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Examens corrigés

FrançoisDEMARÇAY

Département de Mathématiques d"Orsay

Université Paris-Sud, France

1.Examen 1

Exercice 1.

SoientHetKdeux espaces de Hilbert, soitFun sous-espace vectoriel arbi- traire deH, et soitLune application linéaire continue quelconque deFdansK. L"objectif est de démontrer qu"il existe (au moins) un prolongement linéaire continu eL:H!K de l"applicationLàHtout entier,i.e.satisfaisanteLF=LetjjjeLjjj<1, dont la norme d"opérateur reste inchangée :jjjeLjjj=jjjLjjj. (a)Rappeler la définition de la norme d"opérateurjjjLjjj. (b)Montrer tout d"abord queLadmet un unique prolongement linéaire continuL02 Lin F;K (c)Établir que l"applicationh7! F (h), deHà valeurs dans

F, "projection orthogonale

sur

F», est linéaire continue. Que vautjjj

F jjj? (d)Considérer l"opérateureL:=L0 F et conclure.

Exercice 2.

SoitC1;C2;:::;Ck;:::une suite de sous-ensembles convexes fermés non vides dans un espace de HilbertHqui satisfont : C k+1Ck(k>1): (a)Montrer par un exemple géométrique simple que l"intersection : C 1:=1\ k=1C k peut se réduire à l"ensemble vide. (b)On suppose dorénavant queC16=;. Vérifier alors queC1est un sous-ensemble convexe fermé deH. (c)Fixons à présent un élémenth2Harbitraire. Pour tout entierk>1, on note : h k:=Ck(h) le projeté dehsurCk, et aussi : C1(h) le projeté dehsurC1. Vérifier alors que : jjhhkjj26jjhhk+1jj26jjhC1(h)jj2: 1

2FrançoisDEMARÇAY, Département de Mathématiques d"Orsay, Université Paris-Sud

(d)Qu"en déduire sur la suitejjhhkjj2 k>1? (e)En utilisant l"identité du parallélogramme (que l"on rappellera ou que l"on reconsti- tuera), établir que la suite(hk)k>1est alors nécessairement de Cauchy dansHpour la distance associée à la norme hilbertienne. (f)Si on note : h

1:=limk!1hk;

montrer que l"on a, pour toutg2C1:

Rehhh1; gh1i60:

(g)En déduire : h

1=C1(h);

et énoncer le résultat obtenu sous la forme d"un théorème clair.

Exercice 3.

Sif2C0(T), alors pour toutn2N, lan-ème somme de Fejér est continue sur le cercleTet satisfait : jjn(f)jjC06jjfjjC0:

Exercice 4.

Calculer les coefficients de Fourier de la fonctionf:R!Rdéfinie pour tout

2[;]par :

f() := 12 2; et prolongée comme fonction2-périodique (continue) surRtout entier.

Exercice 5.

On considère la série de fonctions :

X n>1sin 3(n) n!: (a)Montrer que cette série converge uniformément surR. On noteS()sa somme. (b)Montrer queSest de classeC1et2-périodique. (c)En développantsin3(n), exprimerS()en fonction de (justifier aussi l"existence) : () :=X n>1sin(n) n!: (d)Montrer queS()est développable en série de Fourier et trouver son développement. (e)En considérant aussi : () :=1X n=1cosn n!; calculer explicitement() +i(). (f)En déduire que pour tout2R, on a la formule explicite :

S() =3

4 sinsin)ecos1 4 sinsin3)ecos3:

1.Examen 13

Exercice 6.

Soitf2C0(T)ayant une série de Fourier de la formeP n>1bnsin(n)avec b n2R. est impaire. (b)On considère la fonctionF:R!Rdéfinie par :

F() :=Z

0 f(t)dt: Montrer queFest2-périodique, de classeC1, et que ses coefficients de Fourier sont donnés par :2 6 64b

F(0) =Z

2 0 tf(t)dt 2; b

F(k) =1

2jkjbjkj;8k2Z:

Exercice 7.

