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Attribuer cet état d'électrisation paramètre q appelé charge électrique (grandeur scalaire et algébrique) charge électrique e = 1,6 10 -19 coulomb On ne peut 

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CHAPITRE IV : La charge électrique et la loi de Coulomb IV 1 : La Force électrique Si on frotte vigoureusement deux règles en plastique avec un chiffon,  

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1 2 Propriétés des charges 4 2 Interaction électrique 5 2 1 Loi de Coulomb 5 2 2 Principe de superposition 8 2 3 Exemples 9 3 Le champ électrique 10

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Il suffit de mesurer la rotation de la "balance de Coulomb" pour en déduire la force d'interaction des deux charges Page 3 3 3 L3-Geosciences ENS - C

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Loi de Coulomb: Considérons deux charges ponctuelles q1 et q2 placées dans le vide La première exerce sur la seconde une force proportionnelle à sa 

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Figure 5: Distribution discrète de charges ponctuelles Page 4 ELECTROMAGNETISME Electrostatique Leçon n°1: Loi de Coulomb Najla FOURATI et Patrick 

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Cas de deux charges ponctuelles qA et qB La loi de Coulomb (électrostatique) indique que la force exercée par A sur B s'exprime sous forme vectorielle par : F

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I Loi de Coulomb pour deux particules élémentaires A) Postulat de la charge C'est une loi fondamentale de la physique • Si 1 q se déplace, )( ME C

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Cours Electrostatique – Charge électrique Potentiel électrique - 9 II : INTERACTION ELEMENTAIRE LOI DE COULOMB II-1 Charges ponctuelles 21 12 F F о

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Électricité et magnétisme - TD n◦1 Loi de Coulomb 1 Force électrique Calculer le rapport entre force gravitationnelle et électrique entre le proton et l' électron

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Electromagnetisme Aix - Marseille Universite

Electricite et magnetisme - TD n1

Loi de Coulomb

1.Force electrique

Calculer le rapport entre force gravitationnelle et electrique entre le proton et l'electron dans l'atome d'hydrogene. On considere que la distance entre le proton et l'electron est a 0. m e'0;911030kg,140= 9109SI,qe= 1;61019C.

2. Deux charges ponctuellesq1etq2sont alignees le long de l'axeOydu repereR(Oxy). La

chargeq1est situee au point A(x=0,y=0.30m) et la chargeq2est situee au point B(x=0, y=-0.30m). Une troisieme chargeQest situee au point M(x=0.40m,y=0). (a) Determiner le vecteur force exerce parq1etq2sur la chargeQ. Pour cela, vous ferez un dessin et vous calculerez les composantes de la force dans le repereR(Oxy). (b) Calculer l'angleque fait la force avec l'axeOx. (c) Calculer le module de la force.

A.N.:q1=q2= 2C;Q= 4C.

3. Trois charges ponctuelles identiquesqsont situees aux trois sommets d'un carre de cote

L. Trouver la direction et le module de la force exercee sur une charge ponctuelle -3q situee : (a) au centre du carre. (b) au sommet vacant du carre.

4. Deux boules de liege identiques de massem=30g et chargeqpendent d'un plafond par

des ls de longueur identiquel=15cm. Soit=30l'angle entre les ls et la verticale a l'equilibre. Trouver la charge de chaque sphere. Qu'arrive-t-il si les charges ne sont pas egales?

5.Champ electrique

La dierence de potentiel entre deux plaques paralleles est V= 100V, leur separation d= 1cm, leur longueurL= 2cm. Un electron est projete avec une vitessev0= 107ms1 entre les plaques au sens de leur longueur. On suppose que le champ electrique entre les

plaques est uniforme et dirige vers le haut, et le champ a l'exterieur des plaques est nul.Figure1 {Deviation d'un electron par un champ electrostatique

(a) Trouver sa deviation transverse, y;et sa vitesse transverse,vy, quand il emerge des plaques. (b) Un ecran est place aD= 0;5m du bord nal des plaques et perpendiculairement a la vitesse initiale. Trouver la position de l'impacte de l'electron sur l'ecran. 1

UE 32 P -

Electromagnetisme Aix - Marseille Universite6.Dip^ole electrique Un dip^ole electrique est constitue de deux charges ponctuelles alignees le long de l'axe Ox,q1=-2.5nC situee au point A(x=-10cm) etq2=+2.5nC situee au point B(x=+10cm).

Determiner le champ electrique :

(a) au point (x=20cm,y=0). (b) au point (x=0,y=10cm).

