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Chapitre 2
1 2.4. Produits matriciels
1.1 Produit de matrices carr´ees
On a l"habitude de faire desproduits de nombre;
Par exemple
2×3 = 6
et on est habitu´e aux propri´et´s suivantes•il n"y a pas de diviseur deO: si un produit de deux nombres est nul
c"est que l"un de ces deux nombres est nul•le produit de deux nombres est commutatif:2×3 = 3×2
et plus generalement pour tous nombresbeta a×b=b×a On va g´en´eraliser le produit de nombre auproduit des tableaux de nombres, c"est `a-dire au produit dematrices. SiB=?b1b2
b 3b4? ,A=?a1a2 a 3a4? sont deux matrices carr´ees de taille 2 (avec deux lignes et deux colonnes) on d´efinit b3×a1+b4×a3b3×a2+b4×a4?
B×Aest aussi une matrice de taille 2.
Par exemple, si
B=?6 7
8 9? ,A=?1 2 3 5? alorsB×A=?6×1 + 7×3 6×2 + 7×5
8×1 + 9×3 8×2 + 9×5?
=?27 4735 61?1
Pour les d´ebutants on dispose le calcul ainsi
1 2 3 56 7 27 47
8 9 35 61
Cette d´efinition peut ˆetre ´etendue `a n"importe quel matricen×no`un est un entier naturel (1,2,...,819...): `a la position d"indicei,jdeB×A on place le produit de lai-`eme ligne deBpar laj-`eme colonne deA. Le produit des matrices a des propri´et´es ´etranges par rapport au produit de nombres•il y a des diviseurs deO: si un produit de deux matrices est nul (toutes les composantes sont nulles) il peut arriver qu"aucune des deux matrices ne soit nulle.Par exemple SiB=?1-2
-2 4? etA=?2 4 1 2? ,2 4 1 21-2 0 0
-2 4 0 0 autrement ditB×A=?1×2 +-2×1 1×4 +-2×2
-2×2 + 4×1-2×4 + 4×2? =?0 00 0?•le produit de deux matrices n"est pas toujours commutatif:
A×B?=B×A
. Par exemple si comme tout `a l"heureA=?2 4 1 2? etB=?1-2 -2 4?1-2 -2 42 4-6 12
1 2-3 62
autrement ditA×B=?2×1 + 4× -2 2× -2 + 4×4
1×1 + 2× -2 1× -2 + 2×4?
=?-6 12 -3 6? ?=B×A=?0 0 0 0? Une premi`ere application du produit de matricesOn se donne un graphe oreint´e c"est `a dire des points num´erot´es avec des fl`eches entre eux. Par exempleFigure 1:Grapheet on construit la matrice d"adjacence du graphe•on met un 1 `a la placei,js"il y a une fl`eche partant deiet allant `aj•on met un 0 `a la placei,js"il n"y a pas de fl`eche partant deiet allant
`ajDans notre exemple:A=?
????0 1 1 0 00 0 0 1 1
0 0 0 1 0
0 0 0 0 0
0 0 0 1 0?
????3On peut faire le produitA2=A×A0 1 1 0 0
0 0 0 1 1
0 0 0 1 0
0 0 0 0 0
0 0 0 1 0
0 1 1 0 0 0 0 0 2 1
0 0 0 1 1 0 0 0 1 0
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
autrement ditA 2=? ????0 0 0 2 10 0 0 1 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0?
La matriceA2compte le nombre de chemins de longueur 2 entreietj!! De mˆeme la matriceA3=A×A2compte le nombre de chemins de longueur 3 entreietj!!0 0 0 2 10 0 0 1 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 1 1 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 1 1 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0 0 04
Autrement dit
A 3=? ????0 0 0 1 00 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0?
