27 fév 2017 · 2 Limite en l'infini des polynômes et fonctions rationnelles 6 La droite ∆ d' équation y = ℓ est dite asymptote horizontale à Cf en +∞
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[PDF] Limites et asymptotes
Limites et asymptotes I Limites en l'infini 1) Limite infinie à l'infini Définition 1 : Soit f une fonction définie au moins sur un intervalle du type [a;+∞[ : On dit que
[PDF] Limites et asymptotes - Labomath
d'équation x = x0 comme asymptote verticale 4- Asymptotes obliques Soit f une fonction de courbe C dans le plan muni d'un repère
[PDF] Chapitre 2: Limites et Asymptotes
La notion de limite est particulièrement utile pour étudier le comportement d'une fonction au voisinage d'un trou ou d'un bord (point limite ou asymptote verticale)
[PDF] CHAPITRE 5 : LIMITE ET ORDRE – ASYMPTOTES - Maths54
Limite et ordre - Asymptotes Cours © Gérard Hirsch – Maths54 2 toujours d' après le théorème de comparaison lim ( sin ) x x x →+∞ + = +∞ 1 2 Théorème
[PDF] Limites : Résumé de cours et méthodes 1 Limite dune fonction en +
La droite D d'équation y = l est dite asymptote horizontale à la courbe Cf en −∞ PROPRIÉTÉ lim x→+∞ 1 x = 0
[PDF] Cours limites
Limites b Limite finie en + ∞ et en – ∞ et asymptote horizontale Soit f une fonction définie sur un intervalle I ▫ Intuitivement, dire que f a pour limite L en + ∞
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Les asymptotes obliques correspondent aux cas où quand la variable tend vers l' infini, la courbe se rapproche d'une droite oblique, donc d'équation y = a x + b
[PDF] Compléments sur les limites, asymptotes et - Lycée dAdultes
27 fév 2017 · 2 Limite en l'infini des polynômes et fonctions rationnelles 6 La droite ∆ d' équation y = ℓ est dite asymptote horizontale à Cf en +∞
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fonction f admet une asymptote verticale d'équation x = a IV) Théorèmes sur la limite d'une somme, d'un produit de deux fonctions Dans tout ce
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DERNIÈRE IMPRESSION LE27 février 2017 à 16:09
Compléments sur les limites,
asymptotes et continuitéTable des matières
1 Limites finies ou infinies en l"infini2
1.1 Limites finies à l"infini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Limites infinies en l"infini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Limites infinies en un point. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Limite finie en un point. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5 Limites à droite, à gauche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Limite en l"infini des polynômes et fonctions rationnelles6
2.1 Limite en l"infini d"un polynôme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Limite en l"infini d"une fonction rationnelle. . . . . . . . . . . . . . 6
3 Asymptote oblique7
4 Limites indéterminées avec des radicaux9
4.1 Une simple indétermination. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4.2 Une double indétermination. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
5 Continuité12
5.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
5.2 Règles opératoires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
5.3 Conséquences. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
PAUL MILAN1VERS LE SUPÉRIEUR
1. LIMITES FINIES OU INFINIES EN L"INFINI
1 Limites finies ou infinies en l"infini
1.1 Limites finies à l"infini
Dire qu"une fonctionfa pour limite
?en+∞, signifie que tout intervalle ouvert centré en?, contient toutes les valeurs def(x)pourxassez grand - c"est à dire pour lesxd"un intervalle ]A;+∞[.Aétant à déterminer.On obtient une définition plus rigou-
reuse avec des quantificateurs : A xOC fΔ Définition 1 :Soit une fonctionfdéfinie surD=]a;+∞[.On écrira lim
x→+∞f(x)=?ou lim+∞f=?si, et seulement si, ??>0,?A>0,?x?D,x>A? |f(x)-?| "Pour tout réel positif?(aussi petit soit-il), on peut trouver un réel positif A tel que pour tout x de D supérieur à A alors|f(x)-?|est inférieur à?». La droiteΔd"équationy=?est diteasymptote horizontaleàCfen+∞Exemple :Montrons que limx→+∞2x-1x+1=2.