7.Quadrup^ole electrique

Trois charges ponctuelles sont alignees le long de l'axeOy: une chargeqsituee ay=a, une charge -2qsituee a l'origine et une chargeqsituee ay=a. Un tel arrangement constitue un quadrup^ole electrique. (a) Calculer le champ electrique sur l'axeOx. (b) Que devient l'expression du champ electrique pourx >> a? Comparer cette expres- sion avec celle d'une charge ponctuelle et celle d'un dip^ole electrique.

Exercices suppl

ementaires1.Experience de MillikanFigure2 {Experience de Millikan Des gouttelettes d'huile de rayonrsont pulverisees dans un condensateur a l'interieur duquel le champ electrique!Eest constant. Une gouttelette se deplace par eet de la gravite, du champ et de la friction visqueuse (voir gure 2). On supposera que la force de frottement est donnee par la formule :Ff=6rv, ou= 1;8:105Pa.s est la viscosite de l'air. On neglige la poussee d'Archimede. (a) Calculer la vitesse (en fonction du temps) de la goutte lorsque le champ electrique est nul. (b) Deduire l'existence d'une vitesse limitevlet calculer sa valeur. (c) On applique un champ electrique !E(colineaire a la gravite) jusqu'a ce que la gout- telette se trouve a l'arr^et. Calculer la charge d'une gouttelette en fonction du champ electrique et de la vitesse limite a champ nul,v0. A.N.: La masse volumique de l'huile esth= 1;05:103kg.m3; E= !E

482kV.m

1,r=1.8106m.

2.Rappel : Coordonnees cylindriques et spheriques

Soit (O;x;y;z) un repere en coordonnees cartesiennes, de vecteurs de base!ex;!ey;!ez, et (O;r;;z) un repere en coordonnees cylindriques de vecteurs de base!er;!eet!ez. (a) Exprimer !exet!eyen fonction deret. (b) Exprimer !eret!edans la base (!ex;!ey). 2

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Electromagnetisme Aix - Marseille Universite(c) Donner l'expression du volume elementairedVen coordonnees cylindriques.

(d) Reprendre les questions (a) a (c) pour un repere (O;r;;) en coordonnees spheriques, de vecteurs de base!er;!e;!e.

3.Calotte spherique chargee

Soit une calotte spherique chargee, de centreO, et d'axe de symetrie (Oz). Le rayon de la sphere estR, et le disque fermant la calotte est vu depuisOsous un angle0(gure

3). Calculer la charge totale de la calotte dans le cas ou :

(a) la charge est repartie uniformement en volume avec une densite0. (b) la charge est repartie uniformement en surface, sur la partie spherique et le disque fermant la calotte, avec une densite0. (c) la charge est repartie en surface avec densite() =0cos(), sur la partie spherique

et le disque fermant la calotte (est la colatitude, en coordonnees spherique).Figure3 {Calotte spherique chargee

3

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Electricite et magnetisme - TD n2

Theoreme de Gauss { Champ electrique cree par des distributions de charges donnees

1.Loi de Gauss

(a) Dans une region de l'espace, le champ electrique !Eest uniforme. Utiliser la loi de Gauss pour prouver que cette region doit ^etre electriquement neutre. Est-ce que le reciproque est valide, c'est-a-dire dans une region de l'espace ou il n'y a pas de charge le champ electrique doit-t-il ^etre uniforme?

(b) Dans une region de l'espace, la densite volumique de chargeest uniforme et positive.!Epeut-il ^etre uniforme dans cette region?

2.Charge lineique

On considere un l rectiligne inni portant une densite de charge uniforme. (a) Quelle est la symetrie du probleme? Quelles sont les invariances? (b) Determiner le champ!Ecree en un pointMsitue a une distancede la ligne. | A partir de l'expression integrale du champ electrostatique de Coulomb. | En utilisant le theoreme de Gauss. (c) En deduire le potentielV() au pointM. (d) Un l rectiligne inni aligne le long de l'axeOxa une charge par unite de longueur de 4.80C/m. Un deuxieme l rectiligne, parallele avec l'axeOxet situe ay=+0.4m, a une charge lineique de2:40C/m. Calculer le champ electrique eny=+0.2m et en y=0.6m. (e) Un cylindre long, de rayonR= 2cm, est charge avec une densite de charge uniforme =1.5nC/m. | Quelles sont les surfaces equipotentielles pour ce cylindre? | En considerant que le potentiel est nul (reference) a la surface du cylindre, quelles sont les rayons des surfaces equipotentielles correspondant a 10V, 20V et respec- tivement 30V? Sont-elle egalement espacees?

3.Sphere chargee

Soit une sphere de rayonRportant une densite volumique de charge uniforme. (a) Quelle est la symetrie du probleme? Quelles sont les invariances? (b) En utilisant le theoreme de Gauss, calculer le champ electrostatique!E(!r) a l'interieur et a l'exterieur de la sphere de rayonR. En deduire le potentielV(r) en tout point de l'espace. (c) Tracer les graphesk!E(!r)ketV(r). (d) Reprendre les questions dans le cas d'une sphere chargee avec une densite surfacique uniforme.

