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Université Paris 10Année 2010-2011

L2 Sciences économiques

Sujet n

o2 - Durée : 1h30 Consignes.Les calculatrices sont autorisées. Aucun document n"est autorisé. Les ré- sultats pourront être donnés sous forme de fraction ou de valeur décimale exacte. Les

calculs devront être explicités, expliqués et argumentés. Une valeur sans justification sera

considérée comme fausse.

Exercice 1

On considère deux avions, un biréacteur (un avion ayant deux réacteurs) et un quadriréacteur (un avion ayant quatre réacteurs). Tous les réacteurs de ces avions ont la même probabilité de panne(1-p)?]0;1[et ils fonctionnent indépendamment les uns des autres. Un avion peut finir son vol si au moins la moitié de ses réacteurs fonctionne.

1.Calculer pour le biréacteur

a.la probabilité que les deux réacteurs soient en panne; b.la probabilité que l"avion ne finisse pas son vol.

2.Calculer pour le quadriréacteur

a.la probabilité que les quatre réacteurs soient en panne; b.la probabilité que l"avion ne finisse pas son vol.

3.Indiquer en fonction depl"avion qui offre la meilleure sécurité.Corrigé de l"exercice 1

1. SoitXla variable aléatoire " nombre de moteurs en panne du biréacteur ». Puisque les réacteurs sont indépendants,Xsuit une loi binomiale de paramètres1-pet n= 2, donc, pourk? {0,1,2},

P(X=k) =?2

k?p2-k(1-p)k. a.La probabilité que les deux réacteurs tombent en panne est

P(X= 2) =?2

2?p0(1-p)2= (1-p)2.

b.La probabilité que l"avion ne termine pas son vol est

P(X >1) =P(X= 2) = (1-p)2.

1

2.SoitYla variable aléatoire " nombre de moteurs en panne du quadriréacteur ».

Puisque les réacteurs sont indépendants,Ysuit une loi binomiale de paramètres

1-petn= 4, donc, pourk? {0,1,2,3,4},

P(Y=k) =?4

k?p4-k(1-p)k. a.La probabilité que les quatre réacteurs tombent en panne est

P(Y= 4) =?4

4?p0(1-p)4= (1-p)4.

b.La probabilité pour que l"avion ne finisse pas son vol est

P(Y >2) =P(Y= 3) +P(Y= 4) =?4

3?p(1-p)3+?4

4?p0(1-p)4

= 4p(1-p)3+ (1-p)4= (4p+ 1-p)(1-p)3 = (3p+ 1)(1-p)3. 3. Le quadriréacteur offre une meilleure sécurité que le biréacteur si et seulement si 23
(On a simplifié les inégalités une première fois par(1-p)2puis une seconde fois par pcar ces deux nombres sont>0vu que1-p?]0;1[par hypothèse.) Conclusion.Le quadriréacteur est plus sûr lorsquep≥23et c"est le contraire . Lorsquep=23 , les deux sont aussi sûrs l"un que l"autre. Exercice 2SoitBetCdeux événements de probabilités

P(B) =14

etP(C) =12

CalculerP(B?C)etP(B?Cc)

1.siBetCsont des événements indépendants;

2.siBetCsont des événements incompatibles (on pourra s"aider d"un dessin).Corrigé de l"exercice 2On a

P(B?C) =P(B) +P(C)-P(B∩C);

P(B?Cc) =P(B) +P(Cc)-P(B∩Cc).

On va utiliser ces deux formules sous les deux hypothèses de l"énoncé pour calculer les probabilités demandées. 2

1.LorsqueBetCsont indépendants, on aP(B∩C) =P(B)P(C)donc

P(B?C) =P(B) +P(C)-P(B)P(C) =14

+12 -14

×12

=58=0,625.PuisqueBetCsont indépendants, on sait (c"est du cours) queBetCcle sont également, doncP(B∩Cc) =P(B)P(Cc)d"où, puisqueP(Cc) = 1-P(C) =12

P(B?Cc) =P(B) +P(Cc)-P(B)P(Cc) =14

+12 -14

×12

=58=0,625.

