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Détails mathématiques pour utiliser un ruban en hélice comme ressort...

La figure 1 représente le ressort de 10 spires dans sa positiond"équilibre de hauteur initialeh0, le rayon

initial est notér0=d0 2.

Dans la figure 2, le ressort est étiré, sa nouvelle hauteur esth1et le rayon des spires est alorsr1=d1

Questions

- Quelle est la longueur du ressort?

- Lorsque le ressort est allongé, la longueur du ruban restant invariable, calculer le nouveau rayon des

spiresr1(h0,r0,h1)? h0 d0

Figure 1

h1d1

Figure 2

Hypothèses

Parsouci de simplicité,nous supposons que toutesles spires sontéquidistantesetnous ne faisonsaucune

hypothèse sur les propriétés physiques du métal constituant le ruban : son épaisseur, son élasticité, les

torsions, la température etc. 1

CalculsSiz0est le pas de l"hélice, c"est-à-dire la distance entre deux spires,h0=nz0est la hauteur totale d"un

ressort denspires.

2πr0z

0l0 Une astuce pour calculer la longueur d"une spire :

On fait rouler le cylindre sur le plan afin de dessiner la tracede l"hélice sur ce plan. Ainsi, l"hélice se

transforme en un ligne droite. On dessine le triangle rectangle dans lequel un côté de l"angle droit est la

hauteurz0, l"autre est la circonférence 2πr0du cylindre et l"hypoténuse la longueurl0d"une spire. En

utilisant le théorème de Pythagore on peut calculer la longueur d"une spire.

Lalongueur d"un seule spireest

l 0= z2

0+4π2r2

0(1)

Cela donne lalongueur totaledu ressort :

L 0=nl0 Maintenant, nous considérons le ressort étiré (figure 2).

Si le pas de l"hélice est notéz1, alorsh1=nz1est la hauteur totale du ressort étiré pournspires.

La longueurd"une spireest :

l 1= z2

1+4π2r2

1(2)

Cela donne lalongueur totaledu ressort tendu

L 1=nl1 Puisqu"il s"agit du même ressort, la longueur est constante:L0=L1.

Des équations (

1) et (2) nous en déduisonsr2

1, r 2 1=1

4π2n2h2

0-14π2n2h2

1+r2 0 2

Conditions initiales de l"oscillationL"axe verticalhest orienté vers le bas et l"origineh=0 est l"extrémité supérieure du ressort.

Le ressort va effectuer des oscillations harmoniques avec uneamplitudeˆhToùTest lapériode des oscillations. h

1(t)=h0+ˆh·sin(ωt)=h0[1+ˆh

h0sin(ωt)] Cela donne, après quelques calculs élémentaires : r

1(t)=????

4π2n2h2

0{1-[1+ˆhh0sin(ωt)]2}+r2

0 r2

Résultats

Plus le ressort possède de spires et moinsr1(t)diffère der0. Nous allons maintenant discuter de deux demi-périodes consécutives : -]0;T

2[- Le ressort s"allongel1(t)>l0

sin(ωt)>0?r1(t)2;T[- Le ressort se raccourcitl1(t) sin(ωt)<0?r1(t)>r0

Maintenant, si vous faites les calculs sur quelques exemples particuliers en choisissant les variables

0,r0,ˆh, vous constaterez que la correction par rapport au rayon initial est très faible. Le calcul du

rayon est nécessaire, lorsque l"étirement est très grand. Mais dans ce cas, les conditions d"application de

la loi de Hooke(tension du ressort proportionnelle à son allongement)et la limite d"élasticité du ressort

ne seront plus respectées et l"hypothèse d"oscillations harmoniques deviendra caduque... 3 ExempleIci vous pouvez voir quelques extraits de l"oscillation harmonique (n=10,h0=5,r0=1,5,ˆh=2) incluant lacorrection de rayonet on ne voit pas de différence appréciable pourr1(t). t=0 360T
t=90 360T
t=180 360T
t=270 360T
t=360 360T
Une animation de ces oscillations a été mise en ligne sur le site :

Code source

\psset{lightsrc=30 5 5,SphericalCoor,viewpoint=50 45 0,Decran=50,resolution=180} \multido{\i=0+90}{5}{% \begin{pspicture}(-1.35,-5)(1.35,7) \pstVerb{% /amplitude \i\space sin 0.4 mul 1 add 5 mul def

/radius \i\space sin 0.4 mul 1 add 2 exp neg 1 add 25 mul 4 div pi 2exp div 100 div 1.5 2 exp add 0.5 exp def

\psframe(-1.4,-3.5)(1.4,7) \psSolid[object=cylindre,r=1.2,h=0.2,ngrid=1 36](0,0,6) \pshelices[incolor=gray!75,R=radius,h=amplitude,hue=0.2 0.5,grid,RotY=180,spires=10,dZ=0.1](0,0,6) \psSolid[object=cylindre,r=1.2,h=1,ngrid=4 36,fillcolor=blue](0,0,amplitude neg 5 add) \psPoint(0,0,amplitude neg 6 add){E1} \psdot(E1) \rput(0,-4){$t=\dfrac{\i}{360}T$} \end{pspicture} \qquad} 4quotesdbs_dbs7.pdfusesText_13

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