2018–2019 Feuille d'exercices numéro 2 : Fonctions de plusieurs variables, limites et continuité Correction de quelques exercices non traités en TD Exercice
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Universite de Rennes 12018{2019
Feuille d'exercices numero 2 : Fonctions de plusieurs variables, limites et continuite Correction de quelques exercices non traites en TDExercice 1
Donner l'ensemble de denition des la fonctions suivantes : f(x; y) = ln(x+y); f(x; y) =py2x2; f(x; y) =ln(expx1)px2+y23;
f(x; y) =xx2y2; f(x; y) =1cos(xy); f(x; y) =ln(yx2)pxy
Exercice 2
Determiner le domaine de denition et tracer les courbes de niveau pour les valeurscindiquees pour les
fonctions suivantes : f(x; y) =xyx2+y2;c= 0;1=2;f(x; y) =x2y2;c= 0;1;f(x; y) =x2+yx+y2;c= 0;1;
f(x; y) =xyx+yxy ;c= 1;2;f(x; y) =x4+y48x2y2;c= 2;f(x; y) =xy jxyj;c=1;0;1:Solution:
5)f(x; y) =x4+y48x2y2; c= 2
Le domaine de denition defestDf=f(x;y)2R2;8x2y26= 0g=f(x;y)2R2;(xy)26= 8g=f(x;y)2 R2;p(xy)26=p8g=f(x;y)2R2;jxyj 6= 2p2g=R2 fjxyj= 2p2g:
Le domaine de denition defest le complementaire dansR2de la parabole d'equationjxyj= 2p2. La courbe de niveauf(x;y) = 2 est d'equationx4+y48x2y2= 2, ce qui donnex4+y4= 162x2y2qu'on ecrit(x2+y2)2= 16, en prenant la racine carree on obtientx2+y2= 4, on reconna^t l'equation du cercle centre
en l'origine et de rayon 2:Il faudrait retirer a ce cercle les points (x;y) pour lesquelsx2y2= 8, points qui ne
sont pas dans le domaine de denition def:Les points du cercle veriant cette relation verient :x2+8x 2= 4 c-a-dx44x2+ 8 = 0 qu'on peut ecrire sous la forme (x22)2+ 4 = 0:Mais (x22)2+ 44>0, d'ou, l'equation n'a pas de solutions dansR:Donc on ne retire aucun points, ainsi la courbe de niveauf(x;y) = 2 est le cercle centre en l'origine et de rayon
2:6)f(x; y) =xy jxyj; c=1;0;1
Le domaine de denition defestDf=R2:
Rappel :jxyj=(
xysixy (xy)sixy i) La c ourbede niv eauf(x;y) =1, est d'equationxyjxyj=1, alors sixy, on auraxyx+y=1, ce qui entra^ne 0 =1 ce qui est absurde, donc cette partie est vide; maintenant sixy, on aura
xy+xy=1, ce qui donne 2y= 2x+ 1 c-a-dy=x+12Ainsif(x;y) =1 est la droitey=x+12
:(dans ce cas on axy:) -2-112 2 1 12ii)La courb ede niv eauf(x;y) = 0, est d'equationxyjxyj= 0, alors sixy, on auraxyx+y= 0,
ce qui entra^ne 0 = 0 ce qui est toujours vrai, donc cette partie est egale a l'ensemble des points (x;y) tels
quexy; maintenant sixy, on auraxy+xy= 0, ce qui donne 2y= 2xc-a-dy=x:( qui est contenue dans la premiere partie)Ainsif(x;y) = 0 est le demi-planxy:
1.0-0.50.00.51.0
1.0 0.5 0.0 0.51.0iii)La courb ede niv eauf(x;y) = 1, est d'equationxyjxyj= 1, alors sixy, on auraxyx+y= 1,
ce qui entra^ne 0 = 1 ce qui est absurde, donc cette partie est vide; maintenant sixy, on aura xy+xy= 1, ce qui donne 2y= 2x1 c-a-dy=x12 mais alorsy < x, donc pas de solutionAinsif(x;y) = 1 est l'ensemble vide.
