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PanaMaths [1-3] Mai 2007

Synthèse de cours (Terminale ES)

Séries statistiques à deux variables

Séries statistiques à deux variables

Définition

On appelle " série statistique à deux variables » la donnée de n couples ii xy de valeurs réelles.

Nuage de points et point moyen

A chaque couple

ii xy on peut associer, dans un repère orthogonal, un point i M de coordonnées , ii xy

. L'ensemble des points ainsi obtenus est appelé " nuage de points associé à la série statistique ».

On considère alors les moyenne statistiques :

1 1 n i i xxn et 1 1n i i yy n

Le point, noté G, de coordonnées

,xy est appelé " point moyen » associé à la série statistique. Ajustement affine par la méthode des moindres carrés

Objectif

Effectuer un ajustement c'est chercher une fonction dont la représentation graphique décrive

" au mieux » (le critère doit être précisé) le nuage de points associé à la série statistique

considérée. Si la fonction cherchée est affine, on parle d'" ajustement affine ».

Si cette fonction affine est de la forme :

yfxaxb, on dit que l'on a effectué un

" ajustement de y en x ». La variable " y » est alors appelée la " variable expliquée » et la

variable " x », la " variable explicative ». Disposant de f, on va pouvoir se donner une valeur de x quelconque et calculer fx : Si min max xxx, on dit que l'on effectue une " interpolation » ; Si min xx ou max xx, on dit que l'on effectue une " extrapolation ».

PanaMaths [2-3] Mai 2007

Méthode des moindres carrés

Le principe général de cette méthode consiste à trouver une fonction f minimisant la quantité : 2 1n ii i yfx (d'où son nom ...) Ajustement affine par la méthode des moindres carrés

On effectue un ajustement affine de

y en x. On cherche f de la forme : fxaxb.

Dans ces conditions, on a :

1 2 1n ii i n i i xxyy a xx

Remarque :

1 1 n ii i xxyyn est la covariance des deux séries i x et i y. On la note : cov ,xy ; 2 11 n i i xxn est la variance de la série i y. On la note : varx

On peut donc écrire :

cov , varxya x Par ailleurs, la droite représentant la fonction f passe par le point moyen G. On a donc : yyaxx iii Mxy i x i fx i y

PanaMaths [3-3] Mai 2007

Et on en déduit :

baxy La droite obtenue est appelée " droite de régression de y en x ».

Rappels sur la variance et la covariance

On a :

222

1111var

nn ii ii xxx x xnn Pour retenir la seconde expression : " moyenne des carrés moins carré de la moyenne ».

On a :

11

11cov , . .

nn ii ii ii xyxxyyxyxynn Pour retenir la seconde expression : " moyenne des produits moins produit de la moyenne ».quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50