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On considère la fonction de production Cobb-Douglas à deux facteurs (capital K et travail L) : Y = F(K, L) = AKαLβ 1 Quelle interprétation peut-on donner du 

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TD d"Économie - Julien GrenetÉcole Normale SupérieureAnnée 2007-2008

TD 1: La fonction de production

Séance du 25 octobre 2007

Objectifs du TD :

1. Se familiariser avec un certain nombre de notions indispensables à l"analyse micro-

économique de la production : isoquante, rendements factoriels, rendements d"échelle, taux marginal de substitution technique et élasticité de substitution.

2. Connaître les propriétés des principales fonctions de production utilisées dans la

littérature économique. Exercice 1 : La fonction de production Cobb-Douglas On considère la fonction de production Cobb-Douglas à deux facteurs (capitalKet travailL) :

Y=F(K,L) =AK

αLβ

1. Quelle interprétation peut-on donner du termeA?

2. Tracer l"isoquante correspondant aux valeurs suivantesdes paramètres :Y= 10,

A= 1etα=β= 1.

3. A quelle condition cette fonction est-elle à rendements d"échelle constants?

Rappel : une technologiey=f(˜x)(où˜xdésigne le vecteur d"inputs(x

1,x2,...,xn))

présente des rendements d"échelle constants lorsquef(t˜x) =tf(˜x)?t?0.

4. Calculez la productivité marginale et la productivité moyenne du capital et du tra-

vail.

5. Le taux marginal de substitution technique (TMST) du travail au capital (noté

TMST L,K) est défini comme la variation de travail nécessaire pour compenser une variation infinitésimale de capital de telle sorte que le niveau d"output soit maintenu constant, soitTMST

L,K=-dL

dK|dY=0=-∂F(K,L)/∂K ∂F(K,L)/∂L. Calculez cette quantité dans le cas de la fonction de production Cobb-Douglas. En donner une interprétation géométrique.

6. L"élasticité de substitution est définie comme le rapportde la variation relative des

facteurs à la variation relative du TMST, soit :

L,K=dln(L/K)dln|TMSTL,K|=-

d(L/K) L/K d|TMSTL,K| |TMSTL,K| Calculer l"élasticité de substitution des facteurs de la fonction Cobb-Douglas. En donner une interprétation géométrique. 1

Exercice 2 : La fonction de production Leontief

On considère la fonction de production Leontief (ou à facteurs complémentaires) :

Y=F(K,L) = min(aK,bL)

1. Tracer l"isoquante correspondant aux valeurs suivantesdes paramètres :Y= 1,

a= 2etb= 1.

2. Calculer le TMST du capital au travail.

3. Calculer l"élasticité de substitution des deux facteurs. Qu"en conclure?

4. Parmi les facteurs de production suivants : travail qualifié, travail non qualifié, ca-

pital, lesquels vous paraissent complémentaires? substituables?

Exercice 3 : La fonction de production CES

On considère la fonction de production CES (pourConstant Elasticity of Substitution) :

Y=F(K,L) = [α(aK)

ρ+ (1-α)(bL)ρ]

1

1. Montrer que cette fonction admet des rendements d"échelle constants.

2. Calculer le TMST du travail au capital.

3. Calculer l"élasticité de substitution des deux facteurs. Qu"en conclure?

4. Montrer que lorsque le paramètreρtend vers-∞, la fonction CES se confond avec

une fonction de type Leontief.

5. En utilisant la règle de l"Hôpital, montrer que lorsque leparamètreρtend vers 0, la

fonction CES se confond avec une fonction Cobb-Douglas. Pour simplifier les calculs, on supposera quea=b= 1.

Règle de l"Hôpital :

soientfetgdeux fonctions définies et continues sur]a,b]et différentiables sur]a,b[. On suppose quef(b) =g(b) = 0et que pour toutxde]a,b[, g ?(x)?= 0. Alors, sous réserve d"existence de la seconde limite : lim x→b f(x) g(x)= limx→b f?(x) g?(x) Cette règle est une application du théorème de Rolle. 2quotesdbs_dbs16.pdfusesText_22