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1
Le produit scalaire et ses
applicationsTable des matières1 Définitions et propriétés
21.1 Définition initiale
21.2 Définition dans un repère orthonormal
21.3 Définition projective
31.4 Propriétés
41.5 Projection
51.6 Applications
61.6.1 En physique
61.6.2 Lignes de niveau
82 Relations métriques dans un triangle
92.1 Relation d"Al Kashi
92.2 Relation des sinus
112.3 Théorème de la médiane
133 Trigonométrie
143.1 Formules d"addition
143.2 Formules de duplication
163.3 Formules de linéarisation
18 PAUL MILAN17 mai 2011 PREMIÈRES
21 DÉFINITIONS ET PROPRIÉTÉS1Définitionsetpropriétés
Les trois définitions suivantes sont équivalentes. On pourrait choisir comme point de départ chacune d"elle.1.1Définitioninitiale
Définition 1 :On appelle produit scalaire de deux vecteurs~uet~v, le nombre réel noté ~u~vtel que : u~v=12 jj ~u+~vjj2 jj~ujj2 jj~vjj2Par convention, on écrira : ~u~u=~u2.Exemple :Calculer le produit scalaire!AB!ADpour la figure suivante :CommeABCDest un parallélogramme, on a!AB+!AD=!ACdonc :
AB!AD=12
!AC2!AB2!AD2 12 (AC2AB2AD2) 12 (36169) 112Définition 2 :Dans un repère orthonormal(O,~ı,~â), le produit scalaire de deux vecteurs ~uet~vde coordonnées respectives(x;y)et(x0;y0)est égal à : u~v=xx0+yy0
On peut aussi utiliser la notation matricielle :
x y x0 y 0 =xx0+yy0PAUL MILAN17 mai 2011 PREMIÈRES1.3 DÉFINITION PROJECTIVE3Montrons que cette définition est équivalente à la définition initiale.
On rappelle que si un vecteur
~ua pour coordonnées(x;y)alors : jj ~ujj2=x2+y2On a alors :
u~v=12 jj!u+vjj2 jj~ujj2 jj~vjj2 12 h (x+x0)2+ (y+y0)2(x2+y2)(x02+y02)i 12 (x2+2xx0+x02+y2+2yy0+y02x2y2x02y02) 12 (2xx0+2yy0) =xx0+yy0 Exemple :Déterminer le produit scalaire :!AB!AC!AB!AC=32
02 12 12 1 2 3 1 =1(3) + (2)(1) =11.3Définitionprojective
Définition 3 :Le produit scalaire de deux vecteurs~uet~vest défini par :u~v=jj~ujj jj~vjj cos(~u,~v)Montrons que cette définition est équivalente à la définition dans un repère
orthonormal. Prenons un repère orthonormal(O,~ı,~â)dont le premier vecteur~ısoit coli- néaire et de même sens que le vecteur ~u. Le vecteur~uet~vont pour coordonnées respectives(x;y)et(x0;y0), avec : (x=jj~ujj y=0et(x0=jj~vjjcos(~u,~v) y0=jj~vjjsin(~u,~v)
On a donc :PAUL MILAN17 mai 2011 PREMIÈRES
41 DÉFINITIONS ET PROPRIÉTÉS~
u~v=xx0+yy0 =jj~ujj jj~vjj cos(~u,~v)Cette définition revient à projetter le vecteur ~vsur le vecteur~u. Exemple :Déterminer le produit scalaire :!AB!AC!AB!AC=jj!ABjj jj!ABjj cos60°
=ABACcos60° =3212 =31.4Propriétés
Propriété 1 :Nous nous en remettons au lecteur pour montrer les proprié- tés suivantes : 1Le pr oduitscal aireest commutatif :
u~v=~v~u 2 Le pr oduitscalair eest distributif par rapport à l"addition de deux vec- teurs : u(~v+~w) =~u~v+~u~m 3 Le pr oduitscalair eest distributif par rapport à la multiplication par un scalaire : (a~u)(b~v) =ab(~u~v)PAUL MILAN17 mai 2011 PREMIÈRES1.5 PROJECTION5Propriété 2 :Nous nous en remettons au lecteur pour montrer les pro-
priétés suivantes : 1Si les vecte urs
~uet~vsont colinéaires et de même sens alors : u~v=jj~ujj jj~vjj 2Si les vecte urs
~uet~vsont colinéaires et de sens contraires alors : u~v=jj~ujj jj~vjj 3Si les vecte urs
~uet~vsont perpendiculaires alors : u~v=01.5Projection Théorème 1 :Soit deux vecteurs!ABet!CD. On appelleKetHles projec- tions orthogonales respectives deCetDsur la droiteAB, on a alors :AB!CD=ABKHsi!ABet!KHsont de même sens.
