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Enoncés : Stephan de Bièvre

Corrections : Johannes HuebschmannExo7

Dérivées partielles et directionnelles

Exercice 1

Déterminer, pour chacune des fonctions suivantes, le domaine de définitionDf. Pour chacune des fonctions,

calculer ensuite les dérivées partielles en chaque point du domaine de définition lorsqu"elles existent:

1.f(x;y) =x2exp(xy),

2.f(x;y) =ln(x+px

2+y2),

3.f(x;y) =sin2x+cos2y,

4.f(x;y;z) =x2y2pz.

Soitfla fonction surR2définie parf(x;y) =xcosy+yexpx. 1.

Calculer ses déri véespartielles.

2.

Soit v=(cosq;sinq),q2[0;2p[. CalculerDvf(0;0). Pourquelle(s)valeursdeqcettedérivéedirectionnelle

defest-elle maximale/minimale? Que cela signifie-t-il? Soitf:R!Rdérivable. Calculer les dérivées partielles de : g(x;y) =f(x+y);h(x;y) =f(x2+y2);k(x;y) =f(xy)

Soitf:R2!R, définie par

f(x;y) =xsijxj>jyj f(x;y) =ysijxjSoit la fonctionf:R2!Rdéfinie par f(x;y) =xyx2y2x

2+y2si(x;y)6= (0;0);

f(0;0) =0 Étudier la continuité def. Montrer quefest de classeC1.

Indication pourl"exer cice1 NPour calculer les dérivées partielles par rapport à une variable, interpéter les autres variables comme paramètres

et utiliser les règles de calcul de la dérivée ordinaires.Indication pourl"exer cice2 NInterpréter la dérivée directionnelle à l"aide de l"intersection du graphe de la fonction avec un plan convenable.

Indication pour

l"exer cice

3 NPourcalculerlesdérivéespartiellesparrapportàunevariable, interpréterlesautresvariablescommeparamètres

et utiliser les règles de calcul de la dérivée ordinaires.Indication pourl"exer cice4 NDistinguer tout de suite la partie triviale et la partie non triviale de l"exercice.

Indication pour

l"exer cice

5 NIl est évident que, en tout point(x;y)distinct de l"origine, la fonctionfest continue et que les dérivées partielles

y existent et sont continues. Il suffit de montrer quefest continue en(0;0)et que les dérivées partielles y

existent et y sont continues.2

Correction del"exer cice1 N1.Df=R2.

2.Df=f(x;y);x>0 ouy6=0g R2.

2+y2x+px

2+y2=1px

2+y2

2+y2x+px

2+y2=yx

px

2+y2+x2+y2

3.Df=R2.

4.Df=f(x;y;z);z6=0g R3.

pz

Correction de

l"exer cice 2 N1. quand sinq=cosq=p2 2 , c.a.d. quandq=p4 , et minimale quand sinq=cosq=p2 2 , c.a.d. quand q=54 p.

Signification géométrique: Le plan engendré par le vecteur(cosq;sinq;0)et l"axe deszrencontre le

graphez=f(x;y)en une courbe. Cette courbe est de pente maximale en valeur absolue pour cosq= sinq=p2 2 et cosq=sinq=p2 2 (même plan). Les deux signes s"expliquent par les deux orientations possibles de cette courbe (sens du paramétrage).Correction del"exer cice3 N3 jxjjyj, la fonction est continue et les dérivées partielles existent. Soitx6=0. Alorsfn"est ni continue en(x;x)ni en(x;x). Car lim (u;v)!(x;x) juj>jvjf(u;v) =limu!xu=x6=0; lim (u;u)!(x;x)f(u;u) =0; lim (u;v)!(x;x) juj>jvjf(u;v) =limu!xu=x6=0; lim (u;u)!(x;x)f(u;u) =0:

Par contre,fest continue en(0;0). Car

lim (u;v)!(0;0)f(u;v) =0 puisque f(u;v) =usijuj>jvj; f(u;v) =vsijujSoit(x;y)un point oùjxj=jyj. Il reste à étudier les dérivées partielles en un tel point(x;y). Soitx6=0. Alors

la fonctionhde la variabletdéfinie par h(t) =f(x+t;y) =( x+t;jx+tj>jyj y;jx+tjjy+tj; y+t;jxj2+y2reste borné, lim (x;y)!(0;0)f(x;y) =lim(x;y)!(0;0)xyx2y2x

2+y2=lim(x;y)!(0;0)xy=0

d"oùfest continue en(0;0). De même, lim (x;y)!(0;0)f(x;y)x =lim(x;y)!(0;0)yx2y2x

2+y2=lim(x;y)!(0;0)y=0

lim (x;y)!(0;0)f(x;y)y =lim(x;y)!(0;0)xx2y2x

2+y2=lim(x;y)!(0;0)x=0

d"où les dérivées partielles l"origine, 2y2x

2+y2=f(x;y)x

+4x2y3(x2+y2)2 2y2x

2+y2=f(x;y)x

+4x3y2(x2+y2)2:

Puisque

lim il s"ensuit que lim d"où les dérivées partiellesquotesdbs_dbs10.pdfusesText_16