Il y a un seul chemin de longueur 3, entre 1et 4
1.2 Composition des applications
Mais c"est pour ´etudier la composition des applications lin´eaires que la mul- tiplication des matrices va ˆetre la plus utile. On commence par rappeler le concept de la composition de deux appli- cations. La composition dey= sin(x) =f(x) avec la fonctionz= cos(y) =g(y) est la fonctionz= cos(sin(x)) = (g◦f)(x).Figure 2:composition de fonctionsOn peut composer de la mˆeme mani`ere les applications lin´eaires. Re-
tournons `a l"exemple du d´ebut de la section 2.1. La positionx=?x1 x 2? du bateau est donn´ee par une position cod´eey=?y1 y 2? . Le code est donn´e par l"application lin´eaire y=Ax, A=?1 2 3 5? .5 On avait oubli´e un d´etail : la position du bateau est transmise `a un central `a Paris, et est cod´ee `a nouveau par l"application z=By, B=?6 7 8 9? La position du bateau re¸cue `a Paris est donn´ee par la formule z=B(Ax),comme ´etant la composition dey=Axavecz=By.Figure 3:composition d"applications lin´eairesEst-ce que l"application compos´ee est lin´eaire, et si oui quelle est sa
matrice ? Nous allons aborder cette question cruciale : (a) en utilisant la force brutale, (b) en faisant un peu de th´eorie. (a) On ´ecrit les formules composantes par composante, (1) ?z1= 6y1+ 7y2, z2= 8y1+ 9y2,(2)?y1=x1+ 2x2,
y2= 3x1+ 5x2,
puis on substitue dans (1) les formules donn´ees pour lesyidans (2), ce qui donne z1= 6(x1+ 2x2) + 7(3x1+ 5x2) = (6·1 + 7·3)x1+ (6·2 + 7·5)x2
= 27x1+ 47x2, z2= 8(x1+ 2x2) + 9(3x1+ 5x2) = (8·1 + 9·3)x1+ (8·2 + 9·5)x2
= 35x1+ 61x2,6 ce qui montre que la compos´ee est bien lin´eaire et a pour matriceBA=?6·1 + 7·3 6·2 + 7·5
8·1 + 9·3 8·2 + 9·5?
=?27 4735 61?
(b) On utilise la caract´erisation des applications lin´eaires (section 2.1) pour prouver que l"applicationT(x) =B(Ax) est lin´eaire. On a :T(v+w) =B(A(v+w)) =B(Av+Aw)
=B(Av) +B(Aw) =T(v) +T(w)T(kv) =B(A(kv)) =B(kAv)
=kB(Av) =kT(v). Maintegnt que l"on sait queTest lin´eaire, il nous suffit pour trouver sa matrice de calculerT(e1) etT(e2), de sorte que la matrice deTest la matrice?T(e1)T(e2)?.On a :
T(e1) =B(Ae1) =B(de la premi`ere colonne de A)
=?6 7 8 9?? 1 3? =?27 35?T(e2) =B(Ae2) =B(de la deuxi`eme colonne de A)
=?6 7 8 9?? 2 5? =?47 61?ce qui fait que la matrice deTest ´egale `a
T(e1)T(e2)
=?27 4735 61?
