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Remarque : Lorsque x tend vers +∞ , la courbe de la fonction "se rapproche" de son asymptote La distance MN tend vers 0 2) Limite infinie à l'infini Intuitivement 

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Théorème 2 Une fonction rationnelle a même limite en +∞ et −∞ que son monôme du plus degré de son numérateur sur celui de son dénominateur Si f(x) =

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La seule vraie nouveauté sera la définition rigoureuse de la notion de limite (dite "définition avec des ε") 1 LimitES dE FoNCtioNS 1 1 Retour sur les 

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Si f(x) converge quand x tend vers a, alors la limite est unique 2 Si a ∈ Df et si Le résultat attendu sur la composition des limites se vérifie, à un détail près

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Opérations sur les limites (un) et (vn) sont deux suites f et g sont deux fonctions ayant le même ensemble de définition 3, a est un réel ou +о ou −о et est une 

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Limites de fonctions Définitions Soient f une fonction définie sur un intervalle de la forme ]A,+∞[ et ℓ un réel • On dit que f(x) tend vers ℓ quand x tend vers +∞ 

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LIMITES DE FONCTIONS I LIMITE en + ∞ et en – ∞ a Limite infinie en + ∞ et en – ∞ Soit f une fonction définie sur un intervalle [ a ; + ∞ [ Si « f ( x ) est aussi  

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Théorème (Unicité de la limite) Soient f : D −→ une fonction et a ∈ adhérent à D (i) Si f possède une limite en a, cette limite est unique et notée : lim a

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1- Limite infinie en l'infini Lorsque f (x) peut être rendu supérieur à tout réel positif A pour x suffisamment grand, on dit que f (x) tend vers +∞ lorsque x tend vers 

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Fiche technique sur les limites

1Fonctionsélémentaires

Les résultats suivants font référence dans de très nombreuses situations.

1.1Limiteen+1et1

f(x)x n1 x npx1pxln(x)e xlim x!+1f(x)+10+10+1+1lim x!1f(x)npair+1 nimpair10non défininon défininon défini0

1.2Limiteen0

f(x)1 x n1pxln(x)lim x!0x>0f(x)+1+11 lim x!0x<0f(x)npair+1 nimpair1non défininon défini2Asymptotesparallèlesauxaxes Résultat surfInterprétation géométrique sur la courbeCflim x!1f(x)=lLa droitey=lest asymptote horizontale àCflim

x!af(x)=1La droitex=aest asymptote verticale àCf3Opérationsurleslimitesetformesindéterminées

3.1Sommedefonctions

Sifa pour limitelll+11+1Siga pour limitel

0+11+111

alorsf+ga pour limitel+l0+11+11F. Ind.

Paul Milan 1 sur

3

Terminale ES

3.2Produitdefonctions

3.2Produitdefonctions

Sifa pour limitell,001

Siga pour limitel

0111
alorsfga pour limitell01*F. ind.1**Appliquer la règle des signes

3.3Quotientdefonctions

Sifa pour limitell,00l11

Siga pour limitel

0,0001l1

alors fg a pour limitel l

01*F. ind.01*F. ind.

*Appliquer la règle des signes

4Polynômesetlesfonctionsrationnelles

4.1Fonctionpolynôme

Théorème 1Un polynôme a même limite en+1et1que son monôme du plus haut degré.

Si P(x)=anxn+an1xn1++a1x+a0x0alors

lim Théorème 2Une fonction rationnelle a même limite en+1et1que son monôme du plus degré de son numérateur sur celui de son dénominateur.

Si f(x)=anxn+an1xn1++a1x+a0x0b

mxm+bm1xm1++b1x+b0x0alors lim x!+1f(x)=limx!+1a nxnb mxmetlimx!1f(x)=limx!1a nxnb mxmPaul Milan 2 sur3 Terminale ES

4.3Asymptoteoblique

4.3Asymptoteoblique

Théorème 3Dans une fonction rationnelle lorsque le degré du polynôme du numé- rateur est égale à celui de son dénominateur plus un, alors la représentation de cette fonctionCfadmet une asymptote oblique(D)en+1et1.

Soit f(x)=P(x)Q(x)et dP=dQ+1

Soit la droite(D)d"équation y=ax+b alorslimx!1[(f(x)(ax+b)]=05Fonctionslogarithmeetexponentielle

5.1Fonctionlogarithme

Comparaison de la fonction logarithme avec la fonction puissance en+1et en0.

En+1limx!+1ln(x)x

=0;limx!+1ln(x)x n=0

En0 limx!0x>0xln(x)=0;limx!0x>0x

nln(x)=0

5.2Fonctionexponentielle

Comparaison de la fonction exponentielle avec la fonction puissance en+1et en1.

En+1limx!+1e

xx = +1;limx!+1e xx n= +1 En 1limx!1xex=0;limx!1xnex=0Paul Milan 3 sur3 Terminale ESquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47