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LIMITES ET CONTINUITÉ

Ph DEPRESLE

21 septembre 2015

Tabledes matières

1 Limites à l"infini2

1.1 Limites infinies. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Limites finies-Asymptotes horizontales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Limites en un réel3

2.1 Limites infinies en un réel-Asymptotes verticales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2 Limite en un point. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3 Règles opératoires concernant les limites4

3.1 limite d"une somme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3.2 limite d"un produit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3.3 limite d"un quotient. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3.4 Limite d"une fonction composée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

4 Limites de fonctions usuelles5

5 Théorème d"encadrement (des gendarmes)5

6 Continuité6

6.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

6.2 Théorème des valeurs intermédiaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

7 QCM8

8 EXERCICES: Les exercices debase9

9 EXERCICES: Les exercices debase ( corrigés)10

1

Chapitre : Limites et continuitéTerminale S

1 Limites à l"infini

1.1 Limitesinfinies

Définition 1.Soit f une fonction définie sur un intervalle]A,+∞[.

On ditque f(x)tend vers+∞lorsque x tend vers+∞quand toutintervalle]M,+∞[contienttoutesles

valeurs f(x)pour x assez grand.

On notelimx→+∞f(x)=+∞.

246
2 4 6 ?MCf? x 0 On définit de la même façon les autres notions de limites infinies en+∞ou-∞.

1.2 Limitesfinies-Asymptoteshorizontales

Définition 2.Soit f une fonction définie sur un intervalle]A,+∞[et?un nombre réel.

•On dit que f admet?comme limite en+∞lorsque tout intervalle ouvert de centre?contient toutes

les valeurs f(x)pour x assez grand.

•Cette définition peut se traduire :εétant un réel strictement positif arbitrairement choisi, on peut

trouver un réel x

0tel que, dès que x>x0on a?-ε

•On notelimx→+∞f(x)=?.

24
-22 4 6 8 10 12 14 Cf ?x0??

Ph Depresle : Notes de coursPage 2 sur12

Chapitre : Limites et continuitéTerminale S

Définition 3.Silimx→+∞f(x)=?(??R), ondit quela droite d"équation y=?estasymptotehorizontale

à la courbeCfen+∞.

1234

1 2 3 4 5 6

CfIci limx→+∞f(x)=3

Ladroite d"équationy=3 est asymptote àCf

en+∞.

2 Limites en un réel

2.1 Limitesinfinies en un réel-Asymptotesverticales

Soitaun réel et une fonctionfdéfinie sur un intervalle de la forme ]a-ε,a[ ou ]a,a+ε[ . Danschacun descassuivants on dit que ladroite d"équationx=aest asymptote verticaleà la courbe représentative def. 1234
-11 2 3 4 5 Cf

Ici limx→x>22f(x)=+∞

la droite d"équationx=2 est asymptote àCf 12345
-1 -21 2 3 4 5-1-2-3

La droite d"équationx= -1 est asymptote

verticale à la courbe. et la droite d"équationy=3 est asymptote horizontale à la courbe.

Ph Depresle : Notes de coursPage 3 sur

12

Chapitre : Limites et continuitéTerminale S

2.2 Limite en un point

Définition 4.•On dit que f admet?comme limite en a lorsque tout intervalle de centre?contient toutes les valeurs de f(x)pour x suffisamment proche de a.

•On notelimx→af(x)=?.

3 Règles opératoires concernant les limites

Tous les résultats suivants sont admis.fetgsont deux fonctions données. adésigne un réel, ou+∞ou-∞, etLetL?sont deux nombres réels.

3.1 limite d"une somme

Si limx→af(x) =???+∞-∞+∞

Si limx→ag(x) =??+∞-∞+∞-∞-∞ alors limx→a(f+g)(x) =?+??+∞-∞+∞-∞????