Bien entendu, le r´esultat est le mˆeme que celui obtenu en (a) et on retrouve la matriceBA. Le produitBAest donc la matrice de l"applicationT(x) =B(Ax). Cela veut dire que ?x?IR2, T(x) =B(Ax) = (BA)x. On consid`ere maintenant le cas de matrices non n´ecessairement carr´ees. SoientBune matrice de taillen×petAune matrice de taillep×m. De nouveau, l"application compos´eez=B(Ax) est lin´eaire (la justi- fication donn´ee en b) fonctionne de la mˆeme fa¸con ici). La matrice de7Figure 4:Vers le cas g´en´erall"applicationz=B(Ax) est leproduitde la matriceBpar la matriceA, et
est not´eBA. Cette matrice est de taillen×m. La matriceBAest celle d"une application lin´eaire de IRmdans IRnet est donc de taillen×m, et on a z=B(Ax) = (BA)x. Dans la d´efinition du produitBA, le nombre de colonnes deBest ´egal au nombre de lignes deA. Que se passe-t-il quand ces deux nombres sont diff´erents ? SupposonsqueBsoit de taillen×petAde tailleq×mavecp?=q.Figure 5:Compatibilit´e colonnes/lignesDans ce cas, les applicationsz=Byety=Axne peuvent pas ˆetre
compos´ees car le co-domaine dey=Axest diff´erent du domaine dez= By. Autrement dit, la sortie de l"applicationy=Axn"est pas une entr´ee8 raisonnable pour l"applicationz=By. Dans ce cas, la produitBAn"est pas d´efini.Produit de matrices a) SoientBune matrice de taillen×petAune matrice de tailleq×m. Le produitBAest d´efini si et seulement sip=q. b) SoientBune matrice de taillen×petAune matrice de taillep×m. Alors le produitBA, de taillen×mest d´efini comme ´etant la matrice de l"application lin´eaire compos´eeT(x) =B(Ax) =BAx, pour toutx?IRm.Dans ce cas, le produitBAest une matrice de taillen×m.Cette d´efinition ne semble pas donner de moyens concrets pour calculer
num´eriquement le produit de deux matrices. Pourtant ce moyen concret suit directement des d´efinitions.SoientBune matrice de taillen×petAune matrice de taillep×m.´Etudions les colonnes de la matrice produitBA:
(i`emecolonne deBA) = (BA)ei =B(Aei) =B(i`emecolonne deA). En notantv1,v2,···,vmles colonnes deA, on a alors BA=B? v1v2···vm
Bv1Bv2···Bvm
?Les colonnes d"une matrice produit SoientBune matrice de taillen×petAune matrice de taillep×m. On notev1,v2,···,vmles colonnes deA. alors le prduitBAest d´efini par BA=B? v1v2···vm
Bv1Bv2···Bvm
Pour d´eterminerBAil suffit d"effectuer la multiplication deBpar chaque colonne deAet de recombiner en matrice l"ensemble des vecteurs ainsi d´etermin´es.C"est comme cela qu"on a calcul´e en (b) de l"exemple plus haut le produitBA=?6 7
8 9?? 1 2 3 5? =?27 4735 61?
.9 On a vu dans la premi`ere section que la multiplication des matrices est une op´eration non-commutative, ce qui n"est pas une surprise. En effet, lacomposition des fonctions n"est pas une op´eration commutative.La multiplication des matrices n"est pas commutative
SoientBune matrice de taillen×petAune matrice de taillep×n. Alors ABest une matrice de taillep×petBAde taillen×n. Dans le cas o`u p=n, on peut comparer les produitsABetBA. En g´en´eral,AB?=BA. N´eanmoins, il arrive parfois queAB=BA; dansce cas, on dit que les matricescommutent.Il est utile d"avoir une formule analytique pour la composanteijdu
produitBA. On rappelle que BA=B? v1v2···vm
Bv1Bv2···Bvm
le coefficientijdu produitBAest laii`emecomposante du vecteurBvj, qui est le produit vecteur ligne vecteur colonne de laii`emeligne deBpar laji`eme colonne deA. Si on note [BA]ijle coefficient `a laii`emeligne et laji`emecolonne de la matrice produitBA, on a alors k=1b ikakj.10Les coefficients de la matrice produit
SoientBune matrice de taillen×petAune matrice de taillep×m. Le coefficient ijdu produitBAest le produit de laii`emeligne deBpar laji`emecolonne deA.La matrice
BA=?11b12···b1p
b21b22···b2p............
b i1bi2···bip............ b n1bn2···bnp? ???a11a12···a1j···a1m
a a p1ap2···apj···apm? est la matrice de taillen×mdont le coefficient `a laii`emeligne et laji`emecolonne est donn´e par la formule k=1b ikakj.Exemple 1 6 7 8 9?? 1 2 3 5? =?6·1 + 7·3 6·2 + 7·58·1 + 9·3 8·2 + 9·5?
=?27 4735 61?
