[PDF] [PDF] LIMITES DE FONCTIONS - Pierre Lux

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1 ) THEOREMES DE COMPARAISON A ) THEOREME DES GENDARMES Théorème des gendarmes ou théorème d'encadrement Soit f, g et h trois fonctions 

[PDF] Passage à la limite et gendarmes

ii ≤ ≤ Pour passer à la limite dans un encadrement, il faut D'ABORD avoir prouvé l'existence des 3 limites ',

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Exercices : Limites et continuité Au voisinage de −2, la fonction f admet des limites infinies à gauche et à Donc, d'après le théorème des gendarmes, lim

[PDF] Théorème Théorème Théorème des gendarmes - Maths au LFKL

Exemple : Soit la fonction f définie sur par ( ) √ On souhaite calculer la limite de la fonction f en +∞ On considère les fonctions u et v définie par 

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4) Limite infinie en un réel III POUR DETERMINER DES LIMITES DE FONCTIONS 1) Théorème « des gendarmes » 2) Théorèmes de comparaison de 

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Propriété : Si une suite (un) converge vers L alors cette suite a une seule limite, L Théorèmes des gendarmes : Si trois suites (un), (vn) et (wn) sont telles que :

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Exercices sur les limites de fonctions par comparaison 1 On considère la limites Extension du théorème des gendarmes f x g x x f x

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n'est cependant pas une limite de référence et doit être démontrée à chaque fois II Extension du théorème des gendarmes (un seul gendarme) 1°) Énoncé I 

[PDF] TSVP☞ Théorème des gendarmes Exercice 3 : 7 points

+∞→ 3°) En déduire ) x 1(xE lim 0x → Exercice 3 : 7 points 1°) Dans chaque cas, étudier la limite de f en a a) f:x-> 3xx2 +− en a=+∞ b) f:x-> )²3x2( 1²x +

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- Limites de fonctions - 1 / 1 -

LIMITES DE FONCTIONS

Ce cours est un complément des propriétés vues en 1èreS qu'il est préférable d'avoir relues !

1 ) THEOREMES DE COMPARAISON

A ) THEOREME DES GENDARMES

Théorème des gendarmes ou théorème d'encadrement Soit f, g et h trois fonctions définies sur un intervalle ] b ; + [ et L IR . Si pour tout x ] b ; + [, g ( x ) f ( x ) h ( x ) et lim x + g ( x ) = lim x + h ( x ) = L , alors, lim x + f ( x ) = L

Ce théorème reste valable pour des

limites en - et en un réel a .

Il suffit dans les hypothèses de

modifier le domaine de validité des inégalités.

Preuve :

Soit > 0.

Il existe un réel M

1 , tel que, si x M 1 , L - < g ( x ) < L +

De même, il existe un réel M

2 , tel que, si x M 2 , L - < h ( x ) < L +

Soit M le plus grand des réels M

1 et M 2

Ainsi pour tout x M, on a L - < g ( x ) f ( x ) h ( x ) < L + et donc L - < f ( x ) < L +

Ce résultat est vrai pour tout > 0 . Donc

lim x + f ( x ) = L

Exemple :

Soit f ( x ) = cos x

x . Calculer lim x + f ( x )

Pour toux x IR

+* , on a : - 1 cos x 1 , donc - 1 x cos x x 1 x .

Or lim

x + ( - 1 x ) = lim x + 1 x = 0 . D'après le théorème des gendarmes, on déduit que lim x + f ( x ) = 0

Propriété

Soit f et g deux fonctions définies sur un intervalle ] b ; + [ et L IR . Si pour tout x ] b ; + [ , | f ( x ) - L | g ( x ) et lim x + g ( x ) = 0 , alors lim x + f ( x ) = L Ce théorème reste valable pour des limites en - et en un réel a .

Il suffit dans les hypothèses de

modifier le domaine de validité des inégalités.

Preuve :

Pour tout x ] b ; + [, | f ( x ) - L | g ( x ) L - g ( x ) f ( x ) L + g ( x )

Or lim

x + ( L - g ( x )) = lim x + ( L + g ( x )) = L . D'après le théorème des gendarmes, on déduit que lim x + f ( x ) = L

B ) COMPARAISON A L'INFINI

Propriété

Soit f et g deux fonctions définies sur un intervalle ] b ; [ . Si pour tout x ] b ; [ g ( x ) f ( x ) et si limx + g ( x ) = + , alors lim x + f ( x ) = + Si pour tout x ] b ; [ f ( x ) g ( x ) et si lim x + g ( x ) = - , alors lim x + f ( x ) = -

Ce théorème reste valable pour des

limites en -

Preuve :

Soit M > 0.

lim x + g ( x ) = + , Il existe donc un réel m tel que, si x > m , alors g ( x ) > M . Or g ( x ) f ( x ) . On en déduit que, si x > m , alors f ( x ) > M.

Ce résultat est vrai pour tout M . Donc lim

x + f ( x ) = + Le deuxième résultat se démontre de la même façon. Exemple : Soit f ( x ) = x - sin x . Calculer lim x + f ( x ) Pour toux x IR, on a : - 1 - sin x , donc x - 1 x - sin x

Or lim

x + ( x - 1 ) = + . On en déduit que lim x + f ( x ) = +

2 ) LIMITE D'UNE FONCTION COMPOSEE ( admis )

Propriété

Soit f, g et h trois fonctions telles que f ( x ) = g ( h ( x ) ). Chacune des lettres a, b et c désigne soit un réel, soit +, soit -.

Si lim

x a h ( x ) = b et si lim x b g ( x ) = c , alors lim x a f ( x ) = c Dans la pratique, on cherche d'abord la limite b de h en a, puis la limite de g en b. Preuve intuitive : cas où a, b et c sont des réels.

On a lim

x a h ( x ) = b. Ainsi , lorsque x tend vers a, les nombres h ( x ) se rapprochent de b. Posons h ( x ) = X . On a alors f ( x ) = g ( X ) .

Lorsque les nombres X tendent vers b, alors les nombres g ( X ) se rapprochent de c, puisque limx b

g ( x ) = c .On en déduit que lim x a g ( h ( x ) ) = c

Exemple :

Soit f ( x ) = 2 x

2 - 3 x + 5 . Calculer lim x + f ( x )

Posons X = 2 x

2 - 3 x + 5 . On a alors f ( x ) = X lim x +

X = + et lim

x +

X = + . On en déduit que lim

x + f ( x ) = +quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47