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Remarque 3 La formule donnant l'espérance semble assez naturelle En effet, le nombre qui est distribué suivant une loi exponentielle (voir section suivante)
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Loi uniforme. Loi exponentielle
I) Loi uniforme de probabilité sur [a : b]
La loi de probabilité qui admet
pour densité la fonction ࢌ constanteégale à
sur [ࢇ ; ࢈], est appelée loi uniforme sur [ࢇ ; ࢈]Soit [ࢉ ; ࢊ] un intervalle inclus dans [ࢇ ; ࢈] et ࢄ une variable aléatoire
suivant la loi uniforme sur [ࢇ ; ࢈], alors : ࡼ ( ࢉ ࢄ ࢊ )= Propriétés :
Si ܺ est une loi de probabilité suivant une loi uniforme sur l'intervalle [ܾ ;ܽ signifie que ܺ sur [ܾ ; ܽ L'espérance mathématique d'une variable aléatoireܾ ; ܽ] est ܧ(ܺ
Exemples :
1) Dans une ville (idéale) les autobus passent à chaque arrêt exactement toutes les
20 minutes. On appelle ܺ
ܺsur l'intervalle [0 ; 20], on a
donc : ( 5 ܺ et ܲ( ܺ 12 )= ܲ ( 12 ܺ enfin le temps d'attente moyen qui est égal à ܧܺ soit 10 minutes. 2) La fonction " alea » d'une calculatrice affiche au hasard un nombre réel appartenant à ]0 ; 1[. Soit ܺ le nombre affiché, ܺ une loi uniforme sur ]0 ; 1[. On a donc : ( 0,15 ܺ = 0,25 et ܲ( ܺ 0,8 ) = ܲ ( 0,8 ܺ =0,2Remarque :
Siܺ suit une loi uniforme sur [ܾ ;ܽ
répartition de ܺPour tout ݔג
ܨ (ݔ)=ܲ( ܺ ݔ )= 0 si ݔ ܽ si ܽݔܾ1 si ݔ ܾ
II) Loi exponentielle
1) Définition
Soit un réel strictement positif. Une variable aléatoire ࢄ suit une loi exponentielle de paramètre lorsque sa densité de probabilité est la fonction ࢌ la fonction définie sur [ 0 ; + [ par :Remarque :
On peut vérifier que ݂ est bien une densité de probabilité sur [0 ; + [ en effet :ł݂ est continue et positive sur [0 ; + [
= 1 - ݁ donc lim݂(ݔ)݀ݔ=1
Ce qui signifie que l'aire sous la courbe de
݂ sur [0 ; + [ est égale à 1
Résultats :
Soit ܺ une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre , et ܽ et ܾ deux réels positifs ou nuls ,alors on a: = 1 - ݁ܽ ) = 1 - ܲ ( ܽ ܺ
Exemples :
Exemple 1 : La durée de vie d'un ordinateur portable exprimée en années est une variable aléatoire ܺ suivant la loi exponentielle de paramètre ߣ La probabilité que la durée de vie de cet ordinateur portable dépasse 5 ans est ( ܺ 5)=1െ ൎ0,535 La probabilité que la durée de vie de cet ordinateur portable soit inférieure à 3 ans est ܲ( ܺ 3)= =1െ݁ ൎ0,313 Exemple 2 : Le temps d'attente exprimé en minutes au guichet d'une banque est une variable aléatoire T suivant la loi exponentielle de paramètre ߣ probabilité qu'un client attende moins de 8 minutes est égale à 0,7. a) Calculer une valeur approchée à 0,0001 de ߣ = 0,7De là ݁
ൎ0,1505 b) Calculer la probabilité qu'un client attende entre 15 et 20 minutes ൎ0,0552) Propriétés
a) Espérance mathématique d'une loi exponentielleSoit ܺ
> 0 ),alors :Démonstration :
La fonction ܩ
a pour dérivée ܩ (ݐ)= t݁ d'où = lim0= lim
Comme on sait que lim
=0 et que lim =0 on a ܧ(ܺ Remarque : E(ܺ) représente la valeur moyenne de la variable aléatoire de ܺExemple :
Si ܺ est une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre ߣ sa valeur moyenne soit égale à 20, alors on peut écrire que =20 d'où ߣ b) Probabilité conditionnelleDémonstration :
Soit ܺ une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre ߣ et ܽ deux réels strictement positifs. On cherche la probabilité que ܺ supérieure ou égale à ܽ + ݐ sachant que ܺ est supérieure à ܽD'où
D'où le nom de " loi de durée de vie sans vieillissement » donné quelquefois à la loi exponentielle.Exemple :
La durée de vie d'un ordinateur portable exprimée en années est une variable aléatoire ܺ suivant la loi exponentielle de paramètre ߣ La probabilité que la durée de vie de cet ordinateur portable dépasse 5 ans sachant qu'il fonctionne depuis déjà 2 ans est égale à ( ܺ 5 )= ܲ( ܺ ൎ0,687 c) Fonction de répartition Si ࢄ est une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètreࣅ, on définit la fonction ࡲ appelée fonction de répartition de ࢄ de la façon
suivante :