Au fait, o`u a-t-on d´ej`a vu ces calculs ?
1.3 Calculs alg´ebriques avec les matrices
Nous allons d´ecrire dans ce qui suit les prinicipes du calcul alg´ebrique des matrices. •SoitAune matrice carr´ee de taillen×n, inversible. La matriceAmultipli´ee par la matriceA-1repr´esente l"application identit´e.Multiplication par l"inverse
Etant donn´eeAune matrice inversible carr´ee de taillen×n, on a AA -1=A-1A= In.•Composer l"application identit´e par une application lin´eaire des deux cot´es, laisse invariante l"application lin´eaire consid´er´ee.11Multiplication par la matrice identit´e
Etant donn´eeAune matrice carr´ee de taillen×n, on a AIn= InA=A.•SoitAune matricen×p,Bune matricep×q,Cune matriceq×m.Quelle est la relation entre (AB)CetA(BC) ?
Une mani`ere de r´efl´echir `a ce probl`eme (mˆeme si ce n"est pas la plus ´el´egante), consiste `a´ecrireC`a l"aide de ses vecteurs colonnes,C=?v1v2···vn?.On a alors
(AB)C= (AB)?v1v2···vn? ?(AB)v1(AB)v2···(AB)vn?, tandis-queA(BC) =A?Bv1Bv2···Bvn?
?A(Bv1)A(Bv2)···A(Bvn)?, Puisque (AB)vi=A(Bvi) par d´efinition du produit matriciel, on en d´eduit que (AB)C=A(BC).Associativit´e du produit matricielOn a toujours
(AB)C=A(BC),et on ´ecriraABCau lieu deA(BC) = (AB)C.Une d´emonstration plus conceptuelle repose sur l"associativit´e de la com-
position des applications. Les deux application lin´eairesT(x) = ((AB)C)x, L(x) = (A(BC))x
sont identiques, car la d´efinition de la multiplication des matrices montre queT(x) = ((AB)C)x= (AB)(Cx) =A(B(Cx)),
tandis-queL(x) = (A(BC))x=A((BC)x)) =A(B(Cx)).12
Figure 6:Associativit´e du produit matricielLes domaines et co-domaines respectifs des applications lin´eaires d´efinies
par les matricesA,B,C,BC,AB,A(BC) et (AB)Csont d´ecrits dans la figure ci-dessous. •SoientAetBdeux matrices carr´ees de taillen×n. On supposeAet Binversibles. Est-ce que le produitBAest encore inversible ? Pour trouver la r´eciproque de l"appication lin´eaire y=BAx, on va r´esoudre l"´equation enxen deux temps. On commence par multiplier `a gauche les deux membres de cette ´equations parB-1: B -1y=B-1BAx= InAx=Ax.On multiplie ensuite `a gauche parA-1. Il vient
A -1B-1y=A-1Ax= Inx=x.Ce calcul montre que l"application
y=BAx est inversible et que son inverse est l"application x=A-1B-1y.Inverse d"un produit de matrices SoientAetBdeux matrices carr´ees inversibles de taillen. Alors le produitABest inversible et on a
(BA)-1=A-1B-1.Attention `a l"ordre des produits !13
Pour v´erifier ce r´esultat autrement, on effectue le calcul suivant, en util- isant l"associativit´e du produit, (A-1B-1)(BA) =A-1(B-1B)A=A-1(In)A=A-1A= In, et tout marche tr`es bien. Pour mieux comprendre l"ordre des facteurs dans la formule (BA)-1= A-1B-1, repensons `a notre histoire de bateau marseillais. Pour trouver laFigure 7:Inverse d"un produit de matricesposition effectivex`a partir du double codagez, on commence par effectuer
la transformationy=B-1zetensuitela transformationx=A-1y. Donc la r´eciproque de l"applicationz=BAxest bien l"applicationx=A-1B-1z.Un crit`ere d"inversibilit´e SoientAetBdeux matrices carr´ees inversibles de taillentelles queBA= In.
