[PDF] [PDF] Exercices de M athématiques du SignalAléatoire M AA104

[PDF] Exercices de probabilités avec éléments de correction Memento

Exercice 1 Lois binomiale et géométrique Soit X1,X2, une suite de variables aléatoires indépendantes et de loi B(p) où p ∈ [0, 1] 1 On suppose p > 0

[PDF] Correction des exercices loi binomiale – Chap 8

Correction des exercices loi binomiale – Chap 8 TES 2 FICHE 1 Exercice 7 : Bac (Nouvelle Calédonie – Nov 2006) Un appareil de très haute technologie est  

[PDF] Exercices supplémentaires : Loi binomiale

Exercice 5 On considère une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres 20 et 0,4 Correction exercices supplémentaires : Loi binomiale

[PDF] EXERCICE 1 (5 points ) (Commun à tous les - Maths-francefr

On note X la variable aléatoire qui compte le nombre de stylos présentant un défaut parmi les huit stylos prélevés a) On admet que X suit une loi binomiale

[PDF] Éléments de correction de la feuille dexercices &# 3 - Université de

Exercice 10 Somme de variables de Poisson Soient X1, ,Xn des variables indépendantes de, où Xj suit une loi de Poisson paramètre λj 1 Déterminer la loi de 

[PDF] Exercices corrigés - IMT Atlantique

La variable aléatoire N suit donc une loi de Poisson de paramètre λ EXERCICE 3 15 – [Régression linéaire] Soient X et Y deux variables aléatoires réelles On 

[PDF] Exercices de Probabilités

Table des matières 1 Introduction aux probabilités 2 2 V a r, espérance, fonction de répartition 3 3 Lois usuelles 5 3 1 Loi de Bernoulli, loi binomiale

[PDF] Leçon 437 : Exercices faisant intervenir des variables aléa- toires

toires – Corrigé Exercice 1 Xi suit une loi de Bernoulli d'espérance 2 3 Nous avons vu (série sur les variables aléatoires, exercice 4, question 5) que X

[PDF] Tendance de la loi binomiale vers la loi normale - Exo7 - Exercices

On fera également les calculs avec la vraie loi pour comparer Correction ▽ [ 006020] Exercice 2 On effectue un contrôle sur des pièces de un 

[PDF] Exercices de M athématiques du SignalAléatoire M AA104

corrigé 4 Exercice 5 calculs de probabilités Lorsque Nicolas joue aux échcs contre Louis, Soit X une variable aléatoire de loi de Bernoulli de param`etre θ

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0500100015002000250030000.75

0.8 0.85 0.9 0.95 1

Exercices de

Mathématiques du

Signal Aléatoire

MAA104

c?(2008) D.GHORBANZADEH dariush.ghorbanzadeh@cnam.fr

Math´ematique du signal al´eatoire

Exercice

1 formule de Binôme

En utilisant la formule de Binˆome (x+y)n=n?

k=0Cknxkyn-k, calculer les sommes suivantes : S 1=n? k=0CknS2=n? k=1kCkn S 3=n? k=1k(k-1)CknS4=n? k=1k2Ckn

Exercice

2 combinatoire Soit Ω un ensemble fini `aN´el´ements. On d´esigne parP(Ω) l"ensemble de tous les sous-ensembles de Ω. Montrer que card(P(Ω)) = 2N. L"ensemble deP(Ω) poss`ede comme `el`ements tous les sous-ensembles de Ω form´e de :

0 ´el´ementil y en aC0N= 1 (∅ensemble vide)

1 ´el´ement

il y en aC1N=N(les singletons)

2 ´el´ements

il y en aC2N=N(N-1)2

3 ´el´ements

il y en aC3N=N(N-1)(N-2)3!......

N´el´ements

il y en aCNN= 1 (Ω lui-mˆeme)

Alors, card(P(Ω)) =N?

i=1CiN= 2N. corrig´e 2

Exercice

3 combinatoire Trouver toutes les compositions possibles d"une famille de4 enfants qui comprend deux filles et deux gar¸cons. Il y aC24= 6 possibilit´es :{(ffgg),(fgfg),(fggf),(ggff),(gfgf),(gffg)} corrig´e 3

Math´ematique du signal al´eatoire

Exercice

4 partition On consid`ere Ω l"ensemble des familles ayant 3 enfants et ond´esigne par E

1, E2, E3, E4les ´ev`enements suivants :

E

1={lafamilleaauplusdeuxfilles}

E

2={lafamillen?apasdefille}

E

3={lafamilleaunefille}

E

4={lafamilleadeuxfilles}

Montrer queE2, E3, E4foment une partition deE1.