2.LorsqueBetCsont incompatibles, on aB∩C=?doncP(B∩C) = 0d"où

P(B?C) =P(B) +P(C) =14

+12 =34=0,75. PuisqueB∩C=?, on aB?Cc(voir dessin ci-dessous) et doncB∩Cc=B, d"où

P(B?Cc) =P(B) +P(Cc)-P(B) =P(Cc) =12=0,5.BCC

cΩ

Exercice 3

Lors d"une épidémie chez des bovins, on s"est aperçu que si la maladie est diagnostiquée suffisamment tôt chez un animal, on peut le guérir; sinon la maladie est mortelle. Un test est mis au point et essayé sur un échantillon d"animaux dont2 %est porteur de la maladie. On obtient les résultats suivants : si un animal est p orteurde la maladie, le test est p ositifdans 85 % des c as; si un animal est sain, le test est négatif dans 95 % des cas. On choisit de prendre ces fréquences observées comme probabilités pour toute la population et d"utiliser le test pour un dépistage préventif de la maladie. On note respectivementMetTles événements " Être porteur de la maladie » et " Avoir un test positif ».

1.Traduire l"énoncé en termes de probabilités.

2. Un animal est choisi au hasard. Quelle est la probabilité que son test soit positif?

3.Un animal est choisi au hasard parmi ceux dont le test est positif. Quelle est la

probabilité qu"il soit porteur de la maladie? 4. On choisit6animaux au hasard. La taille du troupeau est telle qu"on peut assimiler les tirages à des tirages avec remise. On noteXla variable aléatoire qui, aux six animaux choisis, associe le nombre d"animaux ayant un test positif. a.Quelle est la loi de probabilité deX? b. Quelle est la probabilité pour qu"au moins un des six animaux ait un test positif? 5. Le coût des soins à prodiguer à un animal ayant réagi positivement au test est de 100 euros et le coût de l"abattage d"un animal non dépisté par le test et ayant développé la maladie est de 1000 euros. On suppose que le test est gratuit (remboursé par la collectivité). On noteCla variable aléatoire du coût à engager par animal.3 a.D"après ce qui précède, montrer que la loi de probabilitéCest donnée par le tableau suivant :Coût01001000

Probabilité0,9310,0660,003

b.Calculer l"espérance de la variableC. c. Un éleveur possède un troupeau de 300 bêtes. Tout le troupeau est soumis au test. Au total, quelle somme va-t-il dépenser en moyenne?Corrigé de l"exercice 3

1.Traduisons l"énoncé en terme de probabilités :

P(M) =2 %=?P(Mc) =98 %;

P

M(T) =85 %=?PM(Tc) =15 %;

P

Mc(Tc) =95 %=?PMc(T) =5 %.

(Les probabilité de la colonne de droite n"étaient pas demandées, mais seront utiles par la suite.)

2.On utilise la formule des probabilités totales :

P(T) =PM(T)P(M) +PMc(T)P(Mc)

85100

×2100

+5100

×98100

=17010000 +49010000
=66010000 =6,6 %. Remarque. -On pouvait aussi utiliser un arbre de probabilités :MT0,02×0,85=0,0170,85 T c0,02×0,15=0,0030,150,02 M cT0,98×0,05=0,0490,05 T c0,98×0,95=0,9310,950,98

3.Pour calculerPT(M), on utilise la formule

P

T(M) =PM(T)P(M)P(T)=85100

×2100660

10000
=17010000660 10000
=170660 =1766?25,76 %. 4. a. Puisque l"on répète de manière indépendante le test six fois de suite sur des animaux choisis au hasard et qu"on regarde le nombre de fois où l"événementT s"est produit, on est en présence d"une loi binomiale de paramètresp=P(T) =

6,6 % etn= 6:

P(X=k) =?6

k?(0,066)k(0,934)6-k,oùk? {0,1,2,...,6}. 4 b.La probabilité pour qu"au moins un des animaux ait un test positif est

P(X≥1) = 1-P(X <1) = 1-P(X= 0) = 1-?6

0?(0,066)0(0,934)6-0

= 1-(0,934)6?33,61 %. 5. a. On a

P(C= 100) =P(T) =6,6 %=0,066;

P(C= 1000) =P(M∩Tc) =PM(Tc)P(M) =15100

×2100

=3010000 =0,003.

On en déduit la valeur deP(C= 0)en écrivant

P(C= 0) = 1-P(C= 100)-P(C= 1000)

= 1-0,066-0,003= 1-0,069=0,931.Remarque. -On pouvait aussi utiliser le fait queP(C= 0) =P(Tc∩Mc) =

PMc(Tc)P(Mc) =0,98×0,95=0,931.

b.L"espérance deCest donnée par

E(C) =?

k?C(Ω)kP(C=k) = 0×0,931+ 100×0,066+ 1000×0,003 = 0 +6,6+3=9,6. En moyenne, le coût à engager par animal est donc de 9,6 euros. c.Puisque l"éleveur a 300 animaux, le coût moyen total est

300×9,6= 2880.

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