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Décomposition de vecteurs et coordonnées
I) Décomposition de vecteurs :
1) Théorème 1:
A, B et C sont trois points non alignés, alors pour tout M, il existe un2) Démonstration
([LVPHQŃH GH OM GpŃRPSRVLPLRQ :
A est un point du plan du plan. La parallèle à (AB) passant par le point M coupe (AC) en M1. La parallèle à (AC) passant par M coupe (AB) en M2.AM1MM2 est donc un parallélogramme.
Finalement on obtient :
ࡹ,,,,,,,& = ࢞mo,,,,,& + ࢟mn,,,,,,& 8QLŃLPp GH OM GpŃRPSRVLPLRQ :
ݔFTᇱൌr donc ݔLTᇱ
ݕFUᇱൌr donc ݕLUᇱ
3) Exemple:
A, B , C étant trois points non alignés. Les points P et R sont tels que : ࡼ,,,,,,&L Dans le repère (A ; ,,,,,,& ; ,,,,,&) :Dans le repère (A ; ,,,,,,& ; ,,,,,&) , P a donc pour coordonnées : (3 ; 0).
Mais si on prend comme repère : (B ; ,,,,,,& ; ,,,,,,&) ,alors :Dans le repère (B ; ,,,,,,& ; ,,,,,,&) P a donc pour coordonnées : (0 ; -2).
ܴܥ,,,,,&Lt%$,,,,,& , on applique la relation de Chasles : ܥܣܥ,,,,,&E#4,,,,,&Lt%#,,,,,&Et#$,,,,,& ܴܣ,,,,,&Lt%#,,,,,&F%#,,,,,& + -#$,,,,,& ܴܣ,,,,,&L -#$,,,,,& + ܣܥ
ࡾ,,,,,,&L mn,,,,,,&Fmo,,,,,&.Dans le repère (A ; ,,,,,,& ; ,,,,,&) R a donc pour coordonnées : (2 ; -1).
Mais si on prend comme repère : (B ; ,,,,,,& ; ,,,,,,&) ,alors : ܴܥ,,,,,&Lt%$,,,,,& , on applique la relation de Chasles : ܥDans le repère (B ; ,,,,,,& ; ,,,,,,&), R a donc pour coordonnées : (-1 ; 0).