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Cours de mathématiques pour la classe de Seconde

VincentDujardin- FlorentGirod1

Année scolaire 2014 / 2015

1. Externat Notre Dame -Grenoble

Table des matières0 Ensembles de nombres et intervalles deR3

1) Principaux ensembles de nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 4

2) L"axe des réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3) Intervalles deR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

4) Union d"ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

5) Intersection d"ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 7

1 Algèbre8

1) Somme, différence, produit, quotient, opposé, inverse (rappels) . . . . . . . . 9

2) Transformations d"expressions (rappels) . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 10

3) Trois méthodes pour démontrer une égalité . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 12

4) Égalités équivalentes (rappels) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 13

2 Équations et inéquations : bases algébriques et approche graphique 14

1) (In)équation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2) Résolutions graphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 18

3 Modéliser par des fonctions20

1) Modéliser par une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 21

2) Ensemble de définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22

3) Courbe représentative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 23

4) Image, antécédent(s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 26

4 Sens de variations - Fonctions affines28

1) Sens de variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29

2) Extremum d"une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30

3) Fonctions affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5 Fonctions carré, inverse, de degré 2, homographique 34

1) La fonction carré :2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2) Fonction inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38

3) Fonctions polynôme du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 39

4) Fonctions homographiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 40

6 Inéquations, étude de signes, sens de variations 41

1) Inéquation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2) Sens de variation d"une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 44

1

7 Trigonométrie46

1) Enroulement de la droite numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 47

2) Sinus et cosinus d"un nombre réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 50

8 Analyse de données - Statistiques descriptives 52

1) Effectifs et fréquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 53

2) Graphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3) Indicateurs de position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 55

4) Indicateurs de dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 56

5) La démarche statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 56

9 Probabilités57

1) Modélisation d"une expérience aléatoire . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 58

2) Probabilité d"un évènement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 60

3) Opération sur les évènements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 61

10 Fluctuation d"échantillonnage62

1) Échantillonnage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63

2) Intervalle de fluctuation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 63

3) Estimation d"une proportion à partir d"un échantillon . .. . . . . . . . . . . 66

11 Géométrie dans l"espace67

1) Formulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

2) Représentation de solides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 69

3) Droites et plans de l"espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 70

12 Vecteurs, repérage72

1) Vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

2) Repère du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

13 Équations de droites84

1) Équation de droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

2) Droites parallèles ou sécantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 88

2

Chapitre 0Ensembles de nombres et intervalles deR

Bulletin Officiel (B.O)

Notations mathématiques

Les élèves doivent connaître les notions d"éléments d"un ensemble, d"un sous-ensemble, d"ap-

partenance et d"inclusion, d"intersection et de complémentaire et savoir utiliser les symboles de base correspondant :,,,ainsi que la notation des ensembles de nombres et des intervalles. Pour ce qui concerne le raisonnement logique, les élèves sont entraînés, sur

des exemples, à utiliser correctement les connecteurs logiques " et », " ou » et à distinguer

leur sens des sens courants de " et », " ou » dans le langage usuel.

Objectifs du chapitre:

itemréférencesauto évaluation connaître les ensembles de nombres (et leurs notations) utiliser les symboles,,, traduire l"appartenance à un intervalle deR utiliser les connecteurs logiques " et », " ou » 3

1) Principaux ensembles de nombres1 - 1) Les ensembles

NotationListeDescription

Rtous les nombres que vous connaisseznombresréels

N0 ; 1 ; 2 ; 3 ;nombresentiers naturels

Z;?3 ;?2 ;?1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ;nombresentiers relatifs

On définit aussi les sous-ensembles suivants :

-R: tous les nombres réels sauf 0; -R+: tous les nombres réels positifs; -R: tous les nombres réels négatifs.

1 - 2) Appartenance et inclusion

Certains nombres

appartiennentà un ensemble donné; on note cette appartenance avec le symbole

Par exemple,?5Z.