3.2 limite d"un produit

Si limx→af(x) =??non nul0+∞ou-∞

Si limx→ag(x) =??+∞ou-∞+∞ou-∞+∞ou-∞ alors limx→a(f g)(x) =?.??±∞????±∞

3.3 limite d"un quotient

Si limx→af(x) =???=0?±∞0±∞

Si limx→ag(x) =???=0

??=0 etg(x) garde un signe constant au voisinage dea

±∞??0±∞

alors limx→a(fg)(x) = Remarque :Il y a 4 formes indéterminées :+∞-∞; 0×∞;00;∞∞

3.4 Limite d"une fonction composée

Théorème 1.admisa,b et c désignantdes réels,ou+∞ou-∞. silimx→af(x)=b et silimX→bg(X)=c alorslimx→ag(f(x))=c.

Ph Depresle : Notes de coursPage 4 sur

12

Chapitre : Limites et continuitéTerminale S

4 Limites defonctions usuelles

246810

-22 4-2-4y=x2 limx→-∞x2=+∞ lim x→+∞x2=+∞

246810

-2 -4 -62-2-4 y=x3 limx→-∞x3=-∞ lim x→+∞x3=+∞

246810

-2 -4 -62 4-2-4y=1x limx→-∞1x=0 limx→x>001x=+∞ lim x→+∞1 x=0 limx→x<001x=-∞

• ?n?N?: limx→+∞xn=+∞

•limx→+∞?

x=+∞ •Sinnon nul est pair : limx→-∞xn=+∞.

•Sinest impair : limx→-∞xn=-∞.

5 Théorème d"encadrement (des gendarmes)

Théorème 2.a désigne un réel, ou+∞ou-∞.?est un réel. Si f?g?h et si les fonctions f et h ont la même limite?en a, alors il en est de même pour g. Exemple :On considère la fonctionf:x?→cos4x x2. Étudier les limites defen+∞et en donner une interprétation graphique. ?x?R?:-1?cos4x?1 etx2>0 donc -1 x2?cos4xx2?1x2.

On a donc :

-1 x2?f(x)?1x2. lim x→+∞1 x2=limx→+∞-1x2=0 , le théorème des gendarmes per- met de conclure que lim x→+∞f(x)=0. présentative defau voisinage de+∞ 24
-22 4-2-4

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Chapitre : Limites et continuitéTerminale S

Théorème 3.a désigne un réel, ou+∞ou-∞. •Si f?g au voisinage de a et silimx→af(x)=+∞alorslimx→ag(x)=+∞. •Si g?h au voisinagede a et silimx→ah(x)=-∞alorslimx→ag(x)=-∞.

6 Continuité

6.1 Définition

Définition 5.Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a un point de I.

On dit que f est continueen a lorsque f admet une limite en a. Cette limite est nécessairement f(a).

Exemple :La fonctionfdéfinie par :???????f(x)=x2+1 six?]-∞;1[ f(1)=3

2f(x)=-x2+2 six?]1,+∞[

fest continue en 0 car limx→0f(x)=1 maisfn"est pas continue en 1 car limx→x<11f(x)=2?=f(1) Cf

Définition 6.On dit qu"une fonction f est continue sur un intervalle I deRsi elle est continue en tout

point de cet intervalle.

Exemple :Dans l"exemple précédentfest continue sur ]-∞,1[ et sur ]1,+∞[ maisfn"est pas conti-

nue surR. Remarque :Une fonction continue sur un intervalle est représentée parun trait continu.

6.2 Théorème des valeursintermédiaires

Théorème 4.admisSoit une fonction f continue sur un intervalle I deRet a et b deux points de I.

Pour tout réel k compris entre f(a)et f(b), il existe au moins un réel c compris entre a et b tel que

f(c)=k.

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12

Chapitre : Limites et continuitéTerminale S

12345
-11 2-1-2-3 a f(a) bf(b)

Corollaire :

Soit une fonctionfcontinue et strictement monotone sur un intervalleI. Alors pour tout réelkde f(I) l"équationf(x)=kadmet une unique solution dansI.

Démonstration :

Supposons quefest une fonction continue et strictement croissante sur l"intervalleI. Soitkun réel def(I),ka au moins un antécédent dansI. Démontrons par l"absurde que cet antécédent est unique. Supposons queksoit l"image de deux réels distinctscetc?aveccExemple :

Démontrer que l"équationx3+x+1=0 a une seule solution. On posef(x)=x3+x+1,fest dérivable et continue surRetf?(x)=3x2+1.

