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[PDF] Chaînette ∫ ∫

Chaînette On considère un fil pesant ou une chaînette à maille fine de longueur 2L et dont la masse par unité de longueur est ρ Le fil est suspendu entre les 

Calcul mécanique des lignes électriques dans le cas de longues

Tout câble en équilibre constitue un segment de chaînette ; mais, quand les points d'attache Longueur de l'arc de chaînette ;— On a appelé précédemment l

[PDF] Chapitre 13 Les câbles

longueur horizontale, par exemple un tablier suspendu (on néglige le poids propre du câble et des suspentes) : • la chaînette est le funiculaire d'une charge 

[PDF] Le calcul différentiel de Leibniz appliqué à la chaînette - BibNum

Le raisonnement de Jean Bernoulli est fondé sur une propriété de statique, selon laquelle le poids de la section SC du fil (proportionnel à la longueur s de cette

[PDF] DEVOIR MAT-2910 - Cours

Le but de ce premier exercice est l'étude du problème de la chaînette, b) La longueur de la courbe (longueur d'arc) entre deux points quelconques P = (x1,y1 ) 

[PDF] Transport et distribution de lénergie électrique-Tableau de pose

le poids linéique du conducteur sur une longueur de 1 m`etre On pose souvent P = T p (m), P étant souvent appelé ”param`etre de chaınette”, de facon `a ce 

[PDF] Statique De léquilibre de la chaînette sur une surface - Numdam

unité de poids, le poids d'une unité de longueur de cette chaînette nous pourrons dire qu'en son point le plus bas la tension est a , De plus, comme les axes 

[PDF] Construction de la chaînette par points, et division dun arc de cette

II est connu que la chaînette est la courbe diamétrale de deux logarithmiques Si s est la longueur de l'arc de chaînette AM, on a évidemment Y^—^i == wM =s  

[PDF] Optimisation et chaınette - ENS Rennes

2 jui 2008 · courbe est une chaınette, dont l'équation fait intervenir un cosinus Dans un élément de longueur δl situé entre les points d'abscisses x et x + 

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[PDF] longueur d'une clôture en fonction de x

Optimisation et cha

ˆınette

Gr

´egory Vial?

2 juin 2008

R´esum´e

On s"int

´eresse ici la mise en oeuvre de m´ethodes d"optimisation pour le probl`eme de la cha ˆınette. Il s"agit de trouver la forme prise par une corde suspendue par ses extr

´emit´es et soumise`a son seul poids.

Mots-cl´es : Optimisation, p´enalisation, m´ethode de gradient, extrema li´es, m´ethode de Newton.

1 Le probl`eme de la chaˆınette

1.1 Description du probl`eme

La photo de gauche sur la figure 1 pr

´esente la cath´edrale de BarceloneSagrada Familia.

L"architecte Antoni Gaudi (1852-1926), qui en est

`a l"origine, utilisait des maquettes dites funiculairespour obtenir une repr´esentation avant construction. Le principe est simple : un syst `eme de cordes lest´ees par des poids prend la forme invers´ee du bˆatiment. FIG. 1 - LaSagrada Familiade Gaudi (Barcelone) et des maquettes funiculaires.

L"objet de ce texte est l"

´etude de la forme prise par une corde soumis`a son poids qui, par r ´evolution autour d"un axe vertical, fournira la surface prise par les dˆomes de Gaudi.

Ce probl

`eme-mod`ele est bien connu, et a int´eress´e les math´ematiciens d`es le XVIIesi`ecle (Bernoulli, Leibnitz et Huygens, en particulier). On peut montrer que la forme d"une telle courbe est unechaˆınette, dont l"´equation fait intervenir un cosinus hyperbolique.

Afin de mod

´eliser math´ematiquement le probl`eme, on introduit un rep`ere dans lequel la courbe recherch ´ee est d´efinie par une fonctionf, voir figure 2. Si on suppose que la?