Certains ensembles sont

inclusdans d"autres ensembles; on note cette inclusion avec le symbole Par exemple, si un nombre est entier naturel, alors il est entier relatif; cela se note :NZ

2) L"axe des réels

On peut représenter les nombres réels sur une droite graduée: - On définit un repère():est l"origine (abscisse 0),définit l"unité (abscisse 1). ?3?2?1 0 1 2 3 4 5? - Chaque point est repéré par son abscisse. Ici :(3)et(?2). - L"axe des réels n"a pas de borne : il est infini à gauche et à droite. - On notela notion d"infini :?est l"infini à gauche, et+est l"infini à droite. 4

3) Intervalles deR

etsont deux nombres, avec

Exemples:

"appartient à l"intervalle fermé[;]» - signifie?? - se note[;] ?4?3?2?1 0 1 2 3 4 5 6 "appartient à l"intervalle ouvert];[» - signifie - se note];[ ?4?3?2?1 0 1 2 3 4 5 6 "appartient à l"intervalle[; +[» - signifie? - se note]; +[ ?4?3?2?1 0 1 2 3 4 5 6 "appartient à l"intervalle]? ;]» - signifie? - se note]? ;] ?4?3?2?1 0 1 2 3 4 5 6

Remarque et vocabulaire:

-signifie " appartient » etsignifie " n"appartient pas »; -etsont les bornes de l"intervalle;

- Lorsque la borneappartientà l"intervalle, elle est dite " fermée » : le crochet est orienté

vers la borne; 5 - Lorsque la bornen"appartient pasà l"intervalle, elle est dite " ouverte » : le crochet " tourne le dos » à la borne. exemples : avec= [?2 ; 6[, on sait que2et6 avec=]0 ; 7[, on sait que0et7 - L"infini n"étant pas un nombre, cette borne est toujours ouverte. - Il y a une infinité de nombres dans un intervalle[;](avec ).

4) Union d"ensembles

Avecetdeux ensembles de nombres.

* se dit "appartient àunion» * signifieou(appartient à, à, ou aux deux)

Application:

*[?1 ; 3][4 ; 6] signifie queest soit un nombre compris entre -1 et 3, soit un nombre compris entre 4 et 6. On peut schématiser de la manière suivante : ?2?1 0 1 2 3 4 5 6 7 8?2?3?4 *]0 ; 4[5 ; 6signifie queest soit un nombre compris (strictement) entre 0 et 4, soit un nombre égal à 5, soit un nombre égal à 6. On peut schématiser de la manière suivante : ?2?1 0 1 2 3 4 5 6 7 8?2?3?4 6

Ou inclusif, ou exclusif" Entrée ou dessert » sur un menu signifie l"un ou l"autre, pas les deux pour le prix indiqué :

le " ou » est exclusif. " Pour Noël, j"aimerais avoir un PC ou un voyage aux USA » : le " ou » est inclusif : on souhaiterait évidemment avoir les deux.

En mathématiques, le

ouestinclusif(l"un, l"autre ou les deux) Dans le langage, " Et » et " Ou » peuvent piéger... " Les personnes ayant droit à des réductions à la SNCF sont celles de moins de 25 ans et celles de plus de 65 ans. »

On comprend :

" Une personne a une réduction si elle a moins de 25 ans ou plus de 65 ans (elle ne peut pas avoir les deux à la fois). »

En mathématiques :

" les solutions sont les nombres compris entre -2 et 0 (inclus) et entre 4 et 5 (inclus) »

On peut dire aussi :

"L"ensemble des solutions est[?2 ; 0][ 4; 5]:est solution équivaut à dire qu"il appartient

à[?2 ; 0]ou à[4 ; 5].

5) Intersection d"ensembles

Avecetdeux ensembles de nombres.

