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notion de suite, représentation graphique, suites arithmétiques, suites géométriques : toutes sections - somme de termes, limite de suites arithmétique et

+∞ alors, par définition, l'intervalle ] A ; +∞ [ contient tous les termes de la suite ( ) à partir d'un certain rang Notons ce rang Donc pour tout

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f (x)=3 Donc, la suite (un) converge vers 3 Si un= f (n) (pour tout entier naturel n) et si f admet +∞ ou −∞ pour limite en +∞

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Théorème (Limites et inégalités larges) Soient (un)n∈ et (vn)n∈ deux suites réelles possédant une limite finie Si : un ⩽ vn à partir d'un certain rang, alors : lim n

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12 mar 2017 · Limites de suites Théorèmes d'existence de la limite • Une suite croissante et majorée par un réel M converge vers un réel ℓ ⩽ M • Une suite

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Opérations sur les limites (un) et (vn) sont deux suites f et g sont deux fonctions ayant le même ensemble de définition 3, a est un réel ou +о ou −о et est une

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notion de suite, représentation graphique, suites arithmétiques, suites géométriques : toutes sections - somme de termes, limite de suites arithmétique et

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Terminale STI2D 3 SAES Guillaume II Limite d'une suite Dans cette partie, on va se poser la question naturelle du comportement d'une suite ( )

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Note liminaire

Programme selon les sections :

- notion de suite, représentation graphique, suites arithmétiques, suites géométriques : toutes sections

- somme de termes, limite de suites arithmétique et géométrique : STI2D, STL, ES/L, S - suites arithmético-géométriques : ES/L, S - opérations sur les limites, comparaisons, raisonnement par récurrence : S

Prérequis

Fonctions - notion de limite - calcul de puissances

Plan du cours

1. Etude de suites

2. Suites arithmétiques

3. Suites géométriques

4. Suites arithmético-géométriques

5. Raisonnement par récurrence

6. Limites de suites

1. Etude de suites

Définition :

Une suite numérique est une fonction définie sur N (l'ensemble des entiers naturels), ou sur un interǀalle I de N.

On peut noter une suite

(I Ġtant l'ensemble de dĠfinition de la suite), ou u. Le nème de la suite u est noté un, le n+1ème un+1, etc.

Il y a deux manières de définir une suite : par une relation de récurrence (relations entre les termes entre eux) ou

par une formule explicite (expression des termes en fonction de leur rang n).

Exemples :

u telle que et est définie par une relation de récurrence. v telle que est définie par une formule explicite.

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Représentation graphique : Ex :

Remarque :

Pour dĠfinir complğtement une suite (c'est-à-dire être en mesure de calculer chacun de ses termes), il faut soit la

formule explicite, soit la relation de récurrence et la ǀaleur d'un terme.

Sens de variation :

Une suite est croissante si et seulement si pour tout Une suite est décroissante si et seulement si pour tout

Ex : La suite v définie précédemment est croissante. Corollaire : si une suite u est croissante, et

, alors pour tout tel que on a (si la suite est décroissante, on a

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2. Suites arithmétiques

Définition :

Une suite u est dite arithmétique s'il eǆiste tel que pour tout

Le réel r est la raison de la suite.

- relation de récurrence : - formule explicite :

Remarques :

- La formule explicite se généralise : est une droite).

Sens de variation :

Une suite arithmétique est constante si

, strictement croissante si , strictement décroissante si

Exemples :

(suite arithmétique de raison 4) (suite arithmétique de raison -3 et de premier terme 5)

Somme de termes :

Somme de tous les termes :

Somme ă partir d'un rang p :

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3. Suites géométriques

Définition :

Une suite u est dite géométrique s'il eǆiste tel que pour tout

Le réel q est la raison de la suite.

- relation de récurrence : - formule explicite :

Remarque :

- La formule explicite se généralise :

Sens de variation :

- Si u est strictement croissante si , strictement décroissante si , constante si (tous les termes sont nuls) ou si - Si u est strictement décroissante si , strictement croissante si , constante si (tous les termes sont nuls) ou si - Si , la suite est dite alternée (ses termes sont alternativement positifs et négatifs).

Exemples :

(suite géométrique de raison -2) (suite arithmétique de raison 1/3 et de premier terme 5)

Somme de termes :

Pour , somme de tous les termes : Pour , somme ă partir d'un rang p :

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4. Suites arithmético-géométriques

Définition :

Une suite u est dite arithmético-géométrique s'il eǆiste et tel que pour tout

Remarques :

- Une suite arithmétique est une suite arithmético-géométrique pour laquelle - Une suite arithmétique est une suite arithmético-géométrique pour laquelle Recherche de la formule eǆplicite d'une suite arithmĠtico-géométrique u :

1) On construit une suite géométrique v telle que

2) On exprime

en fonction de n (formule explicite).

3) On en dĠduit l'eǆpression de

Exemple :

1) On pose

On a donc :

et (formule explicite de la suite u)

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5. Raisonnement par récurrence

Le raisonnement par récurrence permet de démontrer certaines propriétés de suites à partir de leur relation de

récurrence.

Principe de récurrence :

Soit une proposition Pn dĠpendant d'un entier n (son rang). Pour démontrer que Pn est vraie pour tout entier , il suffit de démontrer que :

1) la proposition

est vraie.

2) si Pp est vraie (avec

) alors Pp+1 est vraie.

L'Ġtape 1) est l'initialisation du raisonnement par rĠcurrence. L'Ġtape 2) est la dĠmonstration de l'hĠrĠditĠ de la

propriété.

Exemple :

Démontrer que pour tout entier

la proposition "

» est vraie.

Initialisation :

et donc la proposition est vraie pour

Hérédité :

Soit un entier

Supposons que

Alors

Donc si la proposition est vraie pour

alors elle est vraie pour

La proposition est héréditaire.

Conclusion :

La proposition "

» est vraie pour

, et elle est héréditaire. Elle est donc vraie pour tout entier

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6. Limites de suites

Convergence :

Si une suite a une limite finie (

Unicité de la limite :

- Si une suite est convergente alors elle admet une unique limite. - Si alors la suite tend vers - Si alors la suite tend vers

Limite d'une suite géométrique :

- Si et si la suite tend vers (elle est divergente). - Si et si la suite tend vers (elle est divergente). - Si , la suite tend vers 0 (elle est convergente). - Si , la suite n'a pas de limite (elle est divergente).quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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Programme selon les sections :

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1. Etude de suites

2. Suites arithmétiques

3. Suites géométriques

4. Suites arithmético-géométriques

5. Raisonnement par récurrence

6. Limites de suites

1. Etude de suites

Définition :

On peut noter une suite

Exemples :

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Représentation graphique : Ex :

Remarque :

Sens de variation :

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2. Suites arithmétiques

Définition :

Le réel r est la raison de la suite.

Remarques :

Sens de variation :

Une suite arithmétique est constante si

Exemples :

Somme de termes :

Somme de tous les termes :

Somme ă partir d'un rang p :

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3. Suites géométriques

Définition :

Le réel q est la raison de la suite.

Remarque :

Sens de variation :

Exemples :

Somme de termes :

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4. Suites arithmético-géométriques

Définition :

Remarques :

1) On construit une suite géométrique v telle que

2) On exprime

3) On en dĠduit l'eǆpression de

Exemple :

1) On pose

On a donc :

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5. Raisonnement par récurrence

Principe de récurrence :

1) la proposition

2) si Pp est vraie (avec

Exemple :

Démontrer que pour tout entier

» est vraie.

Initialisation :

Hérédité :

Soit un entier

Supposons que

Donc si la proposition est vraie pour