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Définition : Soit un vecteur u et deux points A Attention : Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre réel Ecrire par Soit un carré ABCD de côté c

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Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre réel que l'on peut calculer de 2 est appelé carré scalaire de u 2 pour un vecteur u x,y 3

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Projeté orthogonal I) Propriétés de calculs 1) Définition Pour tout vecteur du plan, le carré scalaire du vecteur est le produit scalaire du vecteur par lui-même

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La norme d'un vecteur est la racine de son carré scalaire : A AA = I 3 Application : formule d'Al-Kashi Soient deux vecteurs A et B : BABBAA BA BABA 2

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Exercice 14 : Quel est l'ensemble des vecteurs orthogonaux à un vecteur donné u = a~ı + b ? Définition : Le carré scalaire du vecteur u est le produit scalaire hu,  

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Définition: Un vecteur non nul est caractérisé par la donnée de trois éléments : Exercice 1 13: Représenter un carré OABC, puis construire les points E, F, G et

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Projections Moindres carrés Projection sur une droite (1/2) Soit L le sous- espace vectoriel de Rm correspondant `a la droite engendrée par le vecteur non nul 

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Définition : La norme d'un vecteur u AB = est le nombre réel Conséquence : Le produit scalaire u u⋅ est appelé carré scalaire de u et noté 2 u ; par définition 

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1YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frPRODUIT SCALAIRE La notion de produit scalaire est apparue pour les besoins de la physique. Le concept relativement récent et a été introduit au milieu du XIXe siècle par le mathématicien allemand Hermann Grassmann (1809 ; 1877), ci-contre. Il fut baptisé produit scalaire par William Hamilton (1805 ; 1865) en 1853. I. Définition et propriétés 1) Norme d'un vecteur Définition : Soit un vecteur

u et deux points A et B tels que u =AB . La norme du vecteur u , notée u , est la distance AB. 2) Définition du produit scalaire Définition : Soit u et v deux vecteurs du plan. On appelle produit scalaire de u par v , noté u .v , le nombre réel définit par : - u .v =0 , si l'un des deux vecteurs u et v est nul - u .v =u ×v

×cosu

;v , dans le cas contraire. u .v se lit " u scalaire v ". Remarque : Si AB et AC sont deux représentants des vecteurs non nuls u et v alors : u .v =AB .AC =AB

×AC

×cosBAC

2YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frExemple : Vidéo https://youtu.be/CJxwKG4mvWs Soit un triangle équilatéral ABC de côté a.

AB .AC =AB

×AC

×cosBAC

=a×a×cos60° =a 2

×0,5

a 2 2 Attention : Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre réel. Ecrire par exemple u .v =0

est une maladresse à éviter ! 3) Propriété de symétrie du produit scalaire Propriété : Pour tout vecteur

u et v , on a : u .v =v .u

Démonstration : On suppose que

u et v sont non nuls (démonstration évidente dans la cas contraire). u .v =u ×v

×cosu

;v =v ×u

×cosu

;v =v ×u

×cos-v

;u =v ×u

×cosv

;u =v .u

4) Opérations sur les produits scalaires Propriétés : Pour tous vecteurs

u v et w , on a : 1) u .v +w =u .v +u .w 2) u .kv =ku .v , avec k un nombre réel. - Admis -

3YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr 5) Identités remarquables Propriétés : Pour tous vecteurs

u et v , on a : 1) u +v 2 =u 2 +2u .v +v 2 2) u -v 2 =u 2 -2u .v +v 2 3) u +v u -v =u 2 -v 2

Démonstration pour le 2) :

u -v 2 =u -v u -v =u .u -u .v -v .u +v .v =u 2 -2u .v +v 2

II. Produit scalaire et norme Soit un vecteur

u , on a : u .u =u ×u

×cosu

;u =u 2

×cos0=u

2 et u .u =u 2

On a ainsi :

u 2 =u .u =u 2

Propriété : Soit

u et v deux vecteurs. On a : u .v 1 2quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40