* se dit "appartient àinter» * signifieet(appartient à la fois àet à)

Application:

*[?1 ; 3][2 ; 6] signifie queest à la fois un nombre comprisentre -1 et 3, et compris entre 2 et 6: il est donc compris entre 2 et 3. En fait,[?1 ; 3][2 ; 6] = [2 ; 3] On peut schématiser de la manière suivante : ?2?1 0 1 2 3 4 5 6 7 8?2?3?4 *]0 ; 4[2 ; 6signifie queest à la fois un nombre compris (strictement)entre 0 et 4 , etsoit égal à 2, soit égal à 6: il est égal à 2. En fait,]0 ; 4[2 ; 6=2 On peut schématiser de la manière suivante : ?2?1 0 1 2 3 4 5 6 7 8?2?3?4 7

Chapitre 1AlgèbreBulletin Officiel (B.O)

ContenuCapacités AttenduesCommentaires

Expressions algé-

briques

Transformations d"ex-

pressions algébriques en vue de la résolution de problèmes- Associer à un problème une expres- sion algébrique. - Identifier la forme la plus adéquate (développée, factorisée) d"une ex- pression en vue de la résolution du problème donné. - Développer, factoriser des expres- sions polynomiales simples; trans- former des expressions rationnelles

simples.Les activités de calcul nécessitent unecertaine maîtrise technique et doiventêtre l"occasion de raisonner.Les élèves apprennent à développer desstratégies s"appuyant sur l"observationde courbes, l"anticipation et l"intelli-gence du calcul. Le cas échéant, celas"accompagne d"une mobilisation éclai-rée et pertinente des logiciels de calculformel.

Objectifs du chapitre:

itemréférencesauto évaluation développer, factoriser des expressions polynomiales simples; transformer des expressions rationnelles simples montrer que deux expressions sont

égales ou pas

8

1) Somme, différence, produit, quotient, opposé, inverse

(rappels)

1 - 1) quelques synonymes

SigneOpérationSynonyme

+Additionajouter, sommer, ... ?Soustractionenlever, retirer, ...

Multiplicationrépéter plusieurs fois, ...

Divisionpartager en parts égales, ...

1 - 2) Somme et différence

Soustraire un nombreéquivaut à ajouter son opposé?.

Autrement dit :?équivaut à+ (?)

Exemple:3?2 = 3 + (?2)

Remarque: tous les nombres ayant un opposé, les mathématiciens considèrent souvent les différences comme des sommes.

1 - 3) Produit et quotient

Diviser par un nombreéquivaut à multiplier par son inverse1

Autrement dit :

équivaut à1

Exemple:62= 612= 605

Question: cette proposition est-elle vraie ou fausse : " tous les nombres ont un inverse »?

1 - 4) Déterminer la nature d"une expression

Les expressions algébriques comportent généralement (ou presque) les quatre opérations. Ladernière opérationque l"on utilise,en respectant les priorités de calcul, pour évaluer l"expression donne son type : une somme (+), une différence (-), un produit () ou un quotient () Exemples: pour tout nombre,(?1)(+ 2)estun produit. pour tout nombre,2+?2estune somme. 9

2) Transformations d"expressions (rappels)2 - 1) Réduire et ordonner

Définition 1:Ordonnerune expression, c"estrangerles termespar ordre décroissant des puissances de la variable.

Exemple: pourun nombre, ordonner :32?8?2 + 43

réponse:32?8?2 + 43= 43+ 32?8?2 Définition 2:Réduireune expression, c"est la simplifier enregrou- pant les mêmes puissances des parties littérales (lettres). Exemple: pourun nombre, réduire et ordonner l"expression :2+3+2+4?52?2 réponse:2+ 3 +2+ 4?52?2 =2?52+ 2+ 4+ 3?2 =?32+ 6+ 1 Dans Xcas, la commande pour réduire et ordonner estnormal(expression)

2 - 2) Développer

Définition 3:Développerun produit, c"est l"écrire sous la forme d"une somme. Vocabulaire: les éléments d"une somme s"appellent lestermes. Propriété 1: distributivité et double distributivité

