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UNIVERSITE DE LIEGE
Facult´e des Sciences
ANALYSE MATHEMATIQUE
Notes du cours des premiers Bacheliers
en sciences math´ematiques ou en sciences physiquesJean SCHMETS
Ann´ee acad´emique 2004-2005
iiIntroduction
Ce livre contient la premi`ere partie du cours d"analyse math´ematique que j"enseigne en premi`ere candidature en sciences math´ematiques ou en sciences physiques. La deuxi`eme partie concerne le calcul int´egral et fait l"objet d"un volume s´epar´e. Comme tout cours d"initiation `a l"analyse, il d´eveloppe essentiellement une de- scription de l"espace euclidienRnde dimensionnainsi qu"une ´etude de la continuit´e, de la d´erivabilit´e et de la primitivabilit´e des fonctions, et se termine avec la con-sid´eration des ´equations diff´erentielles lin´eaires `a coefficients constants et de quelques
´equations diff´erentielles ordinaires.
En r´edigeant ces notes, j"ai d´esir´e rencontrer le souhait ´emis par les ´etudiants de
disposer d"un texte proche de la mati`ere enseign´ee. Je n"ai pu cependant m"empˆecher d"y inclure quelques compl´ements th´eoriques (parfois pr´esent´es sous la forme d"exe- rcices). Ces notes sont compl´et´ees par unCahier d"Exercices. C"est la raison pour laquelle elles ne contiennent pas beaucoup d"exemples et exercices, malgr´e l"impor- tance que je leur accorde. Les textes plac´es entre les symboles "? →" et "← ?" font appel `a de la mati`ere ult´erieure et sont `a r´eserver pour une deuxi`eme lecture.J. Schmets
iv 0. Introduction Quelques rep`eres chronologiques de math´ematiciens cit´es1600 1650 1700 1750 1800 1850 1900PascalBlaise (1623-1662)
NewtonIsaac (1642-1727)
LeibnizGottfried Wilhelm (1646-1716)
RolleMichel (1652-1719)
BernoulliJacques (1654-1705)
HospitalGuillaume de L" (1661-1704)
De MoivreAbraham (1667-1754)
TaylorBrook (1685-1731)
MaclaurinColin (1698-1746)
EulerLeonhard (1707-1783)
ClairautHermann (1713-1765)
LagrangeJoseph (1736-1813)
LaplacePierre de (1749-1827)
LegendreAdrien-Marie (1752-1833)
GaussCarl-Friedrich (1777-1855)
BolzanoBernhard (1781-1848)
CauchyAugustin (1789-1857)
v1800 1850 1900 1950 2000AbelNiels (1802-1829)
JacobiCarl (1804-1851)
MorganAugustus De (1806-1871)
HesseOtto (1811-1874)
WeierstrassKarl (1815-1897)
HeineEduard (1821-1881)
RiemannBernhard (1826-1866)
HermiteCharles (1822-1901)
LevyMaurice (1838-1910)
SchroederErnst (1841-1902)
SchwarzHerman (1843-1921)
CantorGeorg (1845-1918)
LorentzHendrick (1853-1928)
PicardEmile (1856-1941)
CesaroE. (1859-1906)
JensenJohann (1859-1925)
H olderLudwig (1859-1937)MinkowskiHermann (1864-1909)
SteinitzErnst (1871-1928)
BorelEmile (1871-1956)
BernsteinFelix (1878-1956)
HalmosPaul (1914-)
vi 0. IntroductionChapitre 1
Th´eorie na¨ıve des ensembles
1.1 Introduction
Les processus fondamentaux des math´ematiques sont a) introduire desobjetsditsmath´ematiques, b) d´emontrer que certainesrelationsentre ces objets sont vraies; on dit que ce sont desth´eor`emes. Les objets math´ematiques sont les nombres, les fonctions, les fonctions con- tinues, les fonctions d´erivables, les fonctions int´egrables, ... Les relations sont les assertions (qui peuvent donc ˆetre vraies ou fausses) qu"on peut formuler sur ces objets. Les vraies outh´eor`emessont celles qu"ond´emontre, c"est-`a-dire qu"on peut d´eduire logiquement d"un certain nombre d"axiomes. Les axiomes sont la formula-tion math´ematique des propri´et´es "´evidentes" des ˆetres auxquels on d´esire appliquer
les math´ematiques. Il ne faut pas voir dans ce qui pr´ec`ede des d´efinitions correctes du point de vue logique mais seulement une introduction imag´ee qui se pr´ecisera au fur et `a mesure des ´etudes. En fait, la logique math´ematique et la th´eorie formelle des ensembles constituent des domaines fort abstraits et demandent de longs d´eveloppements. Il n"est donc pas possible de les voir, en premi`ere candidature, comme introduction `a un cours d"analyse math´ematique. Cependant la logique math´ematique et les propri´et´es de la th´eorie des ensembles sont fondamentales en math´ematiques et tout au long de ce cours, nous allons les utiliser. La m´ethode utilis´ee consiste, si cela est possible, `a introduire les notions de mani`ere d´efinitive et d"en ´etudier les propri´et´es de mani`ere rigoureuse. En cas d"impossibilit´e, le fait est mentionn´e clairement, le vocabulaire correct est intro-duit et les r`egles d"utilisation sont pr´ecis´ees, r´eservant la justification `a une ´etude
ult´erieure.2 1. Th´eorie na¨ıve des ensembles
1.2 Quelques locutions et symboles
En ce qui concerne la logique math´ematique, nous allons nous limiter `a introduire un vocabulaire correct et les r`egles d"utilisation de ce vocabulaire.Soient des relationsR,S.