D´epartement de Math´ematiques, ENS Cachan antenne de Bretagne, Campus de Ker-Lann, 35170 Bruz.

gregory.vial@bretagne.ens-cachan.fr 1

2Agr´egation externe de math´ematiques - ENS Cachan Bretagne

corde est soumise `a son seul poids, seule la pesanteur contribue`a l"´energie m´ecanique du syst `eme. Dans un´el´ement de longueurδ?situ´e entre les points d"abscissesxetx+δx (voir encore figure 2) l" ´energie potentielle´el´ementaire s"´ecrit au premier ordre δH(f) =ρδ?gf(x) =ρgf(x)?1+f?(x)2δx, o

`uρest la masse lin´eique de la corde, etgl"intensit´e de la pesanteur. L"´energie potentielle

globale de la corde a donc pour expression (dans la suite, on supposeraρg=1)

H(f) =ρg?

1

0f(x)?1+f?(x)2dx. (1)y

x y=f(x)O •(1,0)•δ? x••x+δx FIG. 2 - Rep`ere de d´efinition et´el´ement de longueur

La corde prend une position qui tend

`a minimiser cette´energie potentielle, sous les contraintes de longueur et de fixation enx=0 etx=1. Pr´ecis´ement, on est conduit au probl `eme de minimisation suivant min ?H(f);f(0) =f(1) =0 etL(f) =?0?, (2) o `u l"´energie potentielleHest d´efinie par (1) et la longueur a pour expression

L(f) =?

1

0?1+f?(x)2dx. (3)

On est capable d"obtenir explicitement la solution du probl `eme (2)`a l"aide du calcul des variations. Par exemples, pour?0=2sinh(1/2), la fonctionf?qui r´ealise le minimum est donn

´ee par

f ?(x) =cosh(x-12 )-cosh12

Dans la suite, on s"int

´eresse`a la mise en oeuvre d"algorithmes d"optimisation pour la r ´esolution du probl`eme (2). La probl´ematique est acad´emique, mais permet de valider les m ´ethodes num´eriques dans le but de les utiliser ensuite dans des cas o`u la solution optimale est inconnue.

1.2 Discr´etisation du probl`eme

Pour utiliser des algorithmes d"optimisation en dimension finie, on introduit un entierN et un pas de discr ´etisationh=1/(N+1). La subdivision uniforme(xi)est d´efinie par x i=ihpouri=0,1,...,N+1, et la fonctionfsera repr´esent´ee par ses valeurs sur cette grille : Y i?f(xi).

Les contraintes de fixation imposent

´evidemmentY0=YN+1=0, et l"optimisation porte

ainsi sur le vecteurY= (Y1,Y2,...,YN)?RN.

Texte.Optimisation et chaˆınette3

On obtient une version discr

`ete du probl`eme (2) min ?HN(Y);LN(Y) =?0?, (4) o `u les fonctionnellesHNetLNd´efinies surRNsont les approximations respectives deH etLpar la m´ethode des rectangles (avec la conventionY0=YN+1=0) H

N(Y) =N∑

i=0Y i?h

2+ (Yi+1-Yi)2etLN(Y) =N∑

i=0?h

2+ (Yi+1-Yi)2.

2 Fonctionnelle p´enalis´ee et algorithme du gradient

A cause de la contrainte de longueur, l"utilisation d"un algorithme de gradient projet´e est malais ´ee pour r´esoudre le probl`eme (4). On va donc minimiser la fonctionnelle p´enalis´ee suivante surRNtout entier F

ε(Y) =HN(Y) +1ε

?LN(Y)-?0? 2.

La diff

´erentiation deHNetLNest requise pour mettre en place une m´ethode de gradient.

Avec la notation?k=?h

2+ (Yk+1-Yk)2pourk=1,...,N, on obtient

∂HN∂Yk(Y) =?k-Yk(Yk+1-Yk)? k+Yk-1(Yk-Yk-1)? k-1 ∂LN∂Yk(Y) =-Yk+1-Yk? k+Yk-Yk-1? k-1

La figure 3 pr

´esente les r´esultats obtenus pour diff´erentes it´erations de la m´ethode du gradient `a pas fixe appliqu´ee`a la fonctionnelle p´enalis´eeFε. La m´ethode se r´esume`a l"it

´eration

Y -0.12 -0.1 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0 0.02

Iteration 0

Iteration 100

Iteration 1000

Solution exacteFIG. 3 - Courbes obtenues par la m´ethode de gradient p´enalis´e avec les param`etres

N=18,ε=10-3et?=5·10-4.

