f(x) = ln(x) Réciproquement, la fonction ln vérifie les conditions de l'énoncé 2 2 Étude de la fonction logarithme népérien : On considère la fonction : ln : ]0
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FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN
Jean Chanzy
Université de Paris-Sud
1 Définition de la fonction "ln» :
Définition 1On appellelogarithme népériendu réelm >0, l"unique solutionade l"équationex=m.
On note cette solutiona= ln(m).
Définition 2On appellefonction logarithme népérien la fonction qui, à tout réelx >0associe le réelln(x), tel que : x >0et y= ln(x)?ey=xPropriétés de la fonctionln:
1.Relations fonctionnelles :
ln(1) = 0etln(e) = 1 ln(a×b) = ln(a) + ln(b) ln?1 b? =-ln(b), ln ?a b? = ln(a)-ln(b) ln(an) =nln(a) ln(p⎷a) =1pln(a).2.Identités :
(a)?x?R,ln(ex) =x, (b)?x >0,eln(x)=x. On peut définir la fonctionlnd"une autre manière :Conséquence de la définition 2 et définition 3Il existe une unique fonctionfdéfinie et dérivable
sur]0,+∞[telle que?a?]0,+∞[,?b?]0,+∞[,f(a×b) =f(a) +f(b), etf?(1) = 1. Cette fonction
est la fonction logarithme népérien.Démonstration
: Remarquons d"abord que?a?]0,+∞[,f(a×1) =f(a)+f(1), doncf(1) = 0. Soit la fonction définie sur]0,+∞[telle queg(x) =f(ax)-f(x), avec?a >0.g(x) =f(a)+f(x)-f(x), donc gest constante. Commegest dérivable,g?(x) =af?(ax)-f?(x) = 0, d"oùaf?(ax) =f?(x). Pourx= 1, on obtientaf?(a) =f?(1) = 1. Doncf?(a) =1 a,?a >0. Si on poseu(x) =f(x)-ln(x),?x?]0,+∞[, u ?(x) = 0, etuest une fonction constante. Commeu(1) =f(1)-ln(1) = 0,u= 0, et?x?]0,+∞[, f(x) = ln(x). Réciproquement, la fonctionlnvérifie les conditions de l"énoncé.?2 Étude de la fonction logarithme népérien :
On considère la fonction :
ln : ]0,+∞[→R x?→y= ln(x)tel que x=ey ?Université de Paris-Sud,Bâtiment 425;F-91405 Orsay Cedex 11.Ensemble de définition :La fonctionlnest définie sur]0,+∞[.
2.Limites et asymptotes :
Pour la fonctionln, on a les limites suivantes,?n?N: lim x→0+ln(x) =-∞limx→+∞ln(x) = +∞ lim x→0+xln(x) = 0 limx→+∞ln(x) x= 0 lim x→0+xnln(x) = 0 limx→+∞ln(x) xn= 0On retiendra la règle suivante : à l"infini, toute fonction puissance l"emporte toujours sur la fonction
logarithme népérien et impose sa limite.On a aussilimx→0
x?=0ln(1 +x) x= 1, ce qui découle du calcul du nombre dérivé en0de la fonctionln. Pour xsuffisamment petit,ln(1 +x)est donc très proche dex, ce que l"on peut écrireln(1 +x)≂x. On constate également que l"axe des ordonnées est une asymptote verticale à la courbe de la fonctionlnen-∞.3.Sens de variation :
La fonctionlnest définie, continue et dérivable sur]0,+∞[. On aln?(x) =1x, ?x?]0,+∞[, donc?x?]0,+∞[,ln?(x)>0, etlnest une fonction strictement croissante sur ]0,+∞[. x ln ?(x) ln(x)04.La bijectionln:
Comme la fonctionlnest continue sur]0,+∞[, puisque dérivable sur]0,+∞[,et qu"elle est strictement croissante sur]0,+∞[, c"est une bijection de]0,+∞[surR, et on a alors :
ln(x) = 0?x= 1?a?]0,+∞[,?b?]0,+∞[,ln(a) = ln(b)?a=b(bijection), ln(x)>0?x >1?a?]0,+∞[,?b?]0,+∞[,ln(a)>ln(b)?a > b(croissance), ln(x)<0?0< x <1?a?]0,+∞[,?b?]0,+∞[,ln(a)à la courbe enx= 1esty=x-1.
6.Courbe représentative :
O? i? j xy y= ln(x) 23 Logarithme décimal :
Définition 4On appellefonction logarithme décimalla fonction notéelogqui, à tout réelx >0
associe le réellog(x) =ln(x) ln(10).Propriétés de la fonctionlog:
1. La fonctionlogest définie et dérivable sur]0,+∞[, etlog?(x) =1
xln(10).2. La fonctionlogest strictement croissante sur]0,+∞[, carln(10)>0.
3.Relations fonctionnelles :
log(1) = 0etlog(10) = 1 log(a×b) = log(a) + log(b) log?1 b? =-log(b), log ?a b? = log(a)-log(b) log(an) =nlog(a) log(p⎷a) =1plog(a).5.Identités :
(a)?x?R,log(10x) =x, (b)?x >0,10log(x)=x.4 Fonctions composées avecln:
Soituune fonction définie, dérivable et strictement positive surun intervalleIdeR. On considère
la fonction composéeg= ln◦u.