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logarithme népérien et logarithme décimal (plus utilisé en physique) L'étude portera, entre autre, sur les différentes propriétés de ces fonctions ainsi que sur

log(x)=+∞ Propriétés algébriques log(1) = 0 log(10) = 1 Pour tout entier relatif

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La fonction ainsi définie (appelée logarithme décimal ou logarithme vulgaire, et notée log 2) Les autres propriétés des logarithmes se déduisent de celle-ci

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314.02 : Fonctions logarithmes Fonctions 1-3

Analyse

Leçon 1 :

Les Fonctions Logarithmes

Introduction :

FH ŃOMSLPUH SURSRVH GH GpŃRXYULU SXLV GH PUMYMLOOHU VXU OHV GLIIpUHQPHV IRQŃPLRQV ORJMULPOPHV HQ O·RŃŃXUUHQŃH OHV IRQŃPLRQV

logarithme népérien et logarithme décimal (plus utilisé en physique).

I·pPXGH SRUPHUM HQPUH MXPUH VXU OHV GLIIpUHQPHV SURSULpPpV GH ŃHV IRQŃPLRQV MLQVL TXH VXU OHXUV YMULMPLRQV HP OHXUV PUMŃpVB

HO V·MSSXLHUM HQILQ VXU GHV H[HPSOHV GH OM YLH SURIHVVLRQQHOOH RX GHV H[HPSOHV GHV MXPUHV PMPLqUHV GMQs lesquelles on est

susceptible de retrouver de telles fonctions.

Les pré-requis sont pauvres PUMŃp G·XQH IRQŃPLRQ pPXGH G·XQH IRQŃPLRQ VHQV GH YMULMPLRQ"

1. La fonction Logarithme Décimal log x

e Activité 1 :

On se propose dans cette première activité de découvrir les premières propriétés ainsi que de tracer la fonction logarithme

décimal déterminée par la touche log de la calculatrice.

1. Utiliser la touche évoquée pour remplir le tableau suivant :

x -15,5 -3 -1 0 0,2 0,5 1 10 15,2 100 1000 log (x)

2. Que remarque-t-on pour tous les nombres négatifs ?

3. Que remarque-t-on pour tous les nombres compris entre 0 et 1 ?

4. Que remarque-t-on pour tous les nombres supérieurs à 1 ?

5. Ecrire les nombres suivants en base 10 :

0= 10= 0,001= 0,01 = 0,1= 1000=

6. Placer les résultats trouvés par ordre croissant dans le tableau suivant :

x log (x)

7. Que remarque-t-on ? Compléter alors la phrase suivante :

Pour tout n entier relatif, log (10n) =

Important :

Les caractéristiques de la fonction logarithme décimal http://ducros.prof.free.fr

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314.02 : Fonctions logarithmes Fonctions 2-3

Définition :

log de la calculatrice.

Propriétés :

1) La fonction logarithme Décimal vérifie :

Log (1) = 0

Pour tout n entier relatif, on a log (10n) = n

2) La fonction logarithme décimal est strictement croissante

sur son intervalle de définition, on a donc les propriétés suivantes : log a = log b équivaut à a = b log a < log b équivaut à a < b

3) On montre aussi facilement que cette fonction :

si 0 1 alors log x > 0 On en déduit la représentation graphique suivante : e Activité 2 :

Dans cette deuxième activité, nous allons déterminer les principales propriétés de calculs de cette nouvelle fonction : le

Logarithme Décimal.

1) Remplir le tableau suivant :

a b a b log (a b) log a + log b 3 4 0,2 3

1,5 2,9

3 = 125

2) Calculer log (125) puis 3 log(5)

3) Calculer (2,6)4 puis log ((2,6)4) puis 4 log(2,6)

4) Quelle propriété de calcul pouvons nous alors écrire :

Propriétés Opératoires:

Quels que soient les nombres strictement positifs a et b, la fonction logarithme népérien vérifie :

log (ab) = log a + log b

De la même manière, on montre que :

log(a b )= log a - log b

Si a = 1, alors on a :

log (1 b ) = - log b Enfin pour tout entier n positif, négatif ou fractionnaire, on a : log (an) = n log a e Activité 3 : millième).

