A 1 Limites de fonctions trigonométriques tend vers a, alors f doit avoir cette même limite Ainsi : souvent utilisé pour calculer des limites pour des fonctions
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A 1 Limites de fonctions trigonométriques tend vers a, alors f doit avoir cette même limite Ainsi : souvent utilisé pour calculer des limites pour des fonctions
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FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES I
2M renf - JtJ 2019 Annexe du chapitre 6: Fonctions trigonométriquesA.1 Limites de fonctions trigonométriques
Théorème des deux gendarmes
Le théorème suivant implique 3 fonctions f, g et h dont l'une f est "prise en sandwich" entre les deux autres. Si g et h ont la même limite lorsque x tend vers a, alors f doit avoir cette même limite. Ainsi : • soit l'intervalle ]b ; c[ contenant a; • soit h(x) f (x) g(x) pour tout x ]b ; c[ \ {a}.Si lim
xa g(x)=lim xa h(x)=L, alors lim xaf(x)=LOn acceptera ce théorème sans preuve
Exercice A6.1 :
Soit f une fonction telle que pour tout x on ait x 2 +x3 f(x)2x23x+1 .
a) Déterminer lim x2 f(x) b) Qu'en est-il si x 2 +x3f(x)2x2 3x+3 Remarque : Le théorème des deux gendarmes est un outil très souvent utilisé pour calculer des limites pour des fonctions trigonométriques. Observons ceci sur un exemple : Exemple : À l'aide du théorème des deux gendarmes, montrer que lim x0 xsin 1 x =0. xyy = f(x) y = g(x) y = h(x) a LII ANNEXE CHAPITRE 6
2M renf - JtJ 2019Exercice A6.2 :
Utiliser le théorème des deux gendarmes pour calculer lim x0 x 2 sin 1 x 2 Indications : -1 sin(angle) 1, puis constater que x 2 sin 1 x 2 est comprise entre deux paraboles.Exercice A6.3 :
On considère le quart de cercle trigonométrique de centre O et de rayon 1. • En comparant les aires des triangles OIM et OIT avec celle du secteur circulaire OIM, montrer que : sin(x) x tan(x) si 0 < x < /2 • En déduire que : cos(x) sin(x) x 1 • Puis montrer que lim x0 sin(x) x • Comment adapter cette preuve pour le calcul de lim x0 sin(x) xExercice A6.3 bis :
Que devient le raisonnement précédent si l'angle x est en degré et alors que vaut lim x0° sin(x) xExercice A6.4 :
Sachant que lim
x0 sin(x) x =1, en déduire les limites suivantes : a) lim x0 sin(2x) x b) lim x0 sin(3x) sin(2x) c) lim x0 tan(x) x d) lim xa 2sin xa 2 xaExercice A6.5 :
Calculer, si elles existent, les limites suivantes : a) lim x0 cos(x) x b) lim x0 1cos 2 (x) xtan(x) c) lim x01cos(x)
sin(x) 2Exercice A6.6 :
En amplifiant les fractions par 1 + cos(x), montrer que a) lim x01cos(x)
x=0 b) lim x01cos(x)
x 2 =1 2Exercice A6.7 :
Utiliser le théorème des deux gendarmes pour calculer : a) lim x+ sin(x) x b) lim x+ e x sin(x) c) lim x+2x+cos(x)
x+1FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES III
2M renf - JtJ 2019 A.2 Les preuves des règles de dérivation des fonctions trigonométriques Les règles de dérivation des fonctions trigo : 8ème
règle : Si f(x)=sin(x) ....................... 9ème
règle : Si f(x)=cos(x) ....................... 10ème
règle : Si f(x)=tan(x) ....................... ou .......................Exercice A6.8: Voici la preuve de la 8
ème
règle ci-dessus qu'il s'agit de compléter f (a)=lim xa f(x).......... ..................=lim xa Truc : on utilise la formule de soustraction d'angle (Formulaire page 31) f (a) = lim xa2cos..........
sin.......... xa = lim xa cos..........2sin..........
xa = lim xa cos.......... sin.......... = lim xa cos.......... lim xa sin.......... = cos2a 21=cos(a)
En changeant la variable de a en x, on obtient bien : f (x)=...............Reprendre cette preuve en utilisant la définition équivalente de dérivée vue dans l'annexe du
chapitre 4: f(x)=lim x0 f(x+x)f(x) x Exercice A6.9: Démontrer les 2 dernières règles de dérivation.