminer la fonction affine f telle que f(-1) = -5 et f(2) = 4
2) Soit g la fonction définie par g(x) = x² - (x + 3)²
a) Montrer que g est une fonction affine. b) Donner le sens de variation de g en justifiant. c) 5pVRXGUH O··LQpTXMPLRQ J[ 0B Seconde 2 IE3 sens de variation ² fonctions affines 2014-2015 S1CORRECTION
3Exercice 1 : (2 points)
3URSRVHU XQ PMNOHMX GH YMULMPLRQV HP XQH ŃRXUNH G·XQH IRQŃPLRQ I GpILQLH VXU K :
décroissante sur ]- ;5[ et sur ]9 ;+ [ ; croissante sinon ; HOOH ŃRXSH O·M[H GHV MNVŃLVVHV HQ 4, 7 et 11 ; elle atteint un maximum relatif en 9 égal à 2.Exercice 2 : (4,5 points)
ABCD est un rectangle inscrit dans un demi-
cercle de centre O et de rayon 6 cm comme indiqué sur la figure ci-contre. Ses côtés ont des longueurs variables ; on noteY la longueur AB en cm.
1) a) Dans quel intervalle varie Y ?
b) Justifier que OA² + Y² = 36. c) En déduire OA, puis AD en fonction de Y. d) ([SULPHU O·MLUH 6Y), en cm², du rectangle ABCD en fonction de Y.2) a) $ O·MLGH GH OM ŃMOŃXOMPULŃH GpPHUPLQHU XQH YMleur approchée j O·XQLPp du maximum
de la fonction S et de la valeur Y0 (au dixième) pour laquelle il est atteint. b) Dresser le tableau de variation de la fonction S. x f(x) 5 9 2 Seconde 2 IE3 sens de variation ² fonctions affines 2014-2015 S1CORRECTION
41) a) AB varie entre 0 et le rayon du cercle.
Donc x [0 ;6].
b) En appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle OAB rectangle en A, on a :OB² = AB² + OA²
Soit 6² = Y² + OA²
Soit : OA² + Y² = 36
c) OA² = 36 ² Y²Donc OA = 36 ² Y²
AD = 2OA = 236 ² Y²
d) S(x) = ABAD = 2Y36 - Y² 2) a)Avec la calculatrice PUMŃp GH OM ŃRXUNH MVVRŃLpH j OM IRQŃPLRQ 6 VXU O·LQPHUYMOOH L0 ;6]
Avec la calculatrice : table de valeurs à partir de 4 avec un pas de 0,1 : Seconde 2 IE3 sens de variation ² fonctions affines 2014-2015 S1CORRECTION
5Tracé plus précis de la courbe UHSUpVHQPMQP OM IRQŃPLRQ I MYHŃ XQ JUMSOHXU *UMSO·(MV\ :
Par lecture graphique le maximum est environ 36 et il est atteint en x0 4,2.Remarque :
Vous apprendrez à calculer la valeur exacte de x0 O·MQ SURŃOMLQ MYHŃ OM GpULYpH GH OM IRQŃPLRQ 6B
On peut montrer que x0 = 32 4,24
On vérifie que S(32) = 23236 ² (32)²= 6236 - 18 = 6218 = 66 = 36La valeur exacte du maximum est donc 36.
b)Exercice 3 : (3,5 points)
1) Déterminer la fonction affine f telle que f(-1) = 3 et f(1) = -1
2) Soit g la fonction définie par g(x) = x² - (x + 2)²
a) Montrer que g est une fonction affine. b) Donner le sens de variation de g en justifiant. c) 5pVRXGUH O··LQpTXMPLRQ J[ 0B1) Comme f est une fonction affine, on a f(x) = ax + b
avec a = f(1) ² f(-1)1 ² (-1) = -1 ² 3
2 = -2
f(1) = -1 Ù -21 + b = -1Ù b = -1 + 2 = 1
Donc f(x) = -2x + 1
Vérification : f(-1) = -2(-1) + 1 = 3 et f(1) = -21 + 1 = -1 x S(x) 0 0 Y0 366 0 Seconde 2 IE3 sens de variation ² fonctions affines 2014-2015 S1
CORRECTION
6Autre méthode :
f(x) = f(1) ² f(-1)1 ² (-1)(x ² 1) + f(1) = -2(x ² 1) ² 1 = -2x + 2 ² 1 = -2x + 1
2) a) g(x) = x² - (x² + 4x + 4) = -4x ² 4
g(x) est de la forme ax + b avec a = -4 et b = -4.Donc g est bien une fonction affine
b) Comme a = -4 < 0, alors g est une fonction décroissante sur K. c) g(x) < 0 Ù -4x ² 4 < 0Ù -4x < 4
Ù x > 4
-4 IH VHQV GH O·LQpTXMPLRQ ŃOMQJH ŃMU on divise par un nombre négatif.)Ù x > -1
I·HQVHPNOH GHV VROXPLRQV GH ŃHPPH LQpTXMPLRQ HVP GRQŃ 6 @-1 ; + [. Seconde 2 IE3 sens de variation ² fonctions affines 2014-2015 S2CORRECTION
7Exercice 1 : (2 points)
3URSRVHU XQ PMNOHMX GH YMULMPLRQV HP XQH ŃRXUNH G·XQH IRQŃPLRQ I GpILQLH VXU K :
croissante sur ] - ;-2[ et sur ]3 ;+ [ ; décroissante sinon ; HOOH ŃRXSH O·M[H GHV MNVŃLVVHV HQ -4 et 1 ; elle atteint un minimum relatif en 3 égal à -6. x f(x) -2 3 -6 Seconde 2 IE3 sens de variation ² fonctions affines 2014-2015 S2CORRECTION
8Exercice 2 : (4,5 points)
Un logo publicitaire doit avoir la forme ci-contre.0 HVP XQ SRLQP G·MNVŃLVVH [ GH OM ŃRXUbe $ représentant la
fonction f définie sur [0 ;2] par f(x) = 4 ² x².1) ([SULPHU O·MLUH GX PULMQJOH 20+ HQ IRQŃPLRQ GH [B
2) 2Q ŃRQVLGqUH OM IRQŃPLRQ 6 TXL j [ MVVRŃLH O·MLUH GX
triangle OMH. a) $ O·MLGH GH OM ŃMOŃXOMPULŃH GpPHUPLQHU XQH YMOHXU approchée du maximum de la fonction S et de la valeur Y0 pour laquelle il est atteint.Donner des valeurs approchées au dixième.
b) Dresser le tableau de variation de la fonction S.1) AOHM = OHHM
2 = x(4 ² x²)
2 2) a)Avec la calculatrice PUMŃp GH OM ŃRXUNH MVVRŃLpH j OM IRQŃPLRQ 6 VXU O·LQPHUYMOOH L0 ;2]
Avec la calculatrice : table de valeurs à partir de 1 avec un pas de 0,1 : Seconde 2 IE3 sens de variation ² fonctions affines 2014-2015 S2CORRECTION
97UMŃp SOXV SUpŃLV GH OM ŃRXUNH UHSUpVHQPMQP OM IRQŃPLRQ I MYHŃ XQ JUMSOHXU *UMSO·(MV\ :
Par lecture graphique le maximum est environ Max = 1,5 et il est atteint en x0 1,2.Remarque :
Vous apprendrez à calculer la valeur exacte de x0 O·MQ SURŃOMLQ MYHŃ OM GpULYpH GH OM IRQŃPLRQ 6B