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24 sept 2007 · Exercices de logique : corrigé Exercice 1 : Dans l'autre sens, on peut raisonner par contraposée : si A = B, alors il existe un élément x de
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191 n'est pas divisible par 2,3,5,7,11,13 donc 191 est premier Correction 5 Raisonnement par l'absurde Supposons que √ 89 = p q avec
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l'exercice 1, il se peut que le rédacteur fasse quelques raccourcis ; cela ne vous autorise bien sûr soit fausse sur E) qui va nous permettre de faire un petit raisonnement par l'absurde ; encore faut-il Si cela ne vous parait pas logique, on
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Exercice 7 Examiner les relations logiques existant entre les assertions suivantes : Démontrer à l'aide d'un raisonnement par récurrence (de 3 en 3) que tout
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Exercice : la proposition : « le carré de tout nombre réel est positif ou nul Le raisonnement par l'absurde est une forme de raisonnement logique, consistant
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pratique et en particulier à bien maîtriser les quelques exercices corrigés chapitres (logique, ensembles et applications, structures) soient acquises progressivement au cours de l'année, au fur et à 5 3 Le raisonnement par contraposition
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Exercices 1Exercices sur la structure des raisonnements Exercices 2Exercices sur la logique des propositions Exercices 3Exercices sur la logique des prédicats
Exercices 4Exercices sur largumentation
Exercices sur la structure
des raisonnementsExercices 1
a) 2 1 Dans le cas présent, trois prémisses convergent initialement vers une conclusion, maisExercices sur la logique
des propositionsExercices 2
1.RŽponses correctes
2.Les expressions a, j, l ne sont pas des propositions. Les expressions b,
d, f, h sont des pro 3.a) 4. a) faux6.a) vrai
p qp ? qp ? qp qp ? qp qp q V p q qp ? q V7.Les cinq propositions complexes peuvent tre formalisŽes de la man
e d c) LÕ‰me est Žternelle, quÕelle soit ou non dÕessence divine. e d) QuÕelle soit ou non dÕessence divine, lÕ‰me est ou nÕest pas Žternelle. e ¬e e) QuÕelle soit ou non dÕessence divine, lÕ‰me est et nÕest pas Žternelle. e ¬e de lÕexercice 34), d) est vrai dans tous les cas o a) est vrai, qui est lui-mme vrai dans tous les cas o c) est vrai, qui est lui-mme vrai dans tous les cas o b) est vrai, qui est lui-m me vrai dans tous les cas o e) est vrai. LÕordre du plus probable au moins probable est donc : d) ; a) ; c) ; b) ; e).8.Les quatre propositions complexes peuvent tre formalisŽes de la m