4.Charge surfacique portee par un plan

On considere un plan (P) inni portant une densite surfacique de charges uniforme (gure 1a). (a) Quelle est la symetrie du probleme? Quelles sont les invariances? (b) En utilisant le theoreme de Gauss, exprimer le champ electrostatique!Ea une distance z=hde part et d'autre du plan (P). (c) Exprimer la discontinuite du champ a la traversee du plan en fonction deet0. (d) Tracer le grapheEz(z). 4

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Electromagnetisme Aix - Marseille UniversiteFigure1 {a)Un plan charge. b)Deux plans charges

5.Deux plans charges

Soient deux plans paralleles, situes a une distancehl'un de l'autre. Ils sont charges avec des densites surfaciques de chargepour l'un etpour l'autre (gure 1 b). (a) En exploitant la symetrie du probleme et en utilisant l'equation de Laplace, calculer le potentielV, en tout point situe entre les deux plans, en fonction dehet de leurs potentielsV1etV2. (b) Donner l'expression vectorielle du champelectrostatique !Een utilisant!E=!grad(V). (c) Trouver une autre expression du champ electrostatique !Eentre les 2 plans en utilisant le theoreme de superposition et les resultats de l'exercice 4. (d) En deduire l'expression de la capacite du condensateur forme par les deux plans charges.

6. Une dierence de potentiel de 480V est etablie entre deux plaques metalliques paralleles.

On considere que le potentiel d'une plaque est 480V et le potentiel de l'autre est 0V. La distance entre les deux plaques est de 1.70cm. (a) Tracer les surfaces equipotentielles qui correspondent a 0V, 120V, 240V, 360V et 480V.
(b) Tracer les lignes de champ electrique. Commenter.

7. Une sphere de massem=1.5g et chargeq=8.9C pend d'un plafond par un l entre

deux plaques paralleles verticales. Les deux plaques ont une densite de charge uniforme sur leur surface de +et -et sont espacees ded=5cm. Quelle doit ^etre la dierence de potentiel entre les plaques pour que le l soit incline d'un angle=30par rapport a la verticale?

8.C^able coaxial

Un c^able coaxial est forme de deux long cylindres conducteurs concentriques. Le cylindre exterieur, creux, de rayon interieurb, est charge avec une chargeQ. Le cylindre interieur, plein, de rayona < b, est charge avec +Q. | Calculer le champ electrique entre les deux conducteurs. | Calculer le potentielV(r) en considerantV= 0 ar=b. | Determiner la dierence de potentielVabentre les deux conducteurs. 5

UE 32 P -

Electromagnetisme Aix - Marseille UniversiteExercices suppl ementaires1.Disque charge On considere un disque de rayonR0, d'axe (Ox), charge avec une densite de charge uniforme. (a) Calculez le potentielV(M) en tout pointMde l'axe du disque. En deduire le champ electrostatique!E(x). (b) On suppose queR0devient grand devantx. Que devient alors!E(x)? Pouvait-on predire ce resultat d'une autre facon? (c) On considere maintenant un plan perce d'un disque de rayonR0et uniformement charge avec une densite de charge. Calculez le champ electrostatique cree sur l'axe du disque.

2. Considerer le champ electrique

|!E(x;y;z) = (cx2;0;0). |!E(x;y;z) =c(y;x;0).

Calculer le

ux a travers le cube de sommets (0,0,0), (a;0;0), (0;a;0), (0;0;a), (0;a;a), (a;0;a), (a;a;0), (a;a;a). Calculer la charge a l'interieur du cube. Calculer la densite de charges dans les deux cas et l'integrer sur le cube. 6

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Electromagnetisme Aix - Marseille Universite

Electricite et magnetisme - TD n3

Champs electriques crees par des conducteurs a l'equilibre

1.Spheres conductrices chargees et eet de pointe

Une sphereS1, parfaitement conductrice, de rayonR1= 9cm, porte une chargeQ1; elle est placee dans le vide. (a) Exprimer le champ a la surface de la sphereS1en fonction deQ1,R1et0puis avec , densite surfacique de charges, et0. (b) Quelle est la distribution de charges? (c) Donner le champ cree dans tout l'espace par cette distribution de charges. En deduire le potentiel dans tout l'espace. Une deuxieme sphere conductrice,S2, de rayonR2= 3cm, initialement neutre, est maintenant reliee par un l conducteur long et n a la sphereS1precedente (gure

1). On supposera que le l ne porte aucune charge et que les eets d'in

uence d'une sphere sur l'autre sont negligeables. Apres connexion, les charges des deux spheres sont notees respectivementQ01etQ02.Figure1 {Deux spheres conductrices reliees (d) ExprimerQ01etQ02en fonction deR1,R2et deQ1. (e) Calculer les champs !E1et!E2a la surface des deux spheres; en deduire une relation entre le rapportjj!E1jj=jj!E2jjet le rapportR1=R2. Faire l'application numerique, que conclure?

