Deux vecteurs non nuls, et sont colinéaires si, et seulement si, il existe un nombre réel non nul tel sont donc pas colinéaires Démonstration : (non nul) est un vecteur directeur d'une droite (d) signifie qu'il existe deux points distincts A et B
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sont colinéaires revient à dire que les coordonnées des deux vecteurs sont proportionnelles soit : xy' – yx' = 0 Démonstration : - Si l'un des Un point M(x ; y ) appartient à la droite D si et seulement si les vecteurs AM " x − x 0 y − y 0 ⎛
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relatives de ces deux droites : sécantes, strictement parallèles ou confondues On adopte alors la dans 乡 et parallèle à 3 Démonstration On généralise à l' espace la notion de vecteur déjà analysée dans le plan : on se donne deux
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Deux vecteurs non nuls, et sont colinéaires si, et seulement si, il existe un nombre réel non nul tel sont donc pas colinéaires Démonstration : (non nul) est un vecteur directeur d'une droite (d) signifie qu'il existe deux points distincts A et B
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si les vecteurs ⃗ et ′⃗⃗⃗ sont colinéaires Démonstration : D'après la définition, il existe deux points distincts et sur la droite de vecteur
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Deux droites distinctes de l'espace sont parallèles si elles sont coplanaires et si elles n'ont aucun point commun Démonstration Si d est parallèle à P et Caractérisation d'une droite - Vecteurs colinéaires et droites parallèles Définition
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Colinéarité de deux vecteurs
I) Propriété caractéristique de colinéarité de deux vecteurs :1) Définition
un nombre réel ࣅ non nul tel que ࢜Exemple :
Remarque :
• Deux vecteurs non nuls sont colinéaires si, et seulement si, ils ont la même direction. est colinéaire à tous les vecteurs.Exemples :
a) ݑ,& ( 2 ; - 3 ) et ݒԦ ( 10 ; - 15 ) sont colinéaires en effet 10 = 2 x 5 et -15 = -3 x 5
donc ݒԦ = 5 ݑ b) ݑ ,& ( 13 ; - 3
5 ) et ݒԦ ( 2
9 ; - 1
5 ) sont colinéaires en effet 2
9 = 1 3 x 23 et - 1
5 = 13 x- 3
5 donc ݒԦ = 1 3 c) ݑ ,& (4 ; 5 ) et ݒԦ (8 ; -10 ) ne sont pas colinéaires en effet : ,& 0 et ݒԦ 0 et s'il existe א ߣ Թ tel que ݒԦ = ߣݑ,& , alors 8 = ߣ -10 = ,& et ݒ& sont colinéaires2) Propriété
Dans un repère, on donne les vecteurs ࢛,,& (࢞ ; ࢟) et ࢜,,&(࢞ǯ ; ࢟')
,& et ࢜,,& sont colinéaires, si, et seulement si, ࢞ ࢟ǯ Ȃ࢟࢞ǯ = 0