Pour,,,quatre nombres, on a

1.(+) =+

2.(+)(+) =+++

Preuve: vu au Collège

Exemple: développer, réduire et ordonner(4+ 3)(8?) réponse:(4+ 3)(8?)=48 + 4(?) + 38 + 3(?) =32?42+ 24?3 =?42+ 32?3+ 24 =?42+ 29+ 24 Dans Xcas, la commande pour développer une expression estexpand(expression) 10

2 - 3) Factoriser

Définition 4:Factoriserune expression, c"est l"écrire sous la forme d"un produit. Vocabulaire: les éléments d"un produit s"appellent lesfacteurs. En seconde, il y a deux méthodes pour factoriser, à appliquerdans l"ordre : Méthode 1: On cherche s"il y a unfacteur commun apparent.

Exemple: Factoriser l"expression(+ 1)(+ 3)?2(+ 1)

réponse:(+ 1)(+ 7)?2(+ 1)=(+ 1)[(+ 7)?2] =(+ 1)[+ 7?2] =(+ 1)(+ 5) Méthode 2: On regarde si on reconnaît uneidentité remarquable connue. Exemples: pourun nombre, factoriser au maximum les expressions suivantes

1.162+ 24+ 9

2.36?(+ 3)2

réponses:162+ 24+ 9=(4)2+ 243 + 32 =(4+ 3)2

36?(+ 3)2=62?(+ 3)2

=[6?(+ 3)][6 + (+ 3)] =[6??3][6 ++ 3] =(3?)(9 +) Dans Xcas, la commande pour factoriser une expression estfactor(expression) 11

3) Trois méthodes pour démontrer une égalité

Important:

On ne change pas un nombre lorsque l"on réduit

, ordonne, développe, factorise , met au même dénominateurson expression.

On ne fait que le transformer.

Pour montrer par le calcul que deux expressionsetde formes différentes sont en fait égales, on peut utiliser une des trois méthodes de rédactionci-dessous.

Méthode 3: on transformejusqu"à trouver.

Remarque: on peut aussi partir de B pour trouver A

Exemple: montrer que pour tout,(+ 2)2+ 3=2+ 7+ 4

réponse:(+ 2)2+ 3=2+ 22+ 22+ 3 =2+ 4+ 4 + 3 =2+ 7+ 4 Méthode 4: on calcule la différence entreet, c"est-à-dire?. Si elle est nulle, alors=.

Exemple: montrer que pour tout,(+ 2)2+ 3=2+ 7+ 4

réponse:(+ 2)2+ 3?(2+ 7+ 4)=2+ 22+ 22+ 3?2?7?4 =2?2+ 4+ 3?7+ 4?4 =0 Méthode 5: on transforme, on transformepour obtenir une même troisième expression. Exemple: vérifier que pour toutréel,(+ 1)(+ 2) =(+ 3) + 2 réponse: d"une part,(+ 1)(+ 2) =2+ 2++ 2 =2+ 3+ 2

D"autre part,(+ 3) + 2 =2+ 3+ 2

Remarque: comment démontrer que deux expressions ne sont pas égales? Par exemple, comment montrer que les expressions(+ 2)2?(+ 2)(+ 1)et2?6+ 2 ne sont pas égales? 12

4) Égalités équivalentes (rappels)

Remarque importante

:?= 0équivaut à= Preuve: on passe de la première à la seconde en ajoutant. Définition 5: Deux égalités sont équivalentes si lorsque l"une est vraie, l"autre aussi (et donc lorsque l"une est fausse, l"autre aussi).

Remarque: le signesignifie " équivalent à ». En seconde, on préférera l"écriture en

français plutôt que ce signe. Propriété 2: En ajoutant ou en soustrayant le même nombre aux deux membres d"une égalité, on obtient une égalité équivalente.

Preuve: propriété admise

Propriété 3: En multipliant ou en divisant par le même nombre non nul les deux membres d"une égalité, on obtient une égalité équivalente.