2.Spheres concentriques

Une sphere conductrice pleine, de rayonaet chargeq, est placee au centre d'une deuxieme sphere conductrice creuse, de rayon interieurbet rayon exterieurc. La sphere creuse n'est pas chargee. (a) Determiner le champ electrique dans tout l'espace. (b) Tracer le grapheEr(r). (c) Quelle est la charge sur la surface interieure de la sphere creuse? Quelle est la charge sur la surface exterieure? (d) Tracer les lignes de champ du systeme en considerant la chargeqpositive. (e) Calculer le potentiel ar=0,r=a,r=b, etr=c. On considere la reference du potentiel a l'inni. On considere maintenant que la charge de la sphere interieure est +qet la charge de la surface exterieure de la deuxieme sphere est -q. (f) Determiner le champ electrique entre les deux spheres et a l'exterieur de la deuxieme sphere (r > c). (g) Calculer le potentielV(r). 7

UE 32 P -

Electromagnetisme Aix - Marseille Universite(h) Tracer les lignes de champ electrique et les surfaces equipotentielles entre les spheres.

(i) Calculer la capacite de ce systeme.

3. Une sphere conductrice creuse, de rayon interieuraet rayon exterieurb, est situee a

l'interieur d'une autre sphere conductrice creuse de rayon interieurcet rayon exterieur d. Les deux spheres sont concentriques. La sphere interieure a une charge totale +2qet la sphere exterieure a une charge totale +4q. (a) Quelle est la charge sur la surface interieure de la sphere interieure? Quelle est la charge sur la surface exterieure de la sphere interieure? M^emes questions pour la sphere exterieure. (b) Determiner le champ electrique dans l'espace. (c) Tracer le grapheEr(r).

4.Capacite d'un c^able coaxial

Un c^able coaxial est forme de deux long cylindres conducteurs concentriques. Le cylindre exterieur, creux, de rayon interieurb, est charge avec une charge lineique -. Le cylindre interieur, plein, de rayona < b, est charge avec +. Calculer la capacite de ce systeme en considerantV= 0 ar=b.

Exercices suppl

ementaires1. Une chargeQest placee a une distancead'un plan conducteur inni tenu a un potentiel nul (par une mise a la terre). On peut montrer que le champ electrique entre le conducteur et la chargeQest le m^eme que celui qu'on obtiendrait en enlevant le conducteur et en placant une charge opposeeQ(\charge image") a une distance 2adeQ. | Montrer que le potentiel electrique est bien constant (= 0) sur le plan ou se trouvait le conducteur, | Montrer que le champ electrique sur le plan est perpendiculaire au plan. | Calculer la densite de charges sur le plan conducteur. | Calculer la charge totale (induite parQ) sur le plan. 8

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Electricite et magnetisme - TD n4

Energie electrostatique

1.Charge traversant un potentiel

(a) Quelles sont l'energie cinetique en Joules et la vitesse en m=s d'un noyau d'oxygene

16O (8 protons, 8 neutrons) apres une acceleration par une dierence de potentiel de

10 7V? (b) Deux charges positives identiques (q= 3nC) sont xees sur l'axeyeny=aety=a (a= 10cm). Calculer leur potentiel sur l'axex, en deduire le champ electrique sur l'axex. Une charge positiveq0de massem(m= 1g) est maintenant placee au repos tout pres de l'origine legerement decalee vers lesxpositifs, puis l^achee. (c) Quelle sera sa vitesse a l'inni? (d) Si la m^eme charge est projetee selon l'axexde1vers l'origine avec une vitesse 2 fois plus petite que celle trouvee en i), a quelle distance de l'origine va-t-elle rebrousser chemin? (e) Si une charge negativeq0est l^achee au repos sur l'axexde1, quelle sera sa vitesse quand elle passera l'origine? 2.

Energie potentielle

(a) Trois charges ponctuelles identiques avecq=1.2C sont situees aux trois sommets d'un triangle equilateral de cote 0.5m. Calculer l'energie potentielle du systeme. (b) Quatre electrons sont situes aux sommets d'un carre de cote 10nm et une particule (charge +2e) est situee au centre du carre. Calculer le travail necessaire pour deplacer la particuledu centre du carre au milieu d'une c^ote. 3. Energie d'un dip^oleUn dip^ole peut ^etre modelise par deux charges ponctuellesqetqquotesdbs_dbs5.pdfusesText_9