?2x-1 x+1-2???? =????2x-1-2x-2x+1???? =????-3x+1???? ?3xet3x?x>3?. d"où ??>0,?A=3 ?,?x?]0 ;+∞[,x>A?????2x-1x+1-2???? Définition 2 :Soit une fonctionfdéfinie surD=]-∞;b[.On écrira lim
x→-∞f(x)=?ou lim-∞f=?si, et seulement si, ??>0,?B<0,?x?D,xPAUL MILAN2VERS LE SUPÉRIEUR1. LIMITES FINIES OU INFINIES EN L"INFINI
1.2 Limites infinies en l"infini
Dire qu"une fonctionfa pour limite
+∞en+∞, signifie que tout intervalle ]M;+∞|contient toutes les valeurs de f(x)pourxassez grand - c"est à dire pourx?]A;+∞[,Aétant à déterminer.On obtient une définition plus rigou-
reuse avec des quantificateurs : A]M Cf O Définition 3 :Soit une fonctionfdéfinie surD=]a;+∞[.On écrira lim
x→+∞f(x)=+∞ou lim+∞f=+∞si, et seulement si, ?M>0,?A>0,?x?D,x>A?f(x)>M "Pour tout réel positif M (aussi grand soit-il), on peut trouver un réel positif A tel que pour tout x de D supérieur à A alors f(x)est supérieur à M ». Exemple :Montrons que limx→+∞lnx= +∞ La fonction ln est définie sur]0 ;+∞[. SoitM>0. lnx>M?x>eM, on a donc ?M>0,?A=eM,?x?]0 ;+∞[,x>A?lnx>M Définition 4 :On définit de façon analogue : Soit une fonctionfdéfinie surD=]a;+∞[.On écrira lim
x→+∞f(x)=-∞ou lim+∞f=-∞si, et seulement si, ?m<0,?A>0,?x?D,x>A?f(x)On écrira lim
x→-∞f(x)=-∞ou lim-∞f=-∞si, et seulement si, ?m<0,?B<0,?x?D,xPAUL MILAN3VERS LE SUPÉRIEUR1. LIMITES FINIES OU INFINIES EN L"INFINI
1.3 Limites infinies en un point
Dire qu"une fonctionfa pour limite
+∞ena, signifie que tout intervalle ]M;+∞|contient toutes les valeurs de f(x)pourxassez proche dea- c"est à dire pour lesxd"un intervalle ouvert de rayonηcontenanta. Le rayonηétant à déterminerOn obtient une définition plus rigou-
reuse avec des quantificateurs a[]C fM O Définition 5 :Soit une fonctionfdéfinie surD=]b;a[?]a;c[.On écrira lim
x→af(x)= +∞ou limaf= +∞si, et seulement si, ?M>0,?η>0,?x?D,|x-a|<η?f(x)>M "Pour tout réel positif M (aussi grand soit-il), on peut trouver un réel positifηtel que pour tout x de D dans]a-η;a+η[alors f(x)est supérieur à M ». La droiteΔd"équationx=aest diteasymptote verticaleàCfau pointa. Remarque :L"intervalleD=]b;a[?]a;c[est appelévoisinagedea. La fonction fdoit être définie dans un voisinage deatout en étant non définie ena.Exemple :Montrer que limx→12x+1
(x-1)2= +∞Pourx>0 etx?=1, on a2x+1
(x-1)2?1(x-1)2et 1 (x-1)2>M?(x-1)2<1M? |x-1|<1⎷M, on a donc : ?M>0,?η=1 ⎷M,?x?D,|x-1|<η?f(x)>M Définition 6 :Soit une fonctionfdéfinie surD=]b;a[?]a;c[.On écrira lim
x→af(x)=-∞ou limaf=-∞si, et seulement si, ?m<0,?η>0,?x?D,|x-a|<η?f(x)PAUL MILAN4VERS LE SUPÉRIEUR
1. LIMITES FINIES OU INFINIES EN L"INFINI
1.4 Limite finie en un point
Dire qu"une fonctionfa pour limite?
ena, signifie que tout intervalle ouvert centré en?contient toutes les valeurs def(x)pourxassez proche dea- c"està dire pour lesxd"un intervalle ouvert
à déterminer.
On obtient une définition plus rigou-
reuse avec des quantificateurs a? O Définition 7 :Soit une fonctionfdéfinie surD=]b;a[?]a;c[.On écrira lim
x→af(x)=?ou limaf=?si, et seulement si, ??>0,?η>0,?x?D,|x-a|<η? |f(x)-?| "Pour tout réel positif?(aussi petit soit-il), on peut trouver un réel positifηtel que pour tout x de D dans]a-η;a+η[alors|f(x)-?|est inférieur à?».1.5 Limites à droite, à gauche
Définition 8 :Soitfune fonction définie sur un voisinageDdea. On dit que fadmet une limite : A droite dea, notée limx→ax>af(x)ou limx→a+f(x)ou lima+f, si et seulement si : limite finie?:??>0,?η>0,?x?D,aM,?x?D, 1M
PAUL MILAN5VERS LE SUPÉRIEUR
2. LIMITE EN L"INFINI DES POLYNÔMES ET FONCTIONS RATIONNELLES
Pourx<1 etm<0,3x-13m?x>1+3m, d"où :
?m<0,?η=-3 m,?x?D, 1-η2.1 Limite en l"infini d"un polynôme
Théorème 1 :Un polynôme a même limite en+∞et en-∞que son monôme du plus haut degré.SiP(x) =n∑
i=0a ixi=anxn+an-1xn-1+···+a0alors lim x→+∞P(x) =limx→+∞anxnet limx→-∞P(x) =limx→-∞anxn Démonstration :On met en facteur le monôme du plus haut degré,an?=0 :P(x) =n∑
i=0a ixi=anxn?1+n-1∑
i=0a i an×1xn-i? or?i??0 ;n-1?, limx→+∞1 xn-i=limx→-∞1xn-i=0, d"où par somme et produit : lim x→+∞P(x) =limx→+∞anxnet limx→-∞P(x) =limx→-∞anxn Exemple :Limites en+∞et-∞du polynômePtel que :P(x) =4x3+2x2+4On a : lim
x→+∞P(x) =limx→+∞4x3= +∞et limx→-∞P(x) =limx→-∞4x3=-∞