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Si (un)n∈N est une suite arithmétique de raison r et de premier terme u0, alors trique Exemple : Soit (un)n∈N la suite définie par ⎛ ⎨ ⎝ u0 = 1, ∀n ∈ N Remarque : On se limite au cas a = 0 et b = 0 pour que l'étude soit intéressante

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30 déc 2010 · 2 4 Somme des premiers termes d'une suite arithmétique 7 3 5 Suite arithmético-géométrique 4 4 Limite d'une suite géométrique trique Exemple : Soit une suite (un) définie par : u0 = 2 un+1 = 2un + 5

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10 juil 2012 · trique par rapport à l'axe des ordonnées suite arithmético-géométrique, on présentera les calculs de la façon suivante : • calcul du La notion de limite n'est sûrement pas une totale découverte pour vous, mais nous allons

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12 jui 2019 · tout n ≥ N Il en résulte que la suite u est convergente avec limite l = uN 2 3 2 La suite ( un = 1 n ) trique ou une suite arithmétique Avec ce

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Suites arithmético-géométriques On se ramenera au cas d'une suite géomé- trique Limite d'une suite, suites convergentes On dit que (un) converge vers l si

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Étude d'une suite arithmético-géométrique 43 Seule l est positive donc si (un) converge, alors sa limite vaut 1+ √ 2 trique (celle de premier terme 1 2

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Leur moyenne arithmético-géométrique (abrégée AGM pour arithmetic- geometric mean en sante, puis que les suites (an), (bn) et (cn) convergent vers une limite commune triques réciproques (arcsin, arccos et arctan) Ces fonctions

YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr1SUITES ARITHMÉTICO-GÉOMÉTRIQUES I. Etude d'une suite arithmético-géométrique Définition : Une suite (un) est dite arithmético-géométrique s'il existe deux nombres a et b tels que pour tout entier n, on a :

u n+1 =au n +b

. Un investisseur dépose 5000 € sur un compte rémunéré à 3% par an. Chaque année suivante, il dépose 300€ de plus. On note (un) la somme épargnée à l'année n. On a alors :

u n+1 =1,03u n +300
et u 0 =5000

La suite (un) est arithmético-géométrique. 1) À l'aide du tableur, calculer la somme totale épargnée à la 10ème année. 2) Prouver que la suite (vn) définie pour tout entier n par

v n =u n +10000

est géométrique et donner sa raison et son premier terme. 3) Exprimer vn en fonction de n. 4) En déduire un en fonction de n. Retrouver alors le résultat de la question 1 par calcul. 5) Etudier les variations de (un). 6) Calculer la limite de (un). Vidéo https://youtu.be/6-vFnQ6TghM Vidéo https://youtu.be/0CNt_fUuwEY Vidéo https://youtu.be/EgYTH79sDfw 1) Avec le tableur, on obtient : La somme totale épargnée à la 10ème année est égale à environ 10158,75 €.

YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr2 2) v n+1 =u n+1 +10000
=1,03u n +300+10000
=1,03u n +10300
=1,03u n +10000
=1,03v n Donc (vn) est une suite géométrique de raison 1,03 et de premier terme v 0 =u 0 +10000=5000+10000=15000
. 3) Pour tout n, v n =15000×1,03 n . 4) Pour tout n, u n =15000×1,03 n -10000 . On a alors : u 10 =15000×1,03 10 -10000≈10158,75

5) Pour tout n,

u n+1 -u n =15000×1,03 n+1 -10000-15000×1,03 n -10000 =15000×1,03 n+1 -1,03 n =15000×1,03 n

×1,03-1

=450×1,03 n >0 Donc la suite (un) est strictement croissante. 6) Comme 1,03 > 1, lim n→+∞ 1,03 n donc lim n→+∞

15000×1,03

Et donc

lim n→+∞

15000×1,03

n -10000 , soit : lim n→+∞ u n

. II. Représentation graphique d'une suite arithmético-géométrique Soit (un) la suite définie par

u 0 =8 et pour tout entier naturel n, u n+1 =0,85u n +1,8 . 1) Dans un repère orthonormé, tracer les droites d'équations respectives y=0,85x+1,8 et y=x

. 2) Dans ce repère, placer u0 sur l'axe des abscisses, puis en utilisant les droites précédemment tracées, construire sur le même axe u1, u2 et u3. On laissera apparent les traits de construction. 3) À l'aide du graphique, conjecturer la limite de la suite (un). D'après Bac ES Polynésie 2009 Vidéo https://youtu.be/L7bBL4z-r90

YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr3 1) 2) 3) En continuant le tracé, celui-ci se rapprocherait de plus en plus de l'intersection des deux droites. On conjecture que la limite de la suite (un) est 12. Afficher la représentation graphique sur la calculatrice : Vidéo TI https://youtu.be/bRlvVs9KZuk Vidéo Casio https://youtu.be/9iDvDn3iWqQ Vidéo HP https://youtu.be/wML003kdLRo Horsducadredelaclasse,aucunereproduction,mêmepartielle,autresquecellesprévuesàl'articleL122-5ducodedelapropriétéintellectuelle,nepeutêtrefaitedecesitesansl'autorisationexpressedel'auteur.www.maths-et-tiques.fr/index.php/mentions-legales

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