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LES VECTEURS - Chapitre 2/2

Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/aSSDBNn_rRI

Partie 1 : Produit d'un vecteur par un réel

Exemple 1 :

5𝑢⃗ est la somme de 5 vecteurs 𝑢⃗.

On a :

Remarques :

• Les vecteurs 5𝑢⃗ et 𝑢⃗ ont la même direction et le même sens.

• La norme du vecteur 5𝑢⃗ est égale à 5 fois la norme du vecteur 𝑢⃗.

Exemple 2 :

-3𝑢⃗ est la somme de 3 vecteurs -𝑢⃗.

On a :

-3𝑢⃗=

Remarques :

• Les vecteurs 𝑢⃗ et -3𝑢⃗ ont la même direction mais sont de sens contraire.

• La norme du vecteur -3𝑢⃗ est égale à 3 fois la norme du vecteur 𝑢⃗.

Méthode : Représenter un vecteur défini comme produit et somme de vecteurs

Vidéo https://youtu.be/1C6KEwbO-b8

a) Soit deux vecteurs 𝑢⃗ etí µâƒ—.

Représenter les vecteurs suivants :

2𝑢⃗, -í µâƒ—, 2𝑢⃗-í µâƒ—.

b) Soit trois points í µ, í µ et í µ.

Représenter le vecteur í µí µ

-3í µí µ

Correction

a) • On commence par représenter le vecteur 2𝑢⃗ : On place bout à bout deux vecteurs 𝑢⃗. • Le vecteur -í µâƒ— a la même direction et la même longueur que í µâƒ— mais il est de sens contraire. 𝑢⃗ í µâƒ— B C A

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• Pour représenter le vecteur 2𝑢⃗-í µâƒ— = 2𝑢⃗+(-í µâƒ—), on place bout à bout les vecteurs 2𝑢⃗ et -í µâƒ—

et on relit les extrémités du chemin construit. b) Pour représenter le vecteur í µí µ -3í µí µ ou +(-3í µí µ ), on place bout à bout les vecteurs et -3í µí µ Méthode : Construire un point vérifiant une égalité vectorielle

Vidéo https://youtu.be/JxYpPE6iPEA

a) Soit deux vecteurs 𝑢⃗ et í µâƒ— et un point í µ.

Construire le point í µ tel que í µí µ

=3𝑢⃗-í µâƒ—. b) Soit trois points í µ, í µ, í µ du plan.

Construire le point í µ tel que í µí µ

+3í µí µ

Correction

a) Pour représenter le vecteur í µí µ

=3𝑢⃗-í µâƒ—, on place bout à bout les vecteurs 3𝑢⃗ et -í µâƒ— en

partant de í µ. Le point í µ se trouve à l'extrémité du vecteur -í µâƒ— dans le chemin construit.

B C A í µí µí±¢í±¢í±¢í±¢í±¢âƒ— -3í µí µí±¢í±¢í±¢í±¢í±¢âƒ— í µí µí±¢í±¢í±¢í±¢í±¢âƒ—-3í µí µí±¢í±¢í±¢í±¢í±¢âƒ— A C B 𝑢⃗ í µâƒ— O

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Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr b) Pour représenter le vecteur í µí µ +3í µí µ on place bout à bout les vecteurs -í µí µ et 3í µí µ en partant de í µ. Le point M se trouve à l'extrémité du vecteur 3í µí µ dans le chemin construit.

Activité de groupe : Course d'orientation

Méthode : Exprimer par lecture graphique un vecteur en fonction d'autres vecteurs

Vidéo https://youtu.be/ODZGKdIKewo

Par lecture graphique, exprimer le vecteur 𝑢⃗ en fonction des vecteurs í µâƒ— et í µ

Correction

On construit un chemin formé de vecteurs í µâƒ— et í µ mis bout à bout reliant l'origine et l'extrémité du vecteur 𝑢⃗. On compte ainsi le nombre de vecteurs í µâƒ— et í µ formant ce chemin.

On a : 𝑢⃗=3í µâƒ—+3í µ

Partie 2 : Notion de colinéarité

Exemple :

Les vecteurs 𝑢⃗et í µâƒ— ont la même direction, on dit qu'ils sont colinéaires.

𝑢⃗ 𝑢⃗ í µâƒ— 𝑢⃗ í µâƒ— = -3𝑢⃗

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Définition : Deux vecteurs non nuls 𝑢⃗ et í µâƒ— sont colinéaires signifie qu'ils ont même direction c'est

à dire qu'il existe un nombre réel í µ tel que 𝑢⃗=í µí µâƒ—. Remarque : Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur du plan. Méthode : Démontrer que des vecteurs sont colinéaires

Vidéo https://youtu.be/FjUbd9Pbhmg

On donne deux vecteurs 𝑢⃗ et í µâƒ—, tel que : -4𝑢⃗+3í µâƒ—=0

Démontrer que les vecteurs 𝑢⃗ et í µâƒ— sont colinéaires.

Correction

-4𝑢⃗+3í µâƒ—=0 -4𝑢⃗=-3í µâƒ—

Il existe un nombre réel í µ=

tel que 𝑢⃗=í µí µâƒ—. Donc 𝑢⃗ et í µâƒ— sont donc colinéaires.

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