X = log (3

5) + log (10

Y = log (4

9) log (3

7) http://ducros.prof.free.fr

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314.02 : Fonctions logarithmes Fonctions 3-3

2. La fonction Logarithme Népérien ln x

e Activité 4 : Tout réel strictement positif a un logarithme népérien. Pour obtenir le Logarithme Népérien ln de la calculatrice. x, le nombreln x log x . x = 0,4 x = 0,8 x = 2 x = 3 x = 4 x = 5

2) Que remarque-t-on ?

3) Compléter la proposition suivante :

Pour tout x > 0, on a Ln x = k

où k est un nombre strictement positif dont 2,303 est la valeur arrondie au millième.

Propriété Fondamentale:

Pour tout x > 0, on a Ln x = k log x

où k est un nombre strictement positif dont 2,303 est la valeur arrondie au millième. Comme k > 0, on en déduit immédiatement que : - le logarithme Népérien a le même sens de variation que le Logarithme Décimal.

- Le Logarithme Népérien a les mêmes propriétés opératoires que le Logarithme Décimal :

Ln (ab) = Ln a + Ln b

De la même manière, on montre que :

Ln (a b )=Ln a - Ln b

Si a = 1, alors on a :

Ln (1 b ) = - Ln b Enfin pour tout entier n positif, négatif ou fractionnaire, on a :

Ln (an) = n Ln a

Définition :

Ln de la calculatrice.

Propriétés :

1) La fonction logarithme Népérien vérifie :

Ln (1) = 0

2) La fonction logarithme Népérien est strictement

croissante sur son intervalle de définition, on a donc les propriétés suivantes :

Ln a = Ln b équivaut à a = b

Ln a < Ln b équivaut à a < b

3) On montre aussi facilement que cette fonction :

si 0 1 alors Ln x > 0 On en déduit la représentation graphique suivante :quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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Analyse

Leçon 1 :

Les Fonctions Logarithmes

Introduction :

1. La fonction Logarithme Décimal log x

1. Utiliser la touche évoquée pour remplir le tableau suivant :

2. Que remarque-t-on pour tous les nombres négatifs ?

3. Que remarque-t-on pour tous les nombres compris entre 0 et 1 ?

4. Que remarque-t-on pour tous les nombres supérieurs à 1 ?

5. Ecrire les nombres suivants en base 10 :

0= 10= 0,001= 0,01 = 0,1= 1000=

6. Placer les résultats trouvés par ordre croissant dans le tableau suivant :

7. Que remarque-t-on ? Compléter alors la phrase suivante :

Pour tout n entier relatif, log (10n) =

Important :

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Définition :

Propriétés :

1) La fonction logarithme Décimal vérifie :

Log (1) = 0

Pour tout n entier relatif, on a log (10n) = n

2) La fonction logarithme décimal est strictement croissante

3) On montre aussi facilement que cette fonction :

Logarithme Décimal.

1) Remplir le tableau suivant :

1,5 2,9

3 = 125

2) Calculer log (125) puis 3 log(5)

3) Calculer (2,6)4 puis log ((2,6)4) puis 4 log(2,6)

4) Quelle propriété de calcul pouvons nous alors écrire :

Propriétés Opératoires:

De la même manière, on montre que :

Si a = 1, alors on a :

X = log (3

5) + log (10

Y = log (4

9) log (3

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2. La fonction Logarithme Népérien ln x

2) Que remarque-t-on ?

3) Compléter la proposition suivante :

Pour tout x > 0, on a Ln x = k

Propriété Fondamentale:

Pour tout x > 0, on a Ln x = k log x

Ln (ab) = Ln a + Ln b

De la même manière, on montre que :

Si a = 1, alors on a :

Ln (an) = n Ln a

Définition :

Ln de la calculatrice.

Propriétés :

1) La fonction logarithme Népérien vérifie :

Ln (1) = 0

2) La fonction logarithme Népérien est strictement

Ln a = Ln b équivaut à a = b

Ln a < Ln b équivaut à a < b

3) On montre aussi facilement que cette fonction :