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Cours et exercices de mathématiques M CUAZ Ce dé est truqué de telle sorte que les probabilités de 1) Déterminer la loi de probabilité de X 2) Définir F 

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14 déc 2009 · 1 1 Qu'est-ce qu'une probabilité? A 2 Table de la loi normale X ∼ N(0,1) Une application est donnée dans l'exercice 1 8 On a vu que lorsqu'on a trique) En déduire une autre expression de P′(x), à savoir : P′(x) =

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D'autre part, comme le dé n'est pas truqué, on a P({3}) = 1 6 Enfin, on calcule P( Bl) par l'intermédiaire de la loi des probabilités totales, ce qui donne

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Quelques exercices sur le calcul des probabilités Hélène Guérin Généralités sur les probabilités Exercice 1 Soient U une variable aléatoire de loi uniforme sur [0,1] et c ∈]0,1[ trique et qui n'est pas presque sûrement constante

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En particulier grâce à cette loi de probabilité, vous pourrez résoudre le problème L'exercice 3 donne une formule pour calculer le temps la suite des probabilités (P(G = n))n≥1 est une suite géomé- trique Avant de revenir au problème de 

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Exercices 23 juillet 2014 Probabilités conditionnelles Loi binomiale Exercice 13 Un dé cubique truqué est tel que la probabilité de sortie d'un numéro k est 

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EXERCICE TYPE 1 Un dé cubique a été truqué de telle manière que : Donner la loi de probabilité de l'expérience aléatoire décrite à l'exercice type 2 

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D'autres le sont dans le livre Probabilités de Yves Lacroix et Laurent Mazliak publié chez Exercice ♥ 1 14 Soient X1 et X2 deux variables indépendantes, de lois B(n1,p) et B(n2,p) Quelle est la loi de triques indépendantes Exercice 1 26

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sur les lois ou probabilités conditionnelles, sur le jeu de pile ou face ou sur le test du χ2), et surtout des exercices de modélisation avec des applications di- verses dans plusieurs domaines trique et Poisson En déduire leur moyenne et leur 

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Un dé truqué amène le 6 avec une probabilité de 0,5 Quelle est la probabilité que le dé choisi soit truqué Exercice 4 : Loi de probabilité et espérance

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lim n!+1n X k=0P(X=k) = limn!+1P(X2 f1;:::;ng) =P(X2N) = 1:

P(A??B) =P(A\B) =P(A)P(B):

BY: C ???????P(G= 1)?

8n1; P(G=n) = (1p)n1p;

E[X] =nX

k=0k P(X=k) =P(X= 1) + 2P(X= 2) ++nP(X=n): BY: C

E[X] = limn!+1n

X k=0k P(X=k) =P(X= 1) + 2P(X= 2) ++nP(X=n) +:::

E[X1+X2] =E[X1] +E[X2]:

p?????

E[G] =1p

????E[G] =1p

T=T0+T1++TN1;

BY: C

E[T] =N

1 +12 +13 ++1N =NNX k=11k

E(T) =N

1 +12 +:::+1N =NNX k=11k c BY: C ???????N= 12?c1= 0;5??c2= 1? ???? ??????? ?? ??????? ?????? ?????? ?? ??? ??Tk? ?? ??????? ?? ??????

12?c1= 0;5??c2= 1?

?????N= 12?c1= 0;5??c2= 1? 1p ???? ???? ???? ????? ???? ???? ????? ????0? ????(un)n1?? ????? ?? ????? ??????? ????? ???

8n1; un=nqn;

???? ?? ???????q2]0;1[? ???? ?????? ??????? ??? lim n!+1un= 0:

8n1;vn=un+1u

n BY: C ???? ??????? ????? ??????n01??? ??? ???? ????nn0?? ??? v nq+ 12 <1: v n0vn0+1 vn0+k=un0+k+1u n0:

8k0;un0+k+1u

n0q+ 12 k+1 n X k=0q k= 1 +q+q2+q3+:::+qn=1qn+11q: ?? ?????? ??????? ???? ?1 +12 +14 += 2?? ?? ????? ???q=12 ?? ?? ???? ??????n???? +1?

P(G=k) =p(1p)k1

lim n!+1n X k=1P(G=k) = 1:

8n2N;Sn=nX

BY: C

8n2N;Sn=p+nX

k=2kp(1p)k1:

8n2N;SnSn1=np(1p)n1

??limn!+1(SnSn1) = 0: ???? ??????k0=k1? ??????? ??? S n=p+n1X k 0=1k

0p(1p)k0+n1X

k

0=1p(1p)k0:

S n=p+ (1p)Sn1+p(1p)1(1p)n11(1p): pS n=p+ (1p)(Sn1Sn) + (1p)(1(1p)n1): BY: C n[ BY: C X

P(Xn= 0) =P(Xn= 1) =12

P(G= 1) =P(X1= 1) =12

P(G= 2) =P(X1= 1;X2= 0) =P(X1= 1)P(X2= 0) =12

12 =14

P(G=n) =P(X1= 1;X2= 1;:::;Xn1= 1;Xn= 0)

=P(X1= 1)P(X2= 1):::P(Xn1= 1)P(Xn= 0) 12 n: k=1fG=kg A? P n[ k=1fG=kg! =nX k=1P(G=k) nX k=1P(G=k)P(A): nX k=1P(G=k) =nX k=112 k=12 112
n112

P(A)1;

?????8n1;11=2nP(A)1? ???? ?? ??????? ? ?? ?????? ?????n!+1? ?? ???????

8n1;P(G=n) =12

BY: C

P(G=n) = (1p) (1p)|{z}

=N1N =NkN ????? ???? ????k= 0? ?? ????? ?? ? ?

P(G= 1) = 1;

E[T] =E[T0] ++E[TN1] =N1X

k=0E[Tk]: NkN BY: C

E[T] =E[T0] +:::E[TN1] =NN0++NN(N1)

=N1N +1N1++11 =N 1 +12 +13 ++1N =NNX k=11k

C=c1NNX

k=11k NkN

E[Tk] =NNk?

c

1E(Tk) =c1NNk;

c

2c1N(Nk),kN

1c1c 2 BY: C k c=N 1c1c 2

C=c1Nk

cX k=11N(k1)+c2(Nkc+ 1): ??????n1? ?? ? v n=un+1u n=(n+ 1)qn+1nq n=n+ 1n q: <12 ??q2 +12 <12 +12 q= (1 +1n )qq+12 1 + 1n 1q q+ 12 =12 +12q 1n 12 +12q1 =12q12 =1q2q: 1n n2q1q: ?? ? ?????? ???vnq+12 ??n2q1q? ?? ???? ???? ?? ??????? ?? ?????? ??????? ??2q1q????

1q2q?? ?? ? ????n01?

v n0vn0+1 vn0+k=un0+1u n0un0+2u n0+1un0+3u n0+2 un0+k+1u n0+k un0+1u n0un0+2u n0+1un0+3u n0+2 un0+k+1u n0+k un0+k+1u n0: ???? ??? ??nn0?????vnq+12 u n0+k+1u n0=vn0vn0+1 vn0+kq+ 12 q+ 12 q+ 12 =q+ 12 k+1 BY: C ???? ? ?????? ??? ???? ????k0? ?? ? u n0+kq+ 12 k u n0: ???? ??????? ??? ???? ????nn0??? ??????n=n0+k?? u nq+ 12 nn0 u n0=q+ 12 n q+ 12 n0 u n0: <1??? ?? ??????? ?????q+12 n0un0? ? ?????? ?? ????n0? ???? ???? ???? ???? ???? ???????n????quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40