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ECE1-B2015-2016CH I : Logique et raisonnements mathématiques Dans ce chapitre, on introduit la syntaxe et la sémantique d"éléments de base du langage mathématique. L"objectif est double : pouvoir comprendre et écrire des phrases mathématiques simples, donner des bases rigoureuses afin de pouvoir démontrer ce type de phrases mathématiques.

I. Propositions mathématiques

DéfinitionProposition mathématique

On appelleproposition mathématiqueun énoncé auquel on peut attri- buer une valeur de vérité (vrai ou faux).

Exemple

Les énoncés suivants sont des propositions mathématiques. a)1 + 1 = 2

Cette proposition

est vraie.b)1 + 1 = 3

Cette proposition

est fausse.c)ln(1) = 1

Cette proposition

est fausse.

Par contre,1 + 12et(p18)

3ne sont pas des propositions puisqu"on ne

peut leur attribuer de valeur de vérité. Ce sont des expressions arithmé- tiques dont le résultat est un réel. Il est à noter qu"une proposition mathématique peut comporter des va- riables. En conséquence, il est possible que la valeur de vérité d"une propo- sition dépende du choix de ces variables.Exemple Les énoncés suivants sont des propositions dont la valeur de vérité dépend du choix des variables. a)x+ 2>4 cette proposition est vraie pour toutxplus grand que2, cette proposition est fausse sinoni.e.pour toutxstrictement infé- rieur à2. b)px 2=x cette proposition est vraie pour toutxplus grand que0, cette proposition est fausse sinoni.e.pour toutxstrictement infé- rieur à0. c)px

2+y2=x+y

Pour connaître la valeur de vérité cette proposition, on aimerait la sim- plifier, en commençant par se débarrasser de l"opérateurp: Une telle démarche est périlleuse : si on reprend la proposition précé- dente :px

2=x, une élévation au carré de part et d"autre du symbole

d"égalité fournit l"expression :x2=x2, qui est vraie pour toutxréel! L"élévation au carré n"est donc pas un opérateur neutre en terme de valeur de vérité (nous reviendrons plus tard sur ce point). Sans entrer dans les détails, on peut remarquer que : six= 0, la proposition est vraie pour touty>0, siy= 0, la proposition est vraie pour toutx>0, six <0ety <0, la proposition est fausse. Par contre,10x(py)n"est pas une proposition. C"est une expression arithmétique dont le résultat est un réel. On peut nommer une proposition. Si elle dépend d"une variable explici- tement donnée, on fera apparaître cette dépendance. Par exemple, on pourra noterp(x;y)la propositionpx

2+y2=x+y.1

ECE1-B2015-2016II. Connecteurs logiques

II.1. Conjonction

DéfinitionConjonction

Soientpetqsont deux propositions mathématiques.

On notepETqla proposition qui est :

vraie quandpetqsont simultanément vraies, fausse sinon. Autrement dit, une conjonctionpETqest fausse si (au moins) l"une des deux propositionspouqqui la compose est fausse. L"opérateurETpermet de combiner deux propositions pour former une nouvelle proposition.

Exemple

Les énoncés suivants sont des propositions mathématiques. a)(x+ 2>4)ET(1 + 1 = 3) La proposition1 + 1 = 3étant fausse indépendamment de la vealeur de x, cette conjonction est fausse pour toutxréel. b)(1 + 1 = 2)ET(x+ 2>4) cette proposition est vraie pour toutx>2, cette proposition est fausse sinoni.e.pour toutx <2.

II.2. Disjonction

DéfinitionDisjonction

Soientpetqsont deux propositions mathématiques.

On notepOUqla proposition qui est :

fausse quandpetqsont simultanément fausses, vraie sinon. Autrement dit, une disjonctionpOUqest vraie si (au moins) l"une des deux propositionspouqqui la compose est vraie. L"opérateurOUpermet de combiner deux propositions pour former une nouvelle proposition.Exemple Les énoncés suivants sont des propositions mathématiques. a)(x+ 2>4)OU(1 + 1 = 3) La proposition1+1 = 3étant fausse indépendamment de la valeur dex, cette disjonction est : vraie lorsque(x+ 2>4)l"esti.e.pour toutx>2, fausse sinoni.e.pour toutx <2. b)(1 + 1 = 2)OU(x+ 2>4) La proposition1 + 1 = 2étant vraie indépendamment de la valeur dex, cette disjonction est vraie pour toutxréel.

Remarque

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