?x?R,f?(x)>0 et limx→-∞f(x)=-∞ainsi que limx→+∞f(x)=+∞. On a donc le tableau de variation :

x-∞α+∞ f?(x)+ + f -∞????0????+∞ fest continue et strictement croissante surR, donc l"équationf(x)=0 a une seule solutionα. f(-1)<0 doncα>-1 f(0)>0 donc-1<α<0

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12

Chapitre : Limites et continuitéTerminale S

7 QCM Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse :

1. Siaun réel quelconque etfune fonction définie et strictement décroissante sur ]a;+∞[, alors

limx→+∞f(x)=-∞.

2. Soientfetgdeux fonctions définies sur [0;+∞[,gne s"annulant pas :

Si lim

x→+∞f(x)=-∞et limx→+∞g(x)=+∞, alors limx→+∞f(x) g(x)=-1.

3. Sifestunefonctiondéfiniesur[0;+∞[telleque0?f(x)??

xsur[0;+∞[,alors limx→+∞f(x)x=0.

4. Une fonctiongest définie sur l"intervalle ]-∞;0] par :g(x)=?

x2-2x x-3. SoitΓsa courbe représentative dans un repère du plan.

Γadmet une asymptote.

5. Si pour tout réelxnégatiff(x)?g(x)?h(x) et limx→-∞f(x)=-∞, alors

lim x→-∞g(x)=-∞

Solutions

1. Lafonctiondéfiniesur]0,+∞[parf(x)=1

xeststrictementdécroissantesur]0,+∞[.Or limx→+∞f(x)= 0.

La proposition 1 est FAUSSE.

2. Soientfetgles fonctions définies sur [0;+∞[parf(x)=-xetg(x)=x2.

lim x→+∞f(x)=-∞et limx→+∞g(x)=+∞. Mais limx→+∞f(x) g(x)=limx→+∞-1x=0.

La proposition 2 est FAUSSE.

3. 0?f(x)

x?1?xsur [0;+∞[. limx→+∞1?x=0. Le théorème d"encadrement nous permet d"affirmer que lim x→+∞f(x) x=0.

La proposition 3 est VRAIE.

4.g(x)=|x|?

1-2x x(1-3x)=-? 1-2x (1-3x). lim x→-∞g(x)=-1. DoncΓadmet une asymptote horizontale d"équation :y=-1.

La proposition 4 est VRAIE.

5. Soitf(x)=1+xetg(x)=1.

Pour tout réel négatif,f(x)?g(x) et limx→-∞f(x)=-∞mais limx→-∞g(x)=1.

La proposition 5 est FAUSSE.

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12

Chapitre : Limites et continuitéTerminale S

8 EXERCICES : Les exercices de base

Exercice 1

Soitf(x)=5x-1

x2-4.

1. Déterminer les limites defen+∞et en-∞. Interprétez graphiquement.

2. Déterminer les limites defen-2 et en 2. Interprétez graphiquement.

3. En admettant quefest décroissante sur tous les intervalles où elle est définie, donner l"allure

de sa courbe représentative dans un repère du plan.

Exercice 2

fest la fonction définie surRparf(x)=? 1+x2. Cest sa courbe représentative dans un repère orthonormal(O,#»ı,#»?).

1. Étudier la limite defen+∞.

2. Vérifier que pour tout réelx,f(x)-x=1

x+?1+x2.

3. Quelle est la limite def(x)-xquandxtend vers+∞?

4. Précisez la position deCpar rapport à la droitedd"équationy=xsur ]0;+∞[.

Exercice 3

On donne ci-dessous le tableau de variations d"une fonctionfdéfinie sur l"intervalle ]0;+∞[ et on

nommeCsa représentation graphique dans un repère orthonormal (O;#»ı,#»?) x0 1+∞ f(x) ??1

Répondre par VRAI ou par FAUX. Les réponses devront être justifiées, éventuellement par des gra-

phiques.

1. Pour tout réelxde ]0;1],f(x)?1

2. L"équationf(x)=0 admet au moins une solution dans ]0,1[.

3. L"équationf(x)=3 admet une solution unique dans ]0,1[.

Exercice 4

Soitf(x)=x4-4x-1. 0n admet quefest strictement décroissante sur ]-∞;1] et strictement crois- près de chacune des solutions.

Exercice 5

Déterminer la limite en+∞de la fonction définie pourx>0 parf(x)=sinx x.

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12

Chapitre : Limites et continuitéTerminale S

9 EXERCICES : Les exercices de base( corrigés)

Exercice 1 :

1. lim

x→+∞5x-1

De même lim

x→-∞f(x)=limx→-∞5 x=0. Donc la droite d"équationy=0 est asymptote horizontale àCen+∞et-∞.

2.•limx→-2(5x-1)=-11 et limx→-2(x2-4)=0

Pour déterminer la limite du quotient, on détermine le signedex2-4. x-∞ -2 2+∞ signe dex2-4+0-0+ On en déduit que limx→x<-2-2f(x)=-∞et limx→x>-2-2f(x)=+∞

•limx→2(5x-1)=9 et limx→2(x2-4)=0

Grâce au tableau de signes précédent : lim x→x<22f(x)=-∞et limx→x>22f(x)=+∞ Les droites d"équationsx=-2 etx=2 sont donc asymptotes verticales à la courbeC. 3. 246
-2 -4 -62 4 6-2-4-6

Exercice 2 :

1. Posonsu(x)=1+x2etv(y)=?

y, on af(x)=v(u(x)). lim lim y→+∞v(y)=limy→+∞? y=+∞? donc lim x→+∞?1+x2= +∞. (limite d"une fonction compo- sée).

2.f(x)-x=?

1+x2-x=(?1+x2-x)(?1+x2+x)?1+x2+x

Le numérateur devient :

1+x2-x)(?1+x2+x)=(?1+x2)2-x2=1+x2-x2=1.

Doncf(x)-x=1

?1+x2+x.

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12

Chapitre : Limites et continuitéTerminale S

3. limx→+∞?1+x2=+∞, donc limx→+∞(?1+x2+x)=+∞(limite d"une somme).

On en déduit que : lim

x→+∞1 ?1+x2+x=0 (limite d"un inverse).

0#»ı#»

Cy=x

4.f(x)-x=1?1+x2+xet sur ]0;+∞[ on ax>0 et?1+x2>0,

doncf(x)-x>0. La courbeCest "au-dessus» de la droitedsur ]0;+∞[.

Exercice 3 :

1. VRAI. Sur l"intervalle ]0;1] la fonctionfest croissante.

Donc six?1 on af(x)?f(1). Commef(1)=1, on a bienf(x)?1.

2. VRAI. La fonctionfest continue sur l"intervalle ]0;1] et à valeurs dans ]-∞;1].

admet au moins une solution dans ]0,1[.

3. FAUX. On a vu à la question 1. que pour tout réelxde ]0;1],f(x)?1.

L"équationf(x)=3 n"a donc pas de solution dans ]0;1].

Exercice 4 :

On a lim

x→-∞f(x)=limx→-∞x4=+∞et limx→+∞f(x)=limx→+∞x4=+∞.

Le tableau de variations defest :

x-∞α1β+∞ f(x) +∞????0????-4????0????+∞ 24
-2 -42 4-2 C

D"après ce tableau de variations :

0 a une solution uniqueαsur [-∞;1[.

Sur [1;+∞[fest continue et strictement croissante etf([1;+∞[)=[-4;+∞[ donc l"équationf(x)=0

a une solution uniqueβsur [1;+∞[.

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12

Chapitre : Limites et continuitéTerminale S

Conclusion : L"équationf(x)=0 a deux solutionsαetβ. En utilisant la calculatrice on trouve quef(-0,248)<0 etf(0,249)>0.

Donc-0,249<α<-0,248.

On trouve de même que 1,663<β<1,664

Exercice 5 :

Pour toutx>0,-1?sinx?1, donc-1

x?sinxx?1x 12 1

1 2 3 4 5 6 7 8

-1x f(x) 1 x

Comme limx→+∞1x=limx→+∞-1x=0.

D"après le théorème des gendarmes on a lim x→+∞f(x)=0.

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