En résumé: la loi hypergéométrique H(N ; n ; p) tend vers la loi binomiale B(n ; p) quand N tend vers l'infini La différence entre un tirage avec remise et un
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[PDF] 5 Quelques lois discrètes - GERAD
2/5 3/5 4/5 5/5 Plan 1 Loi de Bernoulli 2 Loi binomiale 3 Loi géométrique 4 Loi hypergéométrique 5 Loi de Poisson MTH2302D: Lois discr`etes 2/46
[PDF] Probabilités
4 2 3 Loi binomiale 4 2 5 Loi de Poisson 4 2 6 Loi hypergéométrique Ensuite, pour les n − 1 personnes restantes, on a le choix entre les mettre dans le La seconde somme compare le nombre de s-uplets de cardinal pair avec le
[PDF] Chapitre 5 : Lois Discrètes Usuelles
1 Epreuve de Bernoulli, loi binomiale 2 Loi hypergéométrique 3 Loi géométrique et loi de Pascal 4 Loi de Poisson (L2 Eco-Gestion, option AEM) Chapitre 5
[PDF] Quelques lois discrètes - JavMathch
En résumé: la loi hypergéométrique H(N ; n ; p) tend vers la loi binomiale B(n ; p) quand N tend vers l'infini La différence entre un tirage avec remise et un
[PDF] 5 Lois discrètes usuelles ∑ ∑ ∑ ∑ - LaBRI
Différences entre la loi binomiale et la loi binomiale négative NB ( d, r, p) Dans le au nombre de boules blanches obtenues suit une loi hypergéométrique H
[PDF] Variables Aléatoires
On peut donc approcher la loi Hypergéométrique par la loi binomiale B(n, p) où p est la proportion La variable X suit une loi uniforme entre 0 et 360 degrés
[PDF] C- Lois usuelles
C 1- Lois discrètes- Loi Binomiale • Loi : Moments : E: n tirages avec remise dans C 1- Lois discrètes- Loi Hypergéométrique • Loi : E: n tirages sans remise
[PDF] Notions de probabilités
VII Approximation d'une loi hypergéométrique par une loi binomiale 31 B) où A \ B = {x ∈ A et x/∈ B} A \ B est appelé différence simple entre A et B
[PDF] Chapitre XIX Théor`emes limites en probabilités Table des mati`eres
1 Approximation d'une loi hypergéométrique par une loi binomiale 2 On reconnaıt alors une situation de loi usuelle : X suit la loi hypergéométrique H(N,n, p) On s'intéresse au nombre de véhicules se présentant `a un poste de péage donné entre 18h et 22h le La différence réside dans l'hypoth`ese d' indépendance,
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QUELQUES LOIS DISCRETES 83
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- Jt 2021Chapitre 6 : Quelques lois discrètes
§ 6.0 Quelques formules de base... utiles pour la suite... : a) i i=1n =n(n+1)2 b) i
2 i=1n =n(n+1)(2n+1) 6 c) (x+y) n =C pn p=0n x np y p (formule du binôme de Newton)Formules :
a) Calculer : 1 + 2 + 3 + ... + 100 b) Calculer : 1 2 + 2 2 + 3 2 + ... + 100 2 c) Développer : (x + y) 6 d) Calculer le coefficient de x12 y 4 du développement (x + y) 16Exercice 6.1 :
On peut comparer une démonstration par récurrence au jeu qui consiste à faire tomber une file de pièces de dominos : Considérons une rangée infinie de dominos, étiquetés 1, 2, ..., n, ... où chaque domino est en position verticale. Soit p(n) la proposition "on fait tomber le domino n". Si on arrive à faire tomber le premier domino, autrement dit p(1) est vraie et si, peu importe quand le nième domino est poussé, il fait tomber le (n + 1) ième domino c'est-à-dire p(n) p(n + 1) est vraie, alors tous les dominos peuvent tomber les uns après les autres.Raisonnement
par récurrence:Démonstration de i
i=1n =n(n+1)2 par récurrence :
84 CHAPITRE 6
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- Jt 2021Démontrer par récurrence :
i 2 i=1n =n(n+1)(2n+1) 6Exercice 6.2 :
§ 6.1 Variable uniforme discrète :
Exercice d'intro : • On lance un dé à 6 faces. La variable aléatoire X indique le résultat
obtenu lors du lancer.Montrer que E(X) =
7 2 et que V(X) = 3512 • On lance un dé à 8 faces. La variable aléatoire X indique le résultat obtenu lors du lancer.
