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n'est pas équivalent `a 1 au voisinage de 0 car cette fonction n'a pas de limite quand x tend vers 0 L'explication se trouve dans la preuve de la proposition 29 6
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Cette fonction est bien définie au voisinage de 2 car ]1,3] est un intervalle contenant 2 et inclus dans Df R 2 De manière générale, il n'y a pas d' équivalent à la fonction nulle : on n'écrira JAMAIS f(x) Il suffit de trouver un contre-exemple
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fonction ε , de D dans R, et qui tend vers 0 en a, telle que, au voisinage de a : g f ε = x ne sont équivalents ni en 0 ni en ∞+ , alors qu'ils y ont la même limite
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13 jan 2018 · Proposition 4 : Caractérisation de l'équivalence de deux fonctions On a au Comment faire pour trouver un équivalent de ln un ? De eun ?
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I 1 Développement limité de Taylor-Young Une fonction f qui admet n dérivées successives en x = 0 peut se développer jusqu'à l'ordre n au voisinage de 0 Si
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![[PDF] Équivalents et Développements (Limités et Asymptotiques)](https://pdfprof.com/Listes/18/14918-18Equivalents_DL.pdf.pdf.jpg "[PDF] Équivalents et Développements (Limités et Asymptotiques)")
Florian Lemonnier florianlemonnier@live.fr
Équivalents et Développements (Limités et Asymptotiques)1 Équivalents
1.1 Suites équivalentes
Deux suites
(un)et(vn)sont dites équivalentes si, et seulement si, limn!+¥u nv nexiste et vaut 1.On note alors :unvn.
Siunvnet limn!+¥un=l2R, alors limn!+¥vn=l.
Siunvnetuest positive à partir d"un certain rang, alorsvest positive à partir d"un certain rang.
Exercice 1Vrai ou Faux
Soient quatre suites telles que :unvnetanbn. Dire des assertions suivantes si elles sont vraies ou fausses.
anunbnvn 1u n1v n an+unbn+vn anu nbnv n Poura>0 etuetvpositives à partir d"un certain rang,uanvan unnvnnAutres comparaisons existantes :
un=o(vn):(un)est négligeable devant(vn)quand limn!+¥u nv nexiste et vaut 0 un=O(vn):(un)est dominée par(vn)quandunv n est bornée On a le résultat suivant : sian=o(un), alorsunun+an. Exercice 2Exemple de suite définie de façon implicite On se donne un entiern1 et on considèrefn:x7!x5+nx1. 1.Fair el"étude de la fonction fn.
2.Montr erqu"il existe un unique réel untel quefn(un)=0. Donner un encadrement deunainsi que son signe.
3. En r emarquantque fn(un)=0, calculer le signe defn+1(un). 4.En déduir ela monotonie de la suite u.
5. Montr erque la suite uest convergente, on noteralsa limite. 6.Montr erque un=1n
1u5n . En déduire quel=0. 7.En déduir eque un1n
8.Montr erque un=1n
1n 6+o1n 6 11.2 Fonctions équivalentes
Deux fonctionsfetgsont dites équivalentes enx02Rsi, et seulement si, limx!x0f(x)g(x)existe et vaut 1.
On note alors :f(x)x0g(x).Fonction ÉquivalentFonction ÉquivalentFonction Équivalent sinx0x1cosx0x22tanx0xarcsinx0xarctanx0xlnx1x1e
x10xshx0xthx0x(1+x)a10axargshx+¥lnxargshx0xargchx+¥lnxargthx0xExercice 3Vrai ou Faux 1.Si lim
x!af(x) =0, alors ef(x)1af(x). 2.Si f(x)ag(x), alors ef(x)aeg(x).
Conclusion :On a le droit de composer des équivalents par la ...............mais pas par la ...............
Exercice 4Application au calcul de limite
Calculer :
1. lim x!+¥(thx)e2xlnx 2. lim x!+¥ 2p arctanx ch(lnx) 3. lim x!0tan(xxcosx)sinx+cosx1 4. lim x!p21sinx+cosxsinx+cosx1
5. lim x!0ln(1+sinx)tan(6x)Exercice 5
Déterminer, proprement, un équivalent simple en+¥deln(1+x)lnx x 1.2 Développements limités
2.1 Généralités
fadmet un DLnauV0si, et seulement si, il existe un polynômePnde degré inférieur ou égal àntel que
f(x) =Pn(x) +o0(xn). fadmet un DLnauVasi, et seulement si,g:h7!f(a+h)admet un DLnauV0.Sipnetfadmet un DLnauVa, alorsfadmet un DLpauVa.
Sifadmet un DLnauVa, alors celui-ci est unique.
Exercice 6Vrai ou Faux
Soitfune fonction admettant un DLnen 0 de partie régulièrePn. Sifest paire (resp. impaire), alorsPnest pair (resp. impair). SiPnest pair (resp. impair), alorsfest paire (resp. impaire). Admettre un DL0, c"est être localement continu. Admettre un DL1, c"est être localement dérivable. Pourn2N, admettre un DLn, c"est être localement de classeCn. 22.2 Opérations
Soientfetgdeux fonctions admettant un DLnena, de parties régulièresPetQ. Alors : f+gadmet un DLnenade partie régulièreP+Q; lfadmet un DLnenade partie régulièrelP; fgadmet un DLnenade partie régulièreR: la troncature dePQau degrén. Si, de plus,hest une fonction admettant un DLnenf(a), alorshfadmet un DLnena.Exercice 7Vrai ou Faux
Soitf:I!R, 02I, intervalle réel,fde classeC1surI,n2N.Sifadmet un DLnen 0 de partie régulièreQ, