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[PDF] LIMITES ET CONTINUITÉ (Partie 1) - maths et tiques

Remarque : Lorsque x tend vers +∞ , la courbe de la fonction "se rapproche" de son asymptote La distance MN tend vers 0 2) Limite infinie à l'infini Intuitivement 

[PDF] Limite dune fonction en un point de R Fonctions continues

Soit f une fonction de Df dans R et x0 ∈ Df La fonction f poss`ede au plus une limite quand x tend vers x0 Preuve Soient l1 et l2 deux limites de f 

[PDF] Fiche technique sur les limites - Lycée dAdultes

Théorème 2 Une fonction rationnelle a même limite en +∞ et −∞ que son monôme du plus degré de son numérateur sur celui de son dénominateur Si f(x) =

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Limites et continuité Bernard Ycart Vous avez déjà une compréhension intuitive de ce qu'est la limite d'une fonction Ce chapitre n'en est pas moins le plus 

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1- Limite infinie en l'infini Lorsque f (x) peut être rendu supérieur à tout réel positif A pour x suffisamment grand, on dit que f (x) tend vers +∞ lorsque x tend vers 

[PDF] LÉVOLUTION DE LA NOTION DE LIMITE

Calculer la limite de tn lorsque n tend vers + ∞ Pouvait-on prévoir ce résultat ? Le second paradoxe de Zénon d'Élée est celui d'Achille et de la tortue : « 

[PDF] `A propos de la définition de la limite dune fonction en un point

On dit que f a pour limite l en a si on a : ∀ϵ > 0, ∃η > 0, ∀x ∈ E, x − a < η =⇒ f(x) − l < ϵ 1 Voir le texte http ://skhole fr/l-imposture-de-l-enseignement- 

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1 1 Limite finie en un réel 1 1 1 Définition Définition 1 Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R, non vide et de longueur non nulle, à valeurs dans

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1 ) Limites de références Il faut connaître les limites des fonctions dites usuelles: ln, exp, cos, sin, tan, puissance, et celles de leurs réciproques

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démonstration étant la même que pour les limites dans R) La définition de la limite d'une suite dépend du choix d'une norme sur Rn Étant données

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Limites et asymptotesA Limites et infiniSoit f une fonction.1- Limite infinie en l'infiniLorsque f (x) peut être rendu supérieur à tout réel positif A pour x suffisamment grand, on dit

que f (x) tend vers +∞ lorsque x tend vers +∞ . On écrit alors limx∞ fx=∞.

On définit de manière similaire : •

limx∞ fx=-∞ ( f (x) devient inférieur à - A), • limx-∞

fx=∞ ( x doit être suffisamment grand en valeur absolue mais négatif)•

limx-∞ fx=-∞. Résultats à retenir•en +∞ : pour tout entier n supérieur à 0 limx∞ xn=∞; limx∞ x=∞. •en -∞ : si n est un entier positif pair, alors limx-∞ xn=∞; mais si n est un entier positif impair, alors limx-∞ xn=-∞.

2- Limite finie en l'infiniLorsque f (x) peut être rendu aussi proche qu'on le désire d'un réel L pour x suffisamment

grand, on dit que f(x) tend vers L lorsque x tend vers +∞ . On écrit alors limx∞ fx=L.

On définit de manière similaire

limx-∞ fx=L. Résultat à retenir Pour tout entier n supérieur à 0, limx∞ 1 xn=0 et limx-∞ 1 xn=0.

Asymptote horizontaleLorsque

limx∞ fx=L ou limx-∞ fx=L, la courbe représentative de f admet la droite d'équation y = L comme asymptote horizontale; cela signifie que lorsque x tend vers +∞ ou vers -∞, la courbe se rapproche de plus en plus de la droite.3- Limite infinie en x0

Lorsque f(x) peut être rendu supérieur à tout réel positif A pour x suffisamment proche d'un

réel x0, on dit que f(x) tend vers +∞ lorsque x tend vers x0. On écrit alors limxx0 fx=∞.

On définit de façon similaire

limxx0 fx=-∞.

Résultats à retenir•sur ]0; +∞[,

limx0 1 x=∞, on écrit alors limx0+ 1 x=∞.

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•sur ]-∞; 0[, limx0 1 x=-∞, on écrit alors limx0- 1 x=-∞.

Asymptote verticale Lorsque

limxx0 fx=∞ ou limxx0 fx=-∞, la courbe représentative de f admet la droite

d'équation x = x0 comme asymptote verticale.4- Asymptotes obliquesSoit f une fonction de courbe C dans le plan muni d'un repère.Soit D la droite d'équation y = ax + b.

La droite D est une asymptote à la coube C en +∞ si limx∞ fx-axb=0. La droite D est une asymptote à la coube C en -∞ si limx-∞ fx-axb=0.

Exemple :Soit f définie par

fx=x-3 1 x sur ℝ*.

Lorsque x tend vers +∞,

1 x tend vers 0, f(x) est donc très voisin de x - 3.

Montrons que la droite d'équation y = x - 3 est une asymptote à la courbe représentative de f.

fx-x-3=x-3 1 x-x-3=1 x. Comme limx∞ 1 x=0, on a limx∞ fx-x-3=0 et la droite d'équation y = x - 3 est bien une asymptote à la courbe représentative de f.

B Limites et opérations1- Sommeslimite de fL1L +∞-∞+∞limite de gL2±∞+∞-∞-∞limite de f+gL1+L2±∞+∞-∞???

2- Produitslimite de fL1L≠0±∞0

limite de gL2±∞±∞±∞limite de fgL1L2±∞ (règle des signes)±∞ (règle de signes)???

3- Quotientslimite de fL1L±∞L≠0±∞0

limite de gL2≠0±∞L0±∞0 limite de f/gL1 / L20±∞ (règle des signes)±∞ (règle des signes)?

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Remarque On a 4 formes indéterminées qui sont de la forme ∞ - ∞, 0 × ∞, ∞

∞ et 0 0.

4- Exemples d'applications1)Calculer

limx1+ -4 x-1 et limx1- -4 x-1.

Le numérateur est constant égal à - 4. Quand x tend vers 1+, le dénominateur tend vers 0+ et donc

limx1+ -4 x-1=-∞. Quand x tend vers 1-, le dénominateur tend vers 0- et donc limx1- -4 x-1=∞.

2)Calculer

limx∞ x2 -x. Comme x² et x tendent vers +∞, on a une forme indéterminée du type ∞ - ∞. On transforme l'expression x² - x en mettant x² en facteur. x2-x=x21-x x2=x²1 -1 x. Or limx∞ x2 =∞ et limx∞ 1-1 x=1. On en déduit, en utilisant la règle du produit des limites que limx∞ x2 -x=∞.

3)Calculer

limx∞ 2x-3 x1. Comme 2x - 3 et x + 1 tendent vers +∞, on a une forme indéterminée du type ∞. On effectue la transformation suivante : 2x-3 x1= x2-3 x x11 x 2-3 x

11

x. Or limx∞ 2-3 x=2 et limx∞

11

x=1 .

On en déduit que

limx∞ 2x-3 x1=2 1 =2.

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