g b) LÕinformatique facilite la comptabilitŽ mais aussi la gestionc g c) LÕinformatique facilite la comptabilitŽ et facilite ou non la gesti on c (g¬g) d) LÕinformatique facilite la comptabilitŽ si et seulement si elle la complique c ¬c de lÕexercice 35), a) est vrai dans tous les cas o c) est vrai, qui est lui-mme vrai dans tous les cas o b) est vrai, qui est lui- mme vrai dans tous les cas o d) est vrai. LÕordre du plus probable au moins probable est donc : a) ; c) ; b) ; d).9.Sont mal formŽes les expressions
10.Ar pour Çt pour Ç
t ou ¬(r ¬t) r¬(r t)
¬(t r)
a pour Çb pour Ç b¬a ¬b ou ¬(b ¬a)
¬(b a)
¬(a b)
s pour Çc pour Ç c ou ¬c ¬s ou encore ¬(s ¬c) c pour Çp pour Ç p ou ¬p ¬c Lorsque plusieurs formalisations sont proposŽes, elles sont logiqueme nt Žquivalentes, 11.a) 12.A m¬(b m)
¬m¬b ¬m
m l s c) W r ¬x (la Ç x ou ¬x ¬r (au sens strict, Ǭi p
¬r¬(f r)
(p m) ¬(d f) ¬(h v) ou encore ¬d ¬f ¬h ¬v ¬s ¬s e ou ¬e ¬i e ¬e) i ou plus simplement : i (r a) ou encore ¬[f ¬(ra)] (r m) ou encore p (¬m r)13.a)¬p q
¬p ¬q
¬q (¬r t) ou alors ¬r (q t) r) s p ou encore ¬p ¬r r) (q ¬r) ¬r) s ou encore s¬(t ¬q) ou encore t q
¬(p s)
(s t) ¬s¬r (¬s W t)
(s ¬t) s)14.a)¬(p q)
¬p q
p est vrai et q faux et quand p et q sont tous deux faux p et q sont faux, c'est à dire quand la garde15.(e d) [e (c f)]
p q¬(p q) V p¬p¬p q V p¬p¬q¬p qp ¬q¬p ¬q¬(p q) V e dc fe (c f)(e d) [e (c f)] a)16.a) qp faux et q faux
pp faux et q faux qp faux et q faux qp vrai et q vrai q) rp faux et q vrai (donc pq vrai) et r vrai (r s)p faux, q vrai (donc pWq vrai) et r faux, s faux (donc rs faux) ¬p ¬q) r ou (p q) rp faux et q faux (donc ¬p¬q vrai) et r faux pp vrai et q faux qp vrai et q faux 17.A = ¬a (bWc)
(ac)¬(abc)
Mer a) g cFFFFVVFF b) t ¬sVVFFFFFF c) g uFFFVVVVV d) g W tVVVVVVVV e)¬s W ¬dFFVVFFFF
f) s gVVFFVVVV g) (c d) gVVVVVVVV h) g (c d)VVVVVVFF i)(t c)(c¬d)FFFFFFVV a¬abWcAacBababcC V d)19.En niant une tautologie, on obtient nécessairement une contradiction,
puisque tous les20.a) [(p q) ¬p] ¬q
q) q] p q) (¬p q)] q p¬p¬qpq(pq) ¬p[(pq) ¬p] ¬q V pq(pq) q[(pq) q] p V p¬ppq¬pq(pq) (¬pq)[(pq) (¬pq)] q V d)¬(pq) (¬p¬q) (q r)] [(p q) (p r)] q) r] [(p r) (q r)] pq¬(pq)¬p¬q¬p¬
q¬(pq) (¬p¬q)
V prp(qr)pqpr(pq) (pr)Formule V pq(pq)rprqr(pr)(qr)Formule V g)¬p ¬q) r] [(p q) s]} (r s) q) (¬p q) est valide q) q n'est ni valide ni contradictoire q) (p q) est valide q) (¬p ¬q) n'est ni valide ni contradictoire q) (¬p ¬q) n'est ni valide ni contradictoire q) p] p est valide¬p q) (p ¬q) est contradictoire
q) (q r) est valide ¬p) (q ¬q) est contradictoire q) [(q m) (p m)] est valide (q p) est valide¬p (p q) est valide
q) (p ¬q) est valide q) (q r) (p r) est valide q) (q p) est valide p¬p¬q¬p¬q(¬p¬q)rpq(pq) s[(¬p¬q)r]
[(pq)s]r sFormule V21.a) ¬(p r) ¬r
(q r)] ¬(q r)} ¬p r) q] [q (p q)]} (p q) pr¬(pr)¬r[¬(pr)] ¬r V V pr(pr)qpqq(pq)[(p r)q] [q (pq)]p qFormule V d) p) (r s) (¬q r)] (p s)22.a)¬s ¬r) d] r s} ¬d
d) i] (m i) ¬d) e] ¬e} (¬s d) : Raisonnement valide ¬m) a] [¬a (¬e m)]¬h ¬i) (h ¬i)] (i h)
q) [(w r) q] [(q r) w]} (w q) (l s)] ¬(l g) ¬(g s ¬c) (c ¬m) (m g)} ¬p 23.a)pprs(qp)(rs)¬q¬qr(q p)(r s) (¬q r)p sFormule V conclus que ¬p, ¬q ¬(pq) alors que jÕaurais dž ramiÞ¬p et dÕautre