Exercice 3
Determiner le domaine de denition, les courbes de niveaux ac= 0;1;1;2;3 dans chacun des cas suivants :
f(x; y) =px2+y2; f(x; y) =xy
Solution:
1.Comme x2+y20,f(x;y) =px
2+y2est denie pour tout point (x;y)2R2, d'ou son domaine de
denitionDf=R2: (a)f(x;y) = 0 est equivalent ax=y= 0, ainsi la courbe de niveauf(x;y) = 0 est l'ensemblef(0;0)g: (b)f(x;y) = 1 est equivalent ax2+y2= 1, ainsi la courbe de niveauf(x;y) = 1 est le cercle centre en (0;0) et de rayon 1: (c)f(x;y) =1 est equivalent ax2+y2=1, qui n'a pas de solution, puisqu'un l'un est positif et l'autre negatif, ainsi la courbe de niveauf(x;y) =1 est l'ensemble vide;: (d)f(x;y) = 2 est equivalent ax2+y2= 2, ainsi la courbe de niveauf(x;y) = 2 est le cercle centre en (0;0) et de rayonp2: (e)f(x;y) = 3 est equivalent ax2+y2= 3, ainsi la courbe de niveauf(x;y) = 3 est le cercle centre en (0;0) et de rayonp3:2.f(x;y) =xy
est denie siy6= 0, ainsi domaine de denitionDf=f(x;y)2R2;y6= 0g=R2 fy= 0g: (a)f(x;y) = 0 est equivalent ax= 0, ainsi la courbe de niveauf(x;y) = 0 est l'axe desyprive de l'origine ( qui n'est pas dansDf). (b)f(x;y) = 1 est equivalent ax=y, ainsi la courbe de niveauf(x;y) = 1 est la droite d'equaation y=xprive de l'origine. (c)f(x;y) =1 est equivalent ax=y, ainsi la courbe de niveauf(x;y) =1 est la droite d'equaation y=xprive de l'origine. (d)f(x;y) = 2 est equivalent ax= 2y, ainsi la courbe de niveauf(x;y) = 2 est la droite d'equaation y=x2 prive de l'origine. (e)f(x;y) = 3 est equivalent ax= 3y, ainsi la courbe de niveauf(x;y) = 3 est la droite d'equaation y=x3 prive de l'origine.Exercice 4
Soit la fonctionf(x; y) = sinxsiny. Faire un dessin representant toutes les courbes de niveaux def:Solution:-10-50510
10 5 0 510Exercice 5
Determiner les limites suivantes quand elles existent : lim (x;y)!(0;0)exp(x2+y2)1x2+y2lim(x;y)!(0;0)sinxsinyxy
lim(x;y)!(0;0)sinxsinyx2+y2lim(x;y)!(0;0)xjyj
Exercice 6
Pour une fonctionz=f(x; y) on denit lorsqua cela est possible : l= lim(x;y)!(a;b)f(x; y); m= limx!a(limy!bf(x; y)); n= limy!b(limx!af(x; y))En utilisant les fonctions :
f(x; y) =x2y2x2+y2; f(x; y) =xyx
2+y2; f(x; y) =sinxy
; f(x; y) =sinyxainsi que le point (a; b) = (0;0) , montrer que l'on peut rencontrer les trois situations suivantes :
{Deux de ces trois limites existent mais pas la troisieme. {Une de ces trois limites existe sans que les deux autres existent. {Les limitesmetnexistent mais sont distinctes.Exercice 7
Etudier la continuite au point (0;0) des fonctions denies comme suit :8(x; y)6= (0;0);f(x; y) =jxy
jetf(0;0) = 1;8(x; y)6= (0;0);f(x; y) =x4+y4x2+y2etf(0;0) = 0
8(x; y)6= (0;0);f(x; y) =2x2y2+ 4xy4x2+y2etf(0;0) = 3;
8(x; y)6= ((0;0);f(x; y) =ysinxy
etf(0;0) = 0:Exercice 8
