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Ondes électromagnétiques dans le

vide (MP) Ondes EM dans le vide, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier 2

Chapitre 1

Ondes électromagnétiques dans le vide

I - Les équations de propagations du champ EM dans le vide : Soit une distribution (D) de charges localisées autour d"un point O, dont les densités sont fonction du temps (exemple : une antenne métallique). Selon les équations de Maxwell-Gauss et de Maxwell-Ampère, cette distribution (D) est la source de champs Er et Br variables dans le temps qui vont s"établir dans tout le voisinage de O. Ondes EM dans le vide, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier 3 Un point M de ce voisinage, bien que situé en dehors de (D), est lui-même source de champs en raison des termes en tB∂∂/ r et tE∂∂/ r " provenant de O » qui jouent un rôle de sources dans les équations de Maxwell-Faraday et de Maxwell-Ampère. Les points P du voisinage de M sont à leur tour dans leur propre voisinage des sources de champs variables dans le temps ... On conçoit ainsi que le champ EM se propage en faisant penser à des rides se transmettant de proche en proche à la surface de l"eau. " Le couplage qui est introduit dans les équations de Maxwell par la présence des deux dérivées partielles par rapport au temps tB∂∂/ r et tE∂∂/ r est à l"origine du phénomène de propagation du champ EM. » Ondes EM dans le vide, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier 4 Ondes EM dans le vide, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier 5 Obtention des équations de propagation du champ EM : On calcule le rotationnel de l"équation de Maxwell-Faraday : )Brot t

Erotrot

r r Or :

EEdivgradErotrotr

r r Avec tEjBrotetEdiv∂∂+==r rrr 000

0μεμερ

, il vient : tEjtEgrad r rr 000

0μεμερ

Soit, finalement :

Ondes EM dans le vide, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier 6 r r 0 022
00 1 De manière symétrique, on élimine E au profit de B en calculant le rotationnel de MA : )Erot t jrotBBdivgradBrotrot r r r r r

000μεμ

Soit :

∂∂-∂∂+=Δ-tB tjrotBgradr rr 000 0

Finalement :

jrottBBr r r 022

00μμε-=∂∂-Δ

Dans une région sans charges ni courants (

00r r==jet Ondes EM dans le vide, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier 7 00 22
0022
00 r r rr r r Ces équations sont les équations de propagation du champ EM. Si l"on note s(t) l"une des six coordonnées des champ EM (E x,...., B x,...), alors : )1(01000222 222

00μεμε

==∂∂-Δ=∂∂-Δvts vssoittss C"est l"équation de d"Alembert (équation classique de propagation des ondes, encore appelée équation des cordes vibrantes) établie au XVIII

ème siècle pour modéliser les

vibrations d"une corde tendue. Comme le montre le paragraphe suivant, les solutions de cette équation traduisent un phénomène de propagation de célérité v. Ondes EM dans le vide, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier 8 * Solutions de l"équation de d"Alembert : On va donner les formes générales des solutions de l"équation de d"Alembert unidimensionnelle : 01 22

222=∂∂-∂∂

ts vxs

On montre que ces solutions sont de la forme :

)()()()(vxtg vxtfpgqfs++-=+= Interprétation physique : on considère une fonction de la forme : )(),(vxtftxs-=

On constate que :

Ondes EM dans le vide, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier 9 v xxttf vxtf pour tout couple Δx et Δt vérifiant : tvxΔ

Ainsi, s

+(x,t) représente un signal qui se propage sans déformation à la vitesse v le long de l"axe (Ox) dans le sens positif. O

Instant

t

Instant

t+ΔΔΔΔt )(),(vxtftxs-= tvxΔ=Δ x Ondes EM dans le vide, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier 10 Ondes EM dans le vide, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier 11

La solution

)(),(vxtftxs+= représente un signal qui se propage sans déformation à la vitesse v le long de l"axe (Ox) dans le sens négatif. On se propose maintenant de résoudre l"équation de d"Alembert tridimensionnelle : ),,,(),(01 22
2 tzyxstrsavects vs==∂∂-Δr

On vérifie que des fonctions de la forme :

vztftzyxs vytftzyxs vxtftzyxs zyx mmm=== sont solution de l"équation tridimensionnelle (ces solutions sont appelées ondes planes de directions de propagations respectives zyxuetuur r r, , dans le sens positif ou négatif). Ondes EM dans le vide, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier 12 Des ondes sphériques sont également solution de l"équation de d"Alembert tridimensionnelle : on cherche, par exemple, des solutions à symétrie sphérique s(r,t). En utilisant la forme du laplacien en coordonnées sphériques, il vient : 01)(1 22

222=∂∂-∂∂

ts vrsrr

Soit encore : 0)(1)(

22
222
=∂∂-∂∂rstvrsr On constate alors que la fonction rs(r,t) est solution de l"équation unidimensionnelle de d"Alembert. Par conséquent : )()(),(vrtg vrtftrrs++-=

Soit :

Ondes EM dans le vide, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier 13 )(1)(1),(vrtgrvrtfrtrs++-= Les deux termes de cette somme représentent des ondes sphériques respectivement divergente et convergente. On constate que le signal ne se propage pas sans déformation en raison de l"affaiblissement exprimé par le facteur 1 / r.