On a :E

E

2={(ggg)}

E

3={(fgg),(gfg),(ggf)}

E

4={(ffg),(fgf),(gff)}

corrig´e 4

Exercice

5 calculs de probabilités Lorsque Nicolas joue aux ´echcs contre Louis, il gagne 5 foisplus souvent que ce dernier. Quelle est la probabilit´e que Nicolas gagne une partie? PosonsN={Nicolas gagne}etL={Louis gagne}. On cherche alors `a calculerP(N) sachant queP(N) = 5P(L). Or, par dfinition de la probabilit´e totale, on aP(N) +P(L) = 1. donc , 6P(L) = 1 soit

P(L) =1

6, on en d´eduit :P(N) = 1-16=56.

corrig´e 5

Exercice

6 calculs de probabilités Soit (Ω,P(Ω),P) un espace probabilis´e etA,Bdeux ´ev´enements deP(Ω)

2. Montrer que l"on a

Math´ematique du signal al´eatoire

Exercice

7 calculs de probabilités Soit (Ω,P(Ω),P) un espace probabilis´e etA,B,Ctrois ´ev´enements deP(Ω). On donne :P(A) = 0,65,P(A∩B) = 0,15,P(B∩C) = 0,1,P(A∩C) = 0,1,

P(A∩B∩C) = 0,05.

On poseH1=A?(B∩C),H2=A∩(B?C) etH3={niA,niB}.

1. CalculerP(H1) etP(H2).

2. CalculerP(H3) siP(B) = 0,35.

Exercice

8 calculs de probabilités Un ´etudiant, soucieux de ses r´esultats, estime `a 60% ses chances de r´eussir son cours de Math´ematiques, `a 85% ses chances de r´eussir son cours d"Informatique et `a 50% ses chances de r´eussir les deux mati`eres. Calculer la probabilit´e :

1. qu"il r´eussisse en Math´ematiques, mais pas en Infortmatique

2. qu"il r´eussisse en Informatique, mais pas en Math´ematiques

3. qu"il r´eussisse dans au moins une de ces deux mati`eres.

Exercice

9 calculs de probabilités On consid`ere le syst`eme d"´equations d"inconnus (x,y), dans lequela,b,cd´esignent trois param`etres r´eels :?x-2y= 3 ax-by=c Pour d´eterminer les coefficientsa,b,cl"on lance, trois fois, un d´e parfait dont les faces sont num´erot´ees de 1 `a 6 : le premier num´ero sorti donnea, le secondbet le trisi`emec.

1. Calculer les probabilit´esp1,p2,p3, pour que le syst`eme ainsi obtenu ait

respectivement : une infinit´e de solutions; aucune solution; une solution unique.

2. Quelle est la probabilit´e pour que le syst`eme admette lasolution unique (3,0).

Math´ematique du signal al´eatoire

Exercice

10 calculs de probabilités On lance un d´e parfait deux fois. Calculer la probabilit´e que la somme des points onbtenus soient sup´erieure ou ´egale `a 4 et que le premier point soit plus grand ou

´egal au deuxi`eme point.

Le d´e ´etant parfait on a donc :P(A) =card(A)

36. Pour d´eterminer le cardinal deAon a :

On peut donc ´ecrireAsous la formeA=6?

j=1M Du fait queM1,...M6sont disjoints on a : card(A) =6? j=1card(Mj). Or, card(Mj) = 6-max(4-j,j) + 1

En tenant compte de :

max(4-j,j) =?4-jsij= 1 jsij= 2,...,6 on obtient : card(A) =6? j=1(7-max(4-j,j)) = (7-(4-1)) +6? j=2(7-j) = 19

D"o`uP(A) =19

36.
corrig´e 10

Math´ematique du signal al´eatoire

Modèles d'urne

Une urne contientnboules,n1du typeA,n2de typeB. Un tirage consiste `a extraire une boule de l"urne et `a noter son typeAouB(n≥2,n1≥1 ,n2≥1). On effectueNtirages; soitω={ω1,...,ωN}´ev`enement associ´e. Parmi lesNtirages il y en aN1du typeAetN2=N-N1du typeB. Notons :Ai={i-`eme tirage est du typeA}etBi={i-`eme tirage est du typeB} on a :P(Ai) =n1 netP(Bi) =n2n.

•Modèle du tirage avec remise (N≥1)

Apr`es chaque tirage on remet la boule dans l"urne; des ´ev`enements associ´es `a des tirages diff´erents sont mutuellement ind´ependants. Toutes les boules pr´esentes dans l"urne ont la mˆeme probabilit´e d"ˆetre tir´ees.

On a donc

P({ω}) =?n1

n?

N1?n2n?

N2 Apr`es chaque tirage on ne remet pas la boule dans l"urne. A chaque tirage toutes les boules pr´esentes dans l"urne ont la mˆeme probabilit´e d"ˆetre tir´ees.

On a donc

P({ω}) =CN1n1CN2n2

Math´ematique du signal al´eatoire

Exercice

11

Modèle d"urne

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