Soitf2C0(T). Montrer que la série :

X k2Zb f(k) k est absolument convergente.

4FrançoisDEMARÇAY, Département de Mathématiques d"Orsay, Université Paris-Sud

2.Corrigé de l"examen 1

Exercice 1.

On supposeraF6=f0g, car siFse réduit àf0g, l"application linéaire continue H!Kidentiquement nulle convient comme prolongement de l"application nullef0g !

Kpréservant la norme d"opérateur.

(a)La norme de l"opérateur linéaire :

L:F;jj jjH!K;jj jjK

est classiquement définie par : jjjLjjj:=sup f2F f6=0jjL(f)jjK jjfjjH=sup f2F jjfjj=1jjL(f)jjK: (b)Tout élément f2 Fde l"adhérence du sous-espace vectorielFHs"obtient comme la limite dansHd"une certaine suite(fk)k>1d"élémentsfk2F, laquelle est alors néces- sairement de Cauchy. Or la majoration uniforme : jjL(fk2)L(fk1)jjK6jjjLjjjjjfk2fk1jjH montre que la suiteL(fk) k>1est alors aussi de Cauchy dans l"espace de HilbertK, lequel est complet par définition. Donc il existe un unique g2Ktel quelimk!1L(fk) = g. Maintenant, cette application (noter le léger changement de notation par rapport à l"énoncé, où le prolongement

Létait notéL0)

Lqui à un tel

Fassocie ce

gestli- néaire, puisque, sif0k! f 02 F, si g 0:= L( f

0), sif00k!

f 002 F, si g 00:= L( f

00), et si

0; 00sont deux constantes arbitraires, la suite0f0k+00f00kconverge vers0

f 0+00 f

00, et

on déduit de la linéarité de

Lque :

lim k!1L0f0k+00f00k=0limk!1L(f0k) +00limk!1L(f00k) =0 g 0+00 g 00; donc l"unique élément que

Lassocie à0

f 0+00 f

00est bien égal à0

L( f

0) +00

L( f 00). Ensuite, en passant à la limite dans les inégalités : jjL(fk)jjK6jjjLjjjjjfkjjH(k>1;fk2F); on obtient : jj L f jjK6jjjLjjjjj fjjH; et doncjjj

Ljjj6jjjLjjj, ce qui montre que

Lest un opérateur linéaire continu. En fait, comme L

F=L, on a même, plus précisément :

jjj

Ljjj=jjjLjjj:

Enfin, si deux applications linéaires continues L 1: F!Ket L 2:

F!Kprolongent

toutes deuxL:F!K, à savoir L

1F=Let

2F=L, alors, puisque tout élément

2.Corrigé de l"examen 15

élément

f2 Fde l"adhérence deFpeut s"écrire comme la limite f=limk!1fkd"une suite d"élémentsfk2F, et puisque L 1et L

2sont continues, on voit que :

L 1 f L

1limk!1fk=limk!1

1(fk) =limk!1L(fk) =

=limk!1 L

2(fk) =

2limk!1fk=

L 2 f d"où L 1= L 2.

Ainsi l"application

Ldéfinit l"unique prolongement linéaire continu L2Lin F;K de

L, c"est-à-dire satisfaisant

L F=L. (c)D"après un résultat du cours, puisque Fest fermé, l"espace de HilbertHse décompose comme somme directe orthogonale : H= F F de

Favec son orthogonal :

F ?:=g2H:hg;fi= 0;8f2 F lequel est lui aussi fermé. Ainsi, tout élémenth2Hse décompose comme : h= F (h) + F ?(h); où les deux projections F ()et F ?()sont linéaires, et l"orthogonalité assure que le théo- rème de Pythagore est satisfait : jjhjj2= F (h)2+ F ?(h)2:

Mais alors, si on néglige le second terme à droite qui est positif, cette égalité peut être vue

comme une inégalité : jjhjj2> F (h)2; laquelle exprime que la norme de l"opérateur de projection orthogonale F ()est toujours

