Modèles de durée / Examen du 13 mai 2005 Corrigé Durée 2h – tous les documents sont autorisés Exercice n°1 (loi exponentielle) Sous l'hypothèse d' une
| Previous PDF | Next PDF |
[PDF] Loi exponentielle exercices corrigés Document gratuit - Maurimath
LOIS EXPONENTIELLES - EXERCICES Exercice n°1 (correction) La durée de vie, en heures, d'un composant électronique est modélisée par la loi
[PDF] Loi exponentielle de param`etre λ : Exercices Corrigés en vidéo
Loi exponentielle de param`etre λ : Exercices Corrigés en vidéo avec le cours sur jaicompris com Comprendre la définition de la loi exponentielle Soit λ un
[PDF] Exercices de probabilités avec éléments de correction Memento
Loi exponentielle E(λ) λ ∈]0, ∞[ ]0, +∞[ f(x) = λe−λx1]0 Exercice 2 Minimum et maximum d'une famille de variables aléatoires exponentielles Soit X, Y deux
[PDF] Exercices corrigés - IMT Atlantique
Soit (X,Y ) un couple de variables aléatoires indépendantes On suppose que X suit une loi uniforme sur [0,1] et Y une loi exponentielle de paramètre λ sur [0,+∞
Corrigés des exercices
Corrigés des exercices 329 On vérifie la continuité de FZ au point z = 0 Il s'agit de la loi exponentielle E(2) (section 4 2 2) Exercice 1 9 Sur [0, 1] on a FX(x)
[PDF] Probabilités – Loi exponentielle Exercices corrigés - Madame Maths
Exercice 5 : calcul de probabilité avec la loi exponentielle, utilisant la formule des probabilités totales • Exercice 6 : espérance et variance d'une variable
[PDF] LOIS CONTINUES - EXERCICES CORRIGES [ [ [ [ [ [ - Free
Exercice n°4 Une variable T soit une loi exponentielle de paramètre 0 λ > 1) Trouvez le paramètre de cette loi sachant que ( )70 0,05 p T ≤ = 2) Déduisez- en
[PDF] Exercices de baccalauréat série S sur la loi exponentielle
(page de l'énoncé/page du corrigé) On admet que la variable D suit une loi exponentielle de paramètre λ= Dans la suite de l'exercice, on prendra λ = 0,125
[PDF] loi exponentielle - Ressources actuarielles
Modèles de durée / Examen du 13 mai 2005 Corrigé Durée 2h – tous les documents sont autorisés Exercice n°1 (loi exponentielle) Sous l'hypothèse d' une
[PDF] ds 7 Lois continues 1 Exercice 1 [10 pts] Loi exponentielle La durée
Exercice 1 Une variable aléatoire X suit une loi binomiale B(125 ; 0,3) Corrigé 2 Exercice 1 [10 pts] Loi exponentielle 1 D'après le cours P(T
[PDF] loi exponentielle paramètre lambda
[PDF] loi exponentielle probabilité conditionnelle
[PDF] loi exponentielle sans mémoire
[PDF] loi exponentielle sans mémoire démonstration
[PDF] loi exponentielle sans vieillissement
[PDF] loi exponentielle terminale s
[PDF] loi exponentielle trouver lambda
[PDF] loi falloux
[PDF] loi ferry 1882
[PDF] loi ferry 1886
[PDF] loi fondamentale de la dynamique
[PDF] loi géométrique
[PDF] loi géométrique exercices corrigés
[PDF] loi géométrique tronquée
Modèles de durée / Examen du 13 mai 2005
Corrigé
Durée 2h - tous les documents sont autorisésExercice n°1 (loi exponentielle)
Sous l'hypothèse d'une arrivée aléatoire des patients dans un laboratoire d'analyses médicales,
le temps passé à attendre avant d'être pris en charge est distribué selon une loi exponentielle
de paramètre , ie telle que la fonction de hasard soit constante égale à1- Un patient a attendu 10 minutes. Donner la vraisemblance de cette observation, et la
représenter graphiquement en fonction du paramètre. On note T la v.a. qui mesure le temps d'attente, et t la réalisation de cette variable. Ici l'échantillon est réduit à une seule observation. La densité de probabilité de la loi exponentielle est t etf , donc la probabilité associée à l'échantillon est 111111 ,dtedtttTP t . La fonction de vraisemblance correspond à cette expression, lorsqu'on la considère comme une fonction de 1 t eV
Si l'on trace cette fonction en fonction de
, on trouve la forme caractéristique de la fonction de vraisemblance : une courbe avec un unique maximum :Vraisemblance en fonction de lambda
00,0050,010,0150,020,0250,030,0350,04
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6
lambda vraisemblance L'estimation de au maximum de vraisemblance s'obtient en déterminant la valeur qui annule la dérivée de la vraisemblance, donc = 1/t 1 . L'estimateur de au maximum de vraisemblance est donc la variable 1/ T.2- A la fin de la journée, on tire au sort un échantillon de 10 patients parmi ceux de la
journée. Les temps d'attente observés sont (en minutes) : 1; 13; 4; 4; 3; 6; 23; 1; 16;3. Donner la vraisemblance de cet échantillon. Quelle est l'estimation naturelle du
temps moyen passé dans ce service ? La densité des observations est la fonction , que l'on peut calculer, sous l'hypothèse d'indépendance entre les 10 patients, comme le produit des 10 densités de probabilités individuelles. Il est ici plus simple de passer à la log vraisemblance pour calculer l'estimation de . On transforme ainsi un produit en une somme de terme. Finalement on a =n/(t 1 t n ), et l'estimateur du maximum de vraisemblance estT1 ou T est la v.a. qui donne la moyenne
empirique des observations. Le temps moyen passé dans le service est de 7,4 minutes.3- Dans un groupe de 10 patients tirés au hasard, le plus petit temps d'attente est de 10
minutes. Que peut-on dire de plus ? (vraisemblance, temps moyen d'attente ?) On se trouve en situation de censure au premier décès, donc la vraisemblance s'écrit : expexp!! 11nTnTnnL
Le passage au logarithme conduit à
lnlnln 1 nTnL, d'où 11nT ; le temps
moyen d'attente estimé est donc de 100 minutes ! Exercice n°2 (modèle à risques concurrents) Dans cet exercice on utilise la paramétrisation suivante des lois exponentielles et de Weibull : loi exponentielle : e th1, loi de Weibull : 1 ww tthOn considère pour modéliser le fonctionnement d'un appareil jusqu'à sa défaillance le modèle
de durée WET,min où les variables aléatoires E et W sont indépendantes, E suivant une loi exponentielle et W une loi de Weibull définies comme ci-dessus.1- Déterminez la fonction de hasard, la densité, et la fonction de survie de T.
La fonction de hasard s'écrit
1 1 wwe tth ce qui est la conséquence directe du fait que la fonction de survie de T est le produit des fonctions de survie de E et W : tWtEtWtEtWEtT !! ! !PrPr,Pr,minPrPrOn en déduit donc que
OO E weT tttSexp ; la densité s'obtient alors facilement en dérivant la fonction de survie (au signe près).2- On suppose 2 et on veut déterminer la probabilité que la défaillance provienne de
E ; montrez que
OOS OO ew ew erfcET 22Pravec f S xux dueexerfc 22
2 la fonction d'erreur complémentaire. On pourra conditionner par la durée exponentielle, puis faire le changement de variable w xy