Determiner si les fonctions suivantes peuvent ^etre prolongees en l'origine : f(x; y) =x2yx2+y2+xy; f(x; y) =x3+y3x
2+y3; f(x; y) =x2y2x
2+y2; f(x; y) =x7+x4y+x3yx
6+x3y+y3:
Solution:On rappelle que pour prolonger une fonctionfpar continuite en un point (x0;y0) il faudrait montrer
que la limite def(x;y) lorsque (x;y) tend vers (x0;y0) existe.1.f(x;y) =x2yx
2+y2+xy:
En passant en coordonnees polaires, tout point (x;y)2R2 f(0;0)gest represente par (x;y) = (rcos;rsin) avecr=px2+y2:Alors lim(x;y)!(0;0)x2yx
2+y2+xy=r3cossinr
2(1+cossin)=rcossin1+cossin:
On a cossin=sin(2)2
d'oujcossinj 12 et par suite cossin1 + cossin cossin1 jcossinj 1112= 2:
Alors lim
r!0rcossin1+cossinlimr!02r= 0 on en deduit que lim (x;y)!(0;0)f(x;y) = lim(x;y)!(0;0)x 2yx2+y2+xy= limr!0rcossin1 + cossin= 0
doncfadmet un prolongement par continuite en (0;0) parf(0;0) = 0:2.f(x;y) =x3+y3x
2+y3: En considerant les cheminsx= 0 puisy= 0 on aura, limx!0f(x;0) = limx!0x3x2= limx!0x= 0
et lim y!0f(0;y) = limy!0y3y3= limy!01 = 1, comme ces deux limites sont dierentes, la fonction
f(x;y) =x3+y3x2+y3n'a pas de limite en (0;0), par suite elle n'admet pas de prolongement par continuite en
l'origine.3.f(x;y) =x2y2x
2+y2On a lim
x!0f(x;x) = limx!0x2x2x2+x2= limx!00 = 0 et limx!0f(x;0) = limx!0x2x
2= limy!01 = 1,
comme ces deux limites sont dierentes, la fonctionf(x;y) =x2y2x2+y2n'a pas de limite en (0;0), par suite
elle n'admet pas de prolongement par continuite en en l'origine.4.f(x;y) =x7+x4y+x3yx
6+x3y+y3:
En considerant les cheminsx= 0 puis la paraboley=x2on aura, limx!0f(x;0) = limx!0x3x 2= lim x!0x= 0 On a limx!0f(x;0) = limx!0x7x6= limx!0x= 0 et lim(x;y)!(0;0)
y=x2f(x;y) = limx!0f(x;x2) = lim x!0x7+x6+x5x6+x5+x6= limx!0x5(x2+x+1)x
5(2x+1)= limx!0x2+x+12x+1= 1, comme ces deux limites sont dierentes, la
fonctionf(x;y) =x7+x4y+x3yx6+x3y+y3n'a pas de limite en (0;0), par suite elle n'admet pas de prolongement par
continuite en l'origine.Exercice 9
Soit la fonctionfdenie comme suit :
f:R2!R=(x; y)!f(x; y) =( xy x2y2x2+y2si (x; y)6= (0;0) ;
0 si (x; y) = 0:
Etudier la continuite de cette fonction.
Exercice 10
Comment faut il choisir le nombre reelpour que la fonction denie comme suit : f:R2!R=(x; y)!f(x; y) =(1cospx
2+y2x2+y2si (x; y)6= (0;0) ;
si (x; y) = 0: soit continue?Exercice 11
Montrer que la fonction denie comme suit :
f:R2!R=(x; y)!f(x; y) =( x4y(yx2)siy(yx2)6= 0;0 siy(yx2) = 0:
n'est pas continue en l'origine mais que ses restrictions a toute droite passant par (0;0) sont continues.
Solution:Le but de l'exercice est de souligner qu'il ne sut pas de montrer que la restriction d'une fonction
a toute droite est continue en un point pour deduire qu'elle est continue en ce point. 1. Si on restrein tfa la droitey=x, on auraf(x;x) =x4x(xx2)=x4x(xx2)=x2(x), alors lim (x;y)!(0;0) y=xf(x;y) = limx!0x