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Chap V :Limites et asymptotes
I. Limites en l"infini
1) Limite infinie à l"infini
Définition 1 :Soitfune fonction définieau moinssur un intervalle du type[a;+∞[: On dit quefa pour limite+∞en+∞et on notelimx→+∞f(x) = +∞sif(x)est aussi grand que l"on veut dès quexest assez grand ( Lorsqu"on dit grand, on sous-entend positif ). faire le lien avec tableau de variationsExemple :limx→+∞x= +∞;limx→+∞x2= +∞;limx→+∞x3= +∞;limx→+∞⎷x= +∞
On définit de mêmelimx→+∞f(x) =-∞parf(x)est aussi grand dans les négatifs que l"on veut dès
quexest assez grand.On définit encore de manière analoguelimx→-∞f(x) = +∞,limx→-∞f(x) =-∞
(attention toutefois à l"ensemble de définition). Exemple :limx→-∞x=-∞;limx→-∞x2= +∞;limx→-∞x3=-∞2) Limite finie à l"infini
Définition 2 :Soitfune fonction définieau moinssur un intervalle du type[a;+∞[: On dit quefa pour limite0en+∞et on notelimx→+∞f(x) = 0sif(x)est aussi petit que l"on veut dès quexest assez grand ( Lorsqu"on dit petit, on sous-entend proche de zéro ). On définira de même :limx→-∞f(x) = 0.Exemple :limx→+∞1
x= 0;limx→+∞1x2= 0;limx→+∞1x3= 0;limx→+∞1⎷x= 0Exemple :limx→-∞1
x= 0;limx→-∞1x2= 0;limx→-∞1x3= 0Page 1/5
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On peut à présent définir une limite quelconque en l"infini : Définition 3 :Soitfune fonction définieau moinssur un intervalle du type[a;+∞[: Avoirlimx→+∞f(x) =lest équivalent à avoirlimx→+∞[f(x)-l] = 0 Remarque :limx→+∞f(x) =l?f(x) =l+ε(x)aveclimx→+∞ε(x) = 0. -→démonstration Remarque :Une fonction n"a pas nécessairement de limite (finie ou infinie) lorsquextend vers fdéfinie surRparf(x) = cos(x)n"a de limite ni en-∞ni en+∞.II. Limite en un pointa
1) Limite en0
Définition 4 :Soitfune fonction définie au moins sur un intervalle ouvert en0: Sif(x)est aussi grand (positif) que l"on veut dès quexest assez proche de0, on dit quefa pour limite+∞en0et on notelimx→0f(x) = +∞. (On définit de mêmelimx→0f(x) =-∞.)Exemple :limx→01
x2= +∞limx→01⎷x= +∞. Remarque :Une fonction peut avoir une limite différente à gauche et à droite de0, on notera alors : lim x→0 x >01 x= +∞etlim x→0 x <01x=-∞ou encorelim x→0 x >01x3= +∞etlim x→0 x <01x3=-∞On note également parfois :lim
x→0+1 x3= +∞. Définition 5 :Soitfune fonction définie au moins sur un intervalle ouvert en0: Sif(x)est aussi petit que l"on veut (proche de0) dès quexest assez proche de0, on dit quefa pour limite0en0et on notelimx→0f(x) = 0. Exemple :limx→0x= 0;limx→0x2= 0;limx→0x3= 0;limx→0⎷ x= 0 Définition 6 :Soitfune fonction définie au moins sur un intervalle ouvert en0: On dit quefa pour limitelen0lorsque la fonctionx?→f(x)-la pour limite0 en0. Remarque :On peut traduire mathématiquement cette définition par lim x→0f(x) =l?limx→0?f(x)-l?= 0Page 2/5
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2) Limites ena?R
Définition 7 :Soitfune fonction définie sur un intervalle ouvert ena, on dit quefa une limite enasi la fonctionh?→f(a+h)a une limite en0et alors : lim x→af(x) = limh→0f(a+h)Exemple :On alimx→1?
1 +1 (x-1)2? = lim h→0?1 +1h2?