a) La "n´egation deR" est d´esign´ee g´en´eralement par l"assemblage "/R", c"est-`a- dire "Rsuperpos´e de/". On recourt aussi souvent `a des notations diff´erentes telle que "nonR", "¬R". Une relation est fausse si sa n´egation est vraie; elle est vraie si sa n´egation est fausse. b) "RouS" est une relation qui est vraie si l"une au moins des relationsR,S est vraie. Par exemple, siRest la relation "5 est strictement inf´erieur `a 6" et siSest la relation "5 est ´egal `a 6", la relation "RouS" est la relation "5 est inf´erieur ou ´egal `a 6" et est donc vraie. En logique et en math´ematique, le motouest toujours pris au sens non disjonctif. Il faut donc recourir `a une p´eriphrase pour traduire le ou disjonctif de la langue fran¸caise. Ces m´ethodes fondamentales de construction de relations permettent d"en intro- duire d"autres qui jouent un rˆole tout aussi important. a) "RetS" est une relation qui est vraie si les deux relationsR,Ssont vraies. En fait, "RetS" est d´efini comme ´etant la relation "RetS" = "¬(¬Rou¬S)". Par exemple, siRest la relation "rest un multiple de 2" et siSest la relation "rest un multiple de 3", la relation "RetS" est vraie si "rest un multiple de 6".Cela ´etant, on a
"¬(RetS)" = "¬Rou¬S" et "¬(RouS)" = "¬Ret¬S". b) "R?S" qui se lit "RimpliqueS" est la relation "R?S" = "Sou¬R".Elle exprime que siRest vrai, alorsSest vrai.
c) "R?S" qui se lit "Rsi et seulement siS" est la relation "R?S" = "R?SetS?R".1.3. Ensembles 3
1.3 Ensembles
1.3.1 D´efinition
En ce qui concerne les ensembles, nous allons recourir `a la "th´eorie na¨ıve des ensembles". Le point de vue na¨ıf consiste `a introduire la notion d"ensemble de mani`ere vague, puis d"en donner les propri´et´es sans d´emonstration. Cette mani`ere vague peut d´efinir un ensemble comme ´etant une notion fondamentale qui jouitde propri´et´es particuli`eres ou comme ´etant la collection des ˆetres math´ematiques
qui v´erifient une propri´et´e. (Remarquons de suite que cette deuxi`eme mani`ere de proc´eder n"est en aucune sorte une d´efinition: elle d´efinirait la notion "ensemble" par une autre "collection" qui n"a pas ´et´e d´efinie auparavant.) Cependant cette notion d"ensemble n"est pas que formelle; elle proc`ede en fait d"une base intuitive. Pour s"en assurer, il suffit de consid´erer l"ensemble des nombres r´eels, l"ensemble des nombres complexes, ... Un ensemble est d´etermin´e par ses ´el´ements qui sont donn´es indiff´eremment a) d"une mani`ere explicite, c"est-`a-dire par un symbole individuel tel que 1, 2, 3, ... b) par un symbole g´en´erique affect´e d"indices variant dans des ensembles: on trouve par exemplexj,xj,k, ... c) par un symbole g´en´erique seulement s"il n"est pas n´ecessaire de les distinguer.Un ensemble est donn´e indiff´eremment
a) de mani`ere explicite en donnant la liste compl`ete de ses ´el´ements plac´es entre ac- colades et s´epar´es par un symbole appropri´e (tr`es souvent une virgule): par exemple {1,2,3}. Bien sˆur, cette mani`ere explicite ne peutˆetre utilis´ee que pour les ensembles"finis"; aussi on accepte ´egalement de sugg´erer la liste des ´el´ements de l"ensemble en
recourant aux trois points de suspension. Ainsi,{a,b,...,z}repr´esente l"ensemble des lettres de l"alphabet et{1,2,3,...}repr´esente l"ensemble des nombres entiers sup´erieurs ou ´egaux `a 1. (Les trois points de suspension doivent ´evidemment avoir une signification claire.) Unsingletonest un ensemble contenant un et un seul ´el´ement. Siaest cet ´el´ement, le singleton peut donc ˆetre not´e{a}. b) en pla¸cant entre accolades le symbole g´en´erique suivi d"un symbole appropri´e(tr`es souvent ":") puis la propri´et´e qui caract´erise ses ´el´ements. On obtient de la
sorte une formule du genre{x:P}qui se lit "ensemble desxtels queP"; c) par un symbole (g´en´eralement une lettre majuscule) s"il n"est pas n´ecessaire d"en d´etailler les ´el´ements. En particulier, certains symboles r´ef`erent `a des ensembles pr´ecis; on trouve notamment: N= ensemble des nombres entiers sup´erieurs ou ´egaux `a 0, N