Preuve: propriété admise

Propriété 4: En réduisant, en développant, en factorisant, ou en mettant au même dénominateur un seuloules deux membres d"une égalité, on obtient une égalité équivalente. Preuve: on ne change pas un nombre en le factorisant, le développant, en mettant au même dénominateur. On change sa forme : l"égalité est inchangée, donc équivalente. 13

Chapitre 2Équations et inéquations : basesalgébriques et approche graphiqueBulletin Officiel (B.O)

ContenuCapacités AttenduesCommentaires

Équations

Résolution graphique

et algébrique d"équa- tions- Résoudre une équation se ra-

menant au premier degré.Pour un même problème, combiner résolutiongraphique et contrôle algébrique.Utiliser en particulier, les représentations gra-phiques données sur un écran par une calcula-trice, un logiciel.

Inéquations

Résolution graphique

et algébrique d"in-

équations.- Résoudre graphiquement des

inéquations de la forme : () ,() ()Pour un même problème, il s"agit de :- combiner les apports de l"utilisation d"un graphique et d"une résolution algébrique, - mettre en relief les limites de l"information donnée par une représentation graphique.

Objectifs du chapitre:

itemréférencesauto évaluation résoudre graphiquement et algébrique- ment une équation résoudre graphiquement et algébrique- ment une inéquation 14

1) (In)équationLes méthodes qui permettent de résoudre des (in)équations s"appuient sur les propriétés vues

au chapitre 1, rappelées ci-dessous : Propriété 2: En ajoutant ou en soustrayant le même nombre aux deux membres d"une égalité, on obtient une égalité équivalente. Propriété 3: En multipliant ou en divisant par le même nombre non nul les deux membres d"une égalité, on obtient une égalité équivalente. Propriété 4: En réduisant, en développant, en factorisant, ou en mettant au même dénominateur un seuloules deux membres d"une égalité, on obtient une égalité équivalente.

1 - 1) Résoudre une équation

Une équation est une

égalitéentre deux membres; un membre ou les deux membres de l"égalité contiennent dans leur expression une ou plusieurs inconnues qui sont notées avec des lettres (habituellement,,...) Définition 1: Résoudre une équation, c"est trouver toutes les valeurs de l"inconnue (si elles existent) pour que l"égalité de départsoit vérifiée. Exemple: on considère l"équation3+2 = 14; l"inconnue est le nombre représenté par la lettre. Le nombre 4 est solution puisque34+2 = 12+2 = 14et c"est dans ce cas la seule solution : on note :=2 15 Méthode 1: pour résoudre une équation du premier degré à une inconnue Exemple détaillé: résolution de l"équation7+ 3 = 2?5 L"idée est d"isoler progressivement l"inconnue; dans l"exemple qui suit, on va chercher à ne mettre que des nombres dans le membre de droite, et les inconnues dans le membre de gauche de l"égalité. écriture justification de l"équivalence commentaire

7+ 3 = 2?5

propriété 2on " élimine »+3en ajoutant son opposé :?3 7+ 3 ?3= 2?5?3 propriété 4on réduit les écritures

7= 2?8

propriété 2on " élimine »2en ajoutant son opposé :?2 7 ?2= 2?8?2 propriété 2on réduit les écritures 5=?8 propriété 3on divise par 5 5 5=?85 propriété 2on réduit les écritures =?8 5 Conclusion: cette équation a une seule solution?8

5=?16;=?16

Méthode 2: pour résoudre une équation à une inconnue, on cherche à se ramener au cas précédent en utilisant une équation produiten faisant des transformations algébriques (essentiellement des factorisations). Exemple détaillé: résolution de l"équation(+ 1)(+ 3)?2(+ 1) = 0 On factorise l"expression(+ 1)(+ 3)?2(+ 1)qui possède un facteur commun : (+ 1)(+ 7)?2(+ 1)=(+ 1)[(+ 7)?2] =(+ 1)[+ 7?2] =(+ 1)(+ 5)

L"équation précédente est donc équivalente (d"après la propriété 4) à(+ 1)(+ 5) = 0

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