Alors a)AetBsont toutes les deux inversibles b)A-1=BetB-1=A, c)AB= In.La d´efinition de l"inverse d"une application nous dit que lorsqueBA= In etAB= In, alorsAetBsont inversibles et inverses l"une de l"autre. Le r´esultat ci-dessus dit que l"´equationBA= In`a elle seule suffit pour assurer queAetBsoient inversibles et inverses l"une de l"autre. Pour montrer queAest inversible, il nous suffit de montrer que le syst`eme lin´eaireAx= 0 admet 0 comme unique solution (voir section 2.3). Multi-14 plions `a gauche l"´equationAx= 0 parB. On obtientBAx=B0 = 0. CommeBA= In, il en r´esulte quex= 0. DoncAest inversible. En multipliant `a droite l"´equationBA= InparA-1, il vient (BA)A-1= InA-1,c"est-`a-direB=A-1. La matriceB´etant l"inverse deAest aussi inversible, etB-1= (A-1)-1=A (r´esulte des d´efinitions). Enfin,AB=AA-1= In.? A titre d"application, consid´erons le cas 2D. SoitA=?a b c d? avec un d´eterminant non nul. On va v´erifier queB=1ad-bc?
d-b -c a? =1det(A)? d-b -c a? =A-1. Pour cela il est suffisant de v´erifier queBA= I2. On aBA=1ad-bc?
d-b -c a?? a b c d? =1ad-bc? da-bc db-bd -ca+ac-cb+ad? = I2Exemple 2
SoientA,BetCtrois matrices carr´ees de taillentelles queABC= In. Montrer queBest inversible et exprimerB-1en fonctionAetC.Solution
On ´ecritABC= (AB)C= In. On en d´eduit queABetCcommutent et sont inverses l"une de l"autre, d"o`u on a ´egalementC(AB) = In= (CA)B. il en r´esulte queBest inversible etB-1=CA.Distributivit´e du produit matriciel SoientAetBdeux matrices de taillen×p,CetDde taillep×m. On a alorsA(C+D) =AC+ADet (A+B)C=AC+BC.Ce point sera `a v´erifier dans l"exercice 63, section 2.4, et le point suivantdans l"exercice 64 :SoitAune matrice de taillen×p,Bde taillep×m,k?IR. Alors(kA)B=A(kB) =k(AB).15
1.4 Calcul matriciel par blocs
Il est parfois utile de subdiviser une grosse matrice en sous-matrices (blocs) accol´ees les une aux autres. Par exemple, on peut consid´erer la matrice 4×4 A=? ??1 2 3 45 6 7 8
9 8 7 6
5 4 3 2?
comme ´etant une matrice 2×2 ayant pour coefficients quatre matrices 2×2 A=? ??????1 2 ... 3 4 5 6 ... 7 89 8 ... 7 6 5 4 ... 3 2? ??????=?A11A12 A21A22?
o`uA11=?1 2 5 6? ,A12=?3 4 7 8? , etc... Le d´ecoupage peut ˆetre avec des matrices de taille diff´erentes, par exem- ple on peut avoir A=? ??????1 2 3 ... 4 5 6 7 ... 8 9 8 7 ... 65 4 3 ... 2? ??????=?B11B12 B21B22?
On a une int´erssante propri´et´e du partitionnement des matrices par blocs :16 Calcul matriciel par blocsLe produit de matrices par bloc s"effectue de la mˆeme mani`ere que le produit habituel, sauf que les coefficients sont remplac´es par les blocs : BA=?11B12···B1p
B21B22···B2p............
B i1Bi2···Bip............ B n1Bn2···Bnp? ???A11A12···A1j···A1m
A A p1Ap2···Apj···Apm? est la matrice dont le bloc lab´elis´e par les indicesietjest est donn´e par la formule k=1B ikAkj, sous r´eserve que les tailles des blocs soient compatibles pour pou-voir d´efinir les produits matricielsBikAkj.La v´erification de ce r´esultat est laiss´e en exercice.