② On a un énoncé analogue en −∞ 2) Etude en un réel a borne de l'intervalle de définition a) Théorème Théorème : Soit f une fonction définie
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[PDF] Limites et asymptotes
Limites et asymptotes I Limites en l'infini 1) Limite infinie à l'infini Définition 1 : Soit f une fonction définie au moins sur un intervalle du type [a;+∞[ : On dit que
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Mais la notion de limite s'utilise également pour appréhender le comportement de la courbe infiniment à gauche ou infiniment à droite, c'est-à-dire respectivement
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Montrer que C admet une asymptote verticale D et une asymptote oblique ∆ 3 Soit I le point d'intersection des asymptotes D et∆ Montrer que I est centre de
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Montrons que D est une asymptote oblique à la courbe Cf : Vu l'ensemble de définition, le seul « infini » où D puisse être asymptote est +∞ On a lim x→+∞ f(x )−(
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Le réel a est souvent une borne ouverte de l'ensemble de définition de f 2) Asymptote horizontale Soit f une fonction telle que x lim f(
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② On a un énoncé analogue en −∞ 2) Etude en un réel a borne de l'intervalle de définition a) Théorème Théorème : Soit f une fonction définie
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6 sept 2011 · Á Calcul des limites aux bornes de l'ensemble de définition ou de l'ensemble d' étude Asymptotes éventuelles Á Calcul de la dérivée de la
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Domaine de définition 2 Parité 3 Asymptotes verticales Trous 4 Zéros et signe de la fonction (tableau des signes )
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Dans ce qui suit, nous nous contentons du cas d'une courbe asymptote `a une droite C 1 Asymptote verticale au graphe d'une fonction C 1 1 Définition On
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Limites et asymptotes 1/3 LIMITES ET ASYMPTOTES
I) Limites des fonctions de référence
A l'infini
· Pour tout entier n > 0 : limn
xx®+¥=+¥ ; 1lim0n xx®+¥= ;· si n est pair : limn
xx®-¥=+¥ ; 1lim0n xx+· si n est impair : limn
xx®-¥=-¥ ; 1lim0n xx-· lim
xx®+¥=+¥ ; 1lim0x x+En zéro
· 0lim0n
xx®= ; 0lim0x x®=.· 0
01 limx xx® >=+¥ ; 0 01 limx xx®· 2
0 01 limx xx® >=+¥ ; 2 0 01 limx xx® , n pairn xx® , n impairn xx® 1, n impairn xx® 1, n pairn xx®II) Polynômes
Etude à l'infini de 3f:2xxx+a et 3g:2xxx-a. Des études numériques avec des valeurs de x de plus en plus
grandes permettent d'obtenir :· limf()xx®+¥=+¥ avec
3limxx®+¥=+¥ et lim2xx®+¥=+¥.
· limg()xx®+¥=+¥ avec
3limxx®+¥=+¥ et lim2xx®+¥-=-¥.
Théorème : La limite en +o (ou en .o) d'un polynôme est donnée par la limite de son terme de plus haut degré. III) Fractions rationnelles : asymptotes verticale, horizontale et oblique
1) Etude à l'infini
a) ThéorèmeThéorème : la limite en +o (ou en .o) d'une fonction rationnelle est donnée par la limite du quotient de ses termes de plus haut degré.
b) Asymptote horizontale :Définition : Si limf()xxl®+¥=, alors la courbe représentative C f de f admet en +¥ la droite d'équation yl= comme asymptote horizontale.
Remarque : On a un énoncé analogue en -¥. yl=O lim()xfxl®-¥=1
C f1 C f2 lim()xfxl®+¥=2 lLimites et asymptotes 2/3
c) Asymptote oblique :Définition : Si []limf()()0x
x a xb®+¥-+=, alors la droite d'équation y a xb=+ est asymptote à la courbe représentative C f de f en +¥.Remarques :
f(x) peut alors s'écrire sous la forme f()()xaxbx=++j avec lim()0x x®+¥j=. On a un énoncé analogue en -¥.
2) Etude en un réel a borne de l'intervalle de définition
a) ThéorèmeThéorème : Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme ]a ; ...] (ou [... ; a[ ). Si la limite en a du numérateur est un réel non nul et si la limite du dénominateur est 0, alors la limite du quotient est infinie (le signe restant à
préciser). b) Asymptote verticaleDéfinition : Si on a limf()xax®=±¥, alors la courbe C f représentant la fonctio admet une asymptote verticale d'équation x = a.
IV) Théorèmes sur la limite d'une somme, d'un produit de deux fonctions.Dans tout ce paragraphe, f et g désignent deux fonctions dont on connaît, pour chacune, la limite " au même
endroit », soit en +¥, soit en -¥, soit en un réel a. l et l' désignent deux nombres réels.
Les théorèmes suivants permettent de conclure dans la plupart des cas ; les cas où l'on ne peut pas conclure
(appelés formes indéterminées) , sont signalés par . La méthode pour traiter ces cas plus difficiles est de
modifier l'écriture (forme factorisée " forme développée) pour changer de théorème à appliquer.
1) Théorème sur la limite d'une somme de deux fonctions
Si lim f est égale à l l l +¥ -¥ +¥ et lim g est égale à l' +¥ -¥ +¥ -¥ -¥ alors lim f + g est égale à l + l' +¥ -¥ +¥ -¥ ? ?
2) Théorème sur la limite d'un produit de deux fonctions
Si lim f est égale à l l ¹ 0 ±¥ 0 et lim g est égale à l' ±¥ ±¥ ±¥ alors lim fg est égale à ll' ±¥ ±¥ ? ?