Remarque :limx→af(x) =l?f(x) =l+ε(x)aveclimx→aε(x) = 0. Remarque :Sia?Dfet silimx→af(x)existe, alorslimx→af(x) =f(a).Exemple :Sia >0,limx→a⎷
x=⎷a.SiPest un polynôme,limx→aP(x) =P(a).
SiRest une fraction rationnelledéfinie ena,limx→aR(x) =R(a).III. Opérations sur les limites
Dans toute cettte partie les limites des fonctionsfetgsont??aux mêmes points??à savoir+∞, -∞oua?R.1) Somme
On a le tableau récapitulatif suivant :
limf(x) =lll+∞-∞+∞ limg(x) =l?+∞-∞+∞-∞-∞ lim?f(x) +g(x)?=l+l?+∞-∞+∞-∞F.I2) Produit
On a le tableau récapitulatif suivant :
limf(x) =ll >0l <0l >0l <0+∞-∞+∞0 limg(x) =l?+∞-∞+∞-∞-∞+∞ou-∞Page 3/5
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3) Quotient
On a le tableau récapitulatif suivant :
limf(x) =+∞-∞±∞l <0ou-∞l >0ou+∞0 limg(x) =l?>0l?<0l?>0l?<0±∞0+0-0+0-0 lim?f(x)g(x)? Remarque :0+(resp.0+) indique que la limite est nulle et que la fonction reste positive (resp. négative). Il y a quatre formes indéterminées :+∞ - ∞;0× ∞;∞ ∞;00 Remarque :Avec ces régles de calcul et quelques transformations on peut trouver n"importe quelle limite. Exemple :On cherchelimx→+∞?x3-3x2+ 4x+ 1?. Si on voit ce polynôme comme une somme de monômes on obtient une F.I. du type +∞ - ∞mais on peut toujours écrirex3-3x2+ 4x+ 1 =x3? 1-3 x+4x2+1x3? aveclimx→+∞x3= +∞etlimx→+∞? 1-3 x+4x2+1x3? = 1-0 + 0 + 0 = 1par somme des limites. On a donc, par produit des limites,limx→+∞?x3-3x2+ 4x+ 1?= +∞vu comme??1×+∞??. -→A faire en TD : cas des polynômes et des fractions rationnelles.IV. Interprétation graphique et asymptotes
1) Asymptote horizontale
Silimx→+∞f(x) =l,
pourMetPles points d"abscissesx, lorsquexprend des valeurs de plus en plus grandes, la distancePMtend vers0:
On dit alors que la droiteDd"équationy=lest
asymptote horizontaleà la courbeCfau voisinage de+∞. Interprétation graphique pourlimx→-∞f(x) =l 01230 1 2 3 4 5 6 7 8
xyx lD Cf PMRemarque :On peut définir de même l"asymptote d"équationy=len-∞silimx→-∞f(x) =l
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2) Asymptote verticale
Silimx→af(x) =±∞,
on dit que la droiteDd"équationx=aest asymptote verticaleà la courbeCf. PetMsont ici les deux points de même ordonnée et la distancePMtend vers zéro lorsque cette ordonnée dePetMtend vers+∞. Interprétation graphique pourlimx→af(x) =-∞ 012340 1 2 3
xyaD CfP M
3) Asymptote oblique
Définition 8 :Soitfune fonction définie sur un intervalle du type[α;+∞[, s"il existe deux réelsa
etbtels quelimx→+∞[f(x)-(ax+b)] = 0on dira que la droiteDd"équationy=ax+b est asymptote obliqueàCfau voisinage de+∞. Remarque :La méthode de détermination est H.P. On a nécessairementlimx→+∞f(x) = +∞Interprétation graphique, avecPet
Mles deux points d"abscissesx, pour
limx→+∞[f(x)-(ax+b)] = 0 012340 1 2 3 4 5 6 7 8
xyxDCf
PMOn peut de même définir une asymptote oblique au voisinage de-∞silimx→-∞[f(x)-(ax+b)] = 0.