4Agr´egation externe de math´ematiques - ENS Cachan Bretagne0200400600800100012001400160018001.04

1.05 1.06 1.07 1.08 1.09 1.1

Iterations

Longueur

Longueur de la courbe au fil des iterations

020040060080010001200140016001800-0.094

-0.092 -0.09 -0.088 -0.086 -0.084 -0.082NRJ potentielle au fil des iterations

Iterations

NRJ potentielle

1.06 1.08 1.1 1.12 1.14

Iterations

Longueur

Longueur de la courbe au fil des iterations

-0.125 -0.12 -0.115 -0.11 -0.105 -0.1 -0.095NRJ potentielle au fil des iterations

Iterations

NRJ potentielleFIG. 4 - Historiques de convergence pour la m´ethode de gradient p´enalis´e avec les pa-

ram `etresN=18,?=5·10-4etε=10-3(gauche) ouε=10-1(droite). La m ´ethode fournit une approximation raisonnable de la solution exacte en un millier d"it

´erations environ. La figure 4 laisse apparaˆıtre l"influence du param`etre de p´enalisa-

tionε: dans le cas d"unεtrop grossier, la p´enalisation n"est pas assez forte, et la longueur

de la corde obtenue est sup ´erieure`a celle prescrite, ce qui permet d"abaisser l"´energie potentielle, mais ne respecte plus la contrainte!

Le choix du param

`etre?est crucial lui-aussi - et li´e`a la valeur deε. Une valeur trop gence. 3 ´Equations d"Euler-Lagrange et m´ethode de Newton

Une autre approche pour r

´esoudre le probl`eme (4) consiste`a recherche les points cri- tiques, i.e. solutions des ´equations d"Euler-Lagrange. En effet, siY?d´esigne la solution du probl `eme de minimisation, il existe un multiplicateurλ??Rtel que ?HN(Y?) +2λ??LN(Y?) =0 L

N(Y?) =?0.(5)

Il est possible d"utiliser la m

´ethode de Newton pour r´esoudre le syst`eme d"´equations pr

´ec´edentes. Bien sˆur, cela n´ecessite le calcul des hessiennes deHNetLN. Ces derni`eres

sont tri-diagonales :

2HN∂Yk∂Yk(Y) =3Yk-2Yk+1?

k-Yk(Yk+1-Yk)2?

3k+Yk-1?

k-1-Yk-1(Yk-Yk-1)2? 3k-1

2HN∂Yk∂Yk-1(Y) =Yk-2Yk-1?

k-1+Yk-1(Yk-Yk-1)2? 3k-1

2HN∂Yk∂Yk+1(Y) =Yk+1-2Yk?

k+Yk(Yk+1-Yk)2? 3k

Texte.Optimisation et chaˆınette5

2LN∂Yk∂Yk(Y) =1?

k-(Yk+1-Yk)2? 3k+1? k-1-(Yk-Yk-1)2? 3k-1

2LN∂Yk∂Yk-1(Y) =-1?

k-1+(Yk-Yk-1)2? 3k-1

2LN∂Yk∂Yk+1(Y) =-1?

k+(Yk+1-Yk)2? 3k

La figure 5 pr

´esente les courbes obtenues`a l"aide de la m´ethode de Newton pour la re- cherche des points critiques ( ´equations (5)). La convergence est beaucoup plus rapide que pour la m ´ethode du gradient : 7 it´erations suffisent pour obtenir une pr´ecision inf´erieure 10 -3(en norme uniforme sur[0,1]).00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-0.18 -0.16 -0.14 -0.12 -0.1 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0

Iteration 0

Iteration 1

Iteration 7

Solution exacteFIG. 5 - Courbes obtenues par la m´ethode de Newton pourN=18.Suggestions.(le candidat est libre de ne pas les suivre)

1. on pourra discuter la discr

´etisation choisie (expressions des fonctionnellesHNet L

N) et en proposer d"autres, plus pr´ecises.

2. on pourra s"int

´eresser`a l"existence pour le probl`eme (4);

3. on pourra pr

´eciser l"obtention des´equations d"Euler-Lagrange (5);

4. on pourra pr

´eciser les crit`eres d"arrˆet possibles pour les diff´erents algorithmes.quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47