On choisit, dans la suite :

Pour une onde plane s(z,t), l"équation de d"Alembert devient : 010 22
222
22
ts czsouts zs Cette fonction s(z,t) peut s"écrire sous la forme : cztgcztftzs),( Ondes EM dans le vide, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier 14

Compléments (Ondes stationnaires) :

On cherche des solutions de l"équation de d"Alembert de la forme (méthode de séparation des variables) : )()(),(tgxftxs

En substituant dans l"équation de d"Alembert :

01 22

222=∂∂-∂∂

ts cxs

Il vient :

0)()(1)()("

2 =-tgxfctgxf&&

D"où : Kcstetgtg

cxfxf===)()(1)(")(1 2 Ondes EM dans le vide, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier 15 On obtient ainsi deux équations différentielles : Ktgtg cetKxfxf==)()(1)(")(1 2

Ou encore :

0)()(0)()("

2 =-=-tKgctgetxKfxf&& Si K > 0, la solution de la deuxième équation différentielle est de la forme : tKctKc

BeAetg

Cette solution est à rejeter : en effet, elle correspond soit à une solution divergente soit

à une solution transitoire.

Dans la suite, on suppose K < 0 ; alors, en posant

22ω=-Kc

)cos()(? tAtg Ondes EM dans le vide, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier 16 La 1

ère équation donne alors :

xcBxfsoitxfcxfcos)(0)()(" 22
La solution globale de l"équation de d"Alembert est alors : ((-=txcCtxscoscos),(

On pose dans la suite

ckω= , alors : tkxCtxscoscos),( Ondes EM dans le vide, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier 17 Ce type de solutions, appelé onde plane stationnaire est très différent d"une onde plane progressive : les dépendances spatiale et temporelle interviennent séparément ; la dépendance spatiale intervient dans l"amplitude de l"oscillation temporelle et non plus dans la phase, de telle sorte que tous les points de la corde vibrent en phase ou en opposition de phase.

L"allure de la corde à différents instants est représentée sur la figure suivante. Certains

points de la corde sont fixes et sont appelés noeuds de vibrations ; d"autres ont une amplitude de vibration maximale et sont appelés ventres de vibrations. s(x,t) x Les courbes en gras correspondent aux instants où la vibration est extrémale ; la courbe en pointillés correspond à un instant quelconque. Ondes EM dans le vide, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier 18

Position des noeuds :

Elle s"obtient en écrivant que :

2)12(0cosπψψ

+=-=-nkxsoitkx n

Soit, avec

λπ2=k

knx n

ψλ++=412

La distance entre deux noeuds successifs est égale à : 2λ Ondes EM dans le vide, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier 19

Position des ventres :

Elle s"obtient en écrivant que :

nkxsoitkx v 1cos

Soit :

knx v

ψλ+=2

La distance entre deux ventres successifs est égale à :

2λ.

La distance entre un noeud et un ventre successif est égale à : 4λ Ondes EM dans le vide, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier 20

II - Ondes planes EM dans le vide :

1 - Ondes planes électromagnétiques :

Une onde plane EM de direction de propagation

zur est une structure du champ EM dans laquelle les coordonnées des champs Er et

Br sont des fonctions de la forme : )

((-=cztftzs),( Toute coordonnée du champ a, à un instant donné, même valeur en tout point d"un plan z = cste. Un tel plan, orthogonal à la direction de propagation zur , est appelé plan d"onde. Une source (par exemple, une station radiophonique) émet a priori des ondes

sphériques ; cependant, à grande distance de celle-ci, l"onde reçue pourra être

localement assimilée à une onde plane progressive Ondes EM dans le vide, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier 21

2 - Caractère transverse d"une onde plane dans le vide :

1ère démonstration :

On s"intéresse à une onde plane de la forme : ),(),,,(),(),,,(tzBtzyxBettzEtzyxE r r r r

Les équations de Maxwell donnent :

• Equation de Maxwell - Gauss : )1(00=∂∂=zEsoitEdivzr • Equation de Maxwell - flux : )2(00=∂∂=zBsoitBdiv z r Ondes EM dans le vide, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier 22
• Equation de Maxwell - Faraday : soittBErot∂∂-= r r )5(0)4()3( t BtB zEtB zE zy xx • Equation de Maxwell - Ampère : soittE cBrot∂∂= r r 21
)8(10)7( 1)6( 1 222
tE ct E c zBtE c zBzy xx Ondes EM dans le vide, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier 23

Les équations (1) et (8) donnent :

0=∂∂

zE z et

0=∂∂

tE z par conséquent : 0= zE (les champs statiques n"interviennent pas ici lors du phénomène de propagation). De même, les équations (2) et (5) montrent que : 0= zB Ainsi, les coordonnées du champ EM parallèles à la direction de propagation zur sont nulles : le champ EM est transversal. Ondes EM dans le vide, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier 24

Relation entre les normes des champs

Er et Br :

En notant

((-=cztEtzE xx et ((-=cztBtzB xx , on constate que : tB czBettE czExxxx∂∂-=∂∂ 11 Il en est de même pour les coordonnées selon (Oy).

Ainsi,

)4()3( tquotesdbs_dbs50.pdfusesText_50