Déterminer E(X) et V(X).
• Des 2 résultats précédents, "devinez" les réponses de la question suivante: On lance un dé à n faces. La variable aléatoire X indique le résultat obtenu lors du lancer.Déterminer E(X) et V(X).
Définition : Une variable aléatoire X obéit à une loi uniforme discrète si toutes ses valeurs 1, 2, ..., n sont équiprobables :P(X=k)=1
n1knQUELQUES LOIS DISCRETES 85
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- Jt 2021 Histogramme : Histogramme de la loi uniforme discrète sur le jet d'un dé Formules : Soit X une variable aléatoire uniforme discrète. On aE(X)=n+1
2 • V(X)=n
2 1 12En utilisant:i
i=1n =n(n+1)2 et i
2 i=1n =n(n+1)(2n+1) 6, démontrer les 2 formules précédentes.Exercice 6.3 :
§ 6.2 Variable aléatoire de Bernoulli
Définition :
BERNOULLI Jakob
Suisse, 1654-1705
Considérons une expérience aléatoire avec seulement 2 résultats qu'on désigne par réussite et échec, par exemple le jet d'une pièce de monnaie. On associe à cette expérience la variable aléatoire de Bernoulli X qui prend la valeur 1 en cas de réussite et la valeur 0 en cas d'échec. On note X = B(p) avec p la probabilité de réussite de l'expérience. La distribution de probabilité est résumée dans le tableau ci-dessous: x i p i0 1 - p
1 pTotal 1
Formules : Soit X = B(p) une variable aléatoire de Bernoulli. On a • E(X) = p • V(X) = p(1 - p)Preuve : en complétant le tableau :
x i p i p i x i p i x i20 1 - p
1 pTotal 1
86 CHAPITRE 6
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- Jt 2021 Exemple : On considère la variable aléatoire X = B(p). Caractériser puis calculer l'espérance et la variance de la variable aléatoire Y = 1 - X x i p i y i p i y i p i y i2 TotalY = B(......) E(Y) = .......... V(Y) = .........
On considère la variable aléatoire X = B (p). Caractériser puis calculer l'espérance et la variance des variables aléatoires Y suivantes : a) Y = X 2 b) Y = 1 - X 2Exercice 6.4 :
On considère les VA indépendantes X = B(p
1 ) et Y = B(p 2 Caractériser puis calculer l'espérance et la variance des variables aléatoires Z. a) Z = XY b) Z = (1 - X)YExercice 6.5 :
On considère les variables aléatoires indépendantes X = Y = Z = B(p). Déterminer la fonction de probabilité des variables aléatoires S. a) S = X + Y b) X + Y + ZExercice 6.6 :
QUELQUES LOIS DISCRETES 87
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- Jt 2021 § 6.3 Variable aléatoire binomiale (ou Épreuves de Bernoulli)Exemple d'intro : tirage avec remise
Une urne contient 10 boules numérotées de 1 à 10; 4 boules sont blanches et les 6 autres noires. On tire successivement et avec remise5 boules de cette urne. Déterminons la fonction de probabilités de la
variable aléatoire X donnant le nombre de boules blanches tirées: x iCalculs p
i0 P(X = 0) = C
05 2 5 0 3 5 5 2433125
1 P(X = 1) = C
15 2 5 1 3 5 4 8103125
2 P(X = 2) = C
252 5 2 3 5 3 1080
3125
3 P(X = 3) = C
352 5 3 3 5 2 720
3125
4 P(X = 4) = C
452 5 4 3 5 1 240
3125
5 P(X = 5) = C
552 5 5 3 5 0 32
3125