61. Enfin, puisque cet opérateur se réduit à l"identité en restriction à

F6=f0g, on a en

fait : jjj F jjj= 1: (d)L"opérateureL:= L F est linéaire continu, puisque Let F le sont tous deux. De

plus, grâce à la majoration connue de la norme d"opérateur d"une composition d"opérateurs

continus : jjjeLjjj6jjj

Ljjj jjj

F jjj| {z =1 =jjj Ljjj =jjjLjjj; on voit que eLest continu lui aussi, de norme d"opérateur majorée par celle deL. Mais comme sa restriction eLF=LàF6=f0gest clairement égale àLpar définition, il se trouve quejjjeLjjj=jjjLjjjen fait. En conclusion, il existe (au moins) un prolongement linéaire continu eL:H!Kde l"applicationLàHtout entier,i.e.satisfaisanteLF=LetjjjeLjjj<1, dont la norme

d"opérateur reste inchangée :jjjeLjjj=jjjLjjj. Ce théorème est vrai plus généralement dans

6FrançoisDEMARÇAY, Département de Mathématiques d"Orsay, Université Paris-Sud

n"importe quel espace vectoriel normé (espace dit de Banach), d"après le fameuxThéorème de Hahn-Banach (cours de M1).

Exercice 2.

(a)DansH=R2(x;y), une famille de demi-espaces fermés à bords parallèles qui est poussée à l"infini telle que, disons,Ck:=fx>kg, offre un exemple simple de suite de sous-ensembles convexes fermés non videsC1;C2;:::;Ck;:::emboîtés les uns dans les autres :Ck+1Ckmais dont l"intersectionT1 k=1Ck=;est vide. (b)L"intersectionT1 k=1Ck=:C1est toujours un fermé, car au niveau abstrait de la topologie générale, une intersection quelconque d"ensembles fermés est encore fermée, sachant que l"ensemble vide est un fermé lui aussi.quotesdbs_dbs8.pdfusesText_14

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Examens corrigés

FrançoisDEMARÇAY

Département de Mathématiques d"Orsay

Université Paris-Sud, France

1.Examen 1

Exercice 1.

F, "projection orthogonale

F», est linéaire continue. Que vautjjj

Exercice 2.

2FrançoisDEMARÇAY, Département de Mathématiques d"Orsay, Université Paris-Sud

1:=limk!1hk;

Rehhh1; gh1i60:

1=C1(h);

Exercice 3.

Exercice 4.

2[;]par :

Exercice 5.

On considère la série de fonctions :

S() =3

1.Examen 13

Exercice 6.

F() :=Z

F(0) =Z

F(k) =1

2jkjbjkj;8k2Z:

Exercice 7.

Soitf2C0(T). Montrer que la série :

4FrançoisDEMARÇAY, Département de Mathématiques d"Orsay, Université Paris-Sud

2.Corrigé de l"examen 1

Exercice 1.

Kpréservant la norme d"opérateur.

L:F;jj jjH!K;jj jjK

Létait notéL0)

Lqui à un tel

Fassocie ce

0), sif00k!

00), et si

0; 00sont deux constantes arbitraires, la suite0f0k+00f00kconverge vers0

00, et

Lque :

Lassocie à0

00est bien égal à0

0) +00

Ljjj6jjjLjjj, ce qui montre que

F=L, on a même, plus précisément :

Ljjj=jjjLjjj:

F!Kprolongent

1F=Let

2F=L, alors, puisque tout élément

2.Corrigé de l"examen 15

élément

2sont continues, on voit que :

1limk!1fk=limk!1

1(fk) =limk!1L(fk) =

2(fk) =

2limk!1fk=

Ainsi l"application

L, c"est-à-dire satisfaisant

Favec son orthogonal :

61. Enfin, puisque cet opérateur se réduit à l"identité en restriction à

F6=f0g, on a en

Ljjj jjj

6FrançoisDEMARÇAY, Département de Mathématiques d"Orsay, Université Paris-Sud

Exercice 2.