!AB!CD=ABKHsi!ABet!KHsont de sens contraires.On a pour les deux cas les figures suivantes : Exemple :En utilisant les renseignements portés sur la figure ci-dessous, calculer les produits scalaires suivants : !AB+!AH !ABet!AH+!HC !ABPAUL MILAN17 mai 2011 PREMIÈRES61 DÉFINITIONS ET PROPRIÉTÉS
!AB+!AH !AB=AB2+!AH!AB si on projette orthogonalementBsur(AH), on obtientH, donc : =AB2+AH2 en utilisant le théorème de Pythagore, on a =AB2+ (AB2BH2) =2AB2BH2 =241 =7 !AH+!HC !AB=!AH!AB+!HC!AB si on projette orthogonalementAsur(HC), on obtientH, donc : =AH2+!HC!HB = (AB2BH2)HCHB =4121 =11.6Applications
1.6.1Enphysique
On peut utiliser le produit scalaire pour calculer la résultante de deux forces. Soit un pointOsoumis à deux forces!F1et!F2qui forme un angle de 50 degré. les intensités des deux forces!F1et!F2sont respectivement 300 N et 200 N. On a alors la figure ci-dessous :PAUL MILAN17 mai 2011 PREMIÈRES1.6 APPLICATIONS7D"après la première définition, on a :
F1!F2=12
jj!F1+!F2jj2F21F22D"après la troisième définition, on a :
F1!F2=F1F2cos50°
On obtient alors :
12 jj!F1+!F2jj2F21F22 =!F1!F2=F1F2cos50° jj !F1+!F2jj2=2F1F2cos50°+F21+F22 jj!F1+!F2jj=q2F1F2cos50°+F21+F22 =p2300200cos50°+3002+2002 '455,12 N On retrouve le produit scalaire en physique pour le travail d"un force. En effet le travailWd"une force~Fest égale au produit scalaire du vecteur force~Fpar le vecteur déplacementW=~F~`
Une dépaneuse remorque une voiture en panne sur une côte de 20 degré. La En supposant que le câble fait un angle de 30 degré avec le plan de la route et que la tension est de 1600 N, quel est le travail effectué par la dépaneuse sur la voituresi ele la remorque sur une distance de 0,50 km sur cette route en pente.L"angle de la route n"a pas d"importance ici. On a alors :
W=!FT!`
=FTcos30500 =1600p3 2 500=400 000p3 '692,82 kJPAUL MILAN17 mai 2011 PREMIÈRES
81 DÉFINITIONS ET PROPRIÉTÉS1.6.2Lignesdeniveau
Un problème de lignes de niveau consiste à déterminer un ensemble de points du plan qui vérifient une égalité. Ce nom vient des courbes que l"on trace sur une carte routière qui correspondent aux points de même altitude. SoientAetBdeux points donnés tels queAB=6. On appelleLkl"ensemble des pointMtels que :!MA!MB=k 1) Déterminer l"e nsembledes point Msuivant les valeurs dek. 2) Constr uire,si possi ble,Lk, dans chacun des cas suivants. a)k=10b) k=5c) k=0d) k=73)Cest tel queABCest un triangle équilatéral. Comment choisirkpout queC
soit un point deLk? 1) Soit Ile milieu du segment[AB]. On introduit le pointIdans la relation de L k.MA!MB=k!MI+!IA
!MI+!IB =k MI2+!MI!IB+!IA!MI+!IA!IB=k
MI2+!MI!IB+!IA!IA!IB=k
CommeI=m[AB]alors!IB+!IA=!0 et!IA!IB=AB24
MI 2AB24 =k MI2=k+AB24
CommeAB=6, on a :
MI 2=k+9 Pour que cette égalité soit vérifiée, il faut que : k+9>0)k>9 Conclusion :Sik>9 l"ensemble des pointMest un cercle de centreIet de rayonpk+9. Lorsquek=9, l"ensemble est réduit au pointI.2)L10n"existe pas. Les autres cas sont représenté ci-dessous :PAUL MILAN17 mai 2011 PREMIÈRES
9 3) Si le triangle ABCest équilatéral, la droite(CI)représente une hauteur du triangleABC. On sait que la longueur de la hauteur d"un triangle équilatéral de côté 6 est égale à : h=6p3 2 =3p3On a alors :
pk+9=3p3)k+9=27)k=18Conclusion :: Le pointC2L18
2Relationsmétriquesdansuntriangle
2.1Relationd"AlKashi
Cette relation a pour but de déterminer une relation entre les trois longueursd"un triangle soit une généralisation du théorème de Pythagore.PAUL MILAN17 mai 2011 PREMIÈRES
102 RELATIONS MÉTRIQUES DANS UN TRIANGLEThéorème 2 :Dans un triangle quelconqueABCen prenant les notations
indiquées sur la figure ci-dessous, on a : a2=b2+c22bccosˆADémonstration :On part de la relation :
!BC2= (!BA+!AC)2 !AC!AB)2 !AC22!AC!AB+!AB2 =AC2+AB22ACABcosˆA Ce qui devient en utilisant les notations de la figure : a2=b2+c22bccosˆA
Exemple :Soit le triangle ci-dessous. Déterminer la longueurBCet les angles ˆBetˆC.Avec nos notations nous avons alors :b=3c=8 etˆA=60. Nous cher- chons donc à déterminerales anglesˆBetˆC. D"après la relation d"Al Kashi, nous avons : a2=b2+c22bccosˆA
=32+8223812 =9+6424 =49 donc : a=7PAUL MILAN17 mai 2011 PREMIÈRES2.2 RELATION DES SINUS11Pour déterminer l"angle
ˆB, on fait une permutation circulaire de la formule d"Al Kashi, c"est à dire : a!b b!c c!aA!ˆB
On obtient donc :
b2=c2+a2+2accosˆB
2accosˆB=a2+c2b2
cosˆB=a2+c2b22ac
49+649278
104112
1314On obtient donc :
B=arccos1314
'21,79 enfin, on trouve l"angleˆC, par complément à 180, soit :
C'1806021,79'98,21
2.2Relationdessinus
La formule d"Al Kashi est efficace si l"on connaît deux distances et un angle ou 3 distances. Par contre si l"on ne connaît qu"une distance, la relation n"est pasutilisable. On utilise alors la relations des sinus.Théorème 3 :Dans un triangle quelconqueABC, on a les relations sui-
vantes en gardant les mêmes notations et en appelantSla surface du tri- angleABC:S=acsinˆB2
sinˆAa
=sinˆBb =sinˆCc Démonstration :On a la figure ci-dessousPAUL MILAN17 mai 2011 PREMIÈRES122 RELATIONS MÉTRIQUES DANS UN TRIANGLEOn a alors :
S=BCAH2
Avec nos notations et comme sin
ˆB=AHAB
=AHcS=acsinˆB2
En utilisant une permutation circulaire sur la surface du triangle, on obtient : acsinˆB2 =absinˆC2 =bcsinˆA2 en multipliant par 2 et en divisant parabc, on a acsinˆBabc =absinˆcabc =bcsinˆAabc sinˆBb
=sinˆCc =sinˆAaExemple :Soit le triangle ci-dessous. Déterminer la longueurABetBC.Avec nos notations nous avons alors :b=6p2,
ˆA=105etˆC=45. On
cherche les longueursAB=cetBC=aOn détermine l"angle
ˆBpar complément à 180 :
B=18010545=30PAUL MILAN17 mai 2011 PREMIÈRES
2.3 THÉORÈME DE LA MÉDIANE13En appliquant la relation des sinus, on a :
sinˆBb
=sinˆCc c=bsinˆCsin ˆB c=6p2sin45 sin30 c=6p2p2 212 c=12
Par permutation circulaire, on trouvea
a=csinˆAsin ˆC a=12sin105sin45 a=12sin105p2 2 a=12p2sin105 a'16,392.3Théorèmedelamédiane
Ce théorème permet de connaître la longueur de la médiane à partir de trois longueurs du triangleThéorème 4 :Dans un triangle quelconqueABC, on appelleIle milieu du segment[BC], on a alors : AB2+AC2=2AI2+BC22
Démonstration :On a la figure ci-dessous :PAUL MILAN17 mai 2011 PREMIÈRES143 TRIGONOMÉTRIEAB
2+AC2= (!AI+!IB)2+ (!AI+!IC2
=AI2+2!AI!IB+IB2+AI2+2!AI!IC+IC2 =2AI2+2!AI(!IB+!IC) +IB2+IC2CommeImilieu de[BC], on a!IB+!IC=!0 etIB=IC=BC2
=2AI2+2BC2 2 =2AI2+BC223Trigonométrie
3.1Formulesd"addition
Théorème 5 :Soitaetbdeux angles quelconques, on a les relations cos(a+b) =cosacosbsinasinb cos(ab) =cosacosb+sinasinb sin(a+b) =sinacosb+cosasinbsin(ab) =sinacosbcosasinbDémonstration :Soit les pointAetBsur le cercle unité :Calculons le produit scalaire
!OA!OBde deux façons différentesPAUL MILAN17 mai 2011 PREMIÈRES