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Remarque : Lorsque x tend vers +∞, la courbe de la fonction "se rapproche" de son asymptote 2) Limite infinie à l'infini Intuitivement : On dit que la fonction f 

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donc nettement plus nombreuses 1) Limite infinie en l'infini a) Exemples Exemple 1 On considère la fonction 

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Comparaison de la fonction logarithme avec la fonction puissance en +∞ et en 0 En + ∞ lim x→+∞ ln(x) x = 

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Théorème (Unicité de la limite) Soient f : D −→ une fonction et a ∈ adhérent à D (i) Si f possède une limite en a, cette limite est unique et notée : lim a

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Dans le cadre des fonctions, nous rencontrerons également cette notion de limite lorsque x tend vers l'infini mais verrons également des limites lorsque x 

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b) Limite infinie quand x tend vers +∞ Soit f une fonction définie sur un ensemble E contenant au moins un intervalle de la forme ]A;+∞[

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1ES Limites LIMITES DE FONCTIONS I LIMITE en + ∞ et en – ∞ a Limite infinie en + ∞ et en – ∞ Soit f une fonction définie sur un intervalle [ a ; + ∞ [

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LimitES dE FoNCtioNS 1 1 nir les limites vues au lycée à l'aide des quantificateurs Attention, toute fonction / n'a pas tou ours de limite (finie ou non ) en a

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Proposition 23 1 Soit f une fonction de Df dans R et x0 ∈ Df La fonction f poss` ede au plus une limite quand x tend vers x0 Preuve Soient l1 et l2 deux limites 

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Fiche technique sur les limites

1Fonctionsélémentaires

Les résultats suivants font référence dans de très nombreuses situations.

1.1Limiteen+1et1

f(x)x n1 x npx1pxln(x)e xlim x!+1f(x)+10+10+1+1lim x!1f(x)npair+1 nimpair10non défininon défininon défini0

1.2Limiteen0

f(x)1 x n1pxln(x)lim x!0x>0f(x)+1+11 lim x!0x<0f(x)npair+1 nimpair1non défininon défini2Asymptotesparallèlesauxaxes Résultat surfInterprétation géométrique sur la courbeCflim x!1f(x)=lLa droitey=lest asymptote horizontale àCflim

x!af(x)=1La droitex=aest asymptote verticale àCf3Opérationsurleslimitesetformesindéterminées

3.1Sommedefonctions

Sifa pour limitelll+11+1Siga pour limitel

0+11+111

alorsf+ga pour limitel+l0+11+11F. Ind.

Paul Milan 1 sur

3

Terminale ES

3.2Produitdefonctions

3.2Produitdefonctions

Sifa pour limitell,001

Siga pour limitel

0111
alorsfga pour limitell01*F. ind.1**Appliquer la règle des signes

3.3Quotientdefonctions

Sifa pour limitell,00l11

Siga pour limitel

0,0001l1

alors fg a pour limitel l

01*F. ind.01*F. ind.

*Appliquer la règle des signes

4Polynômesetlesfonctionsrationnelles

4.1Fonctionpolynôme

Théorème 1Un polynôme a même limite en+1et1que son monôme du plus haut degré.

Si P(x)=anxn+an1xn1++a1x+a0x0alors

lim Théorème 2Une fonction rationnelle a même limite en+1et1que son monôme du plus degré de son numérateur sur celui de son dénominateur.

Si f(x)=anxn+an1xn1++a1x+a0x0b

mxm+bm1xm1++b1x+b0x0alors lim x!+1f(x)=limx!+1a nxnb mxmetlimx!1f(x)=limx!1a nxnb mxmPaul Milan 2 sur3 Terminale ES

4.3Asymptoteoblique

4.3Asymptoteoblique

Théorème 3Dans une fonction rationnelle lorsque le degré du polynôme du numé- rateur est égale à celui de son dénominateur plus un, alors la représentation de cette fonctionCfadmet une asymptote oblique(D)en+1et1.

Soit f(x)=P(x)Q(x)et dP=dQ+1

Soit la droite(D)d"équation y=ax+b alorslimx!1[(f(x)(ax+b)]=05Fonctionslogarithmeetexponentielle

5.1Fonctionlogarithme

Comparaison de la fonction logarithme avec la fonction puissance en+1et en0.

En+1limx!+1ln(x)x

=0;limx!+1ln(x)x n=0

En0 limx!0x>0xln(x)=0;limx!0x>0x

nln(x)=0

5.2Fonctionexponentielle

Comparaison de la fonction exponentielle avec la fonction puissance en+1et en1.

En+1limx!+1e

xx = +1;limx!+1e xx n= +1 En 1limx!1xex=0;limx!1xnex=0Paul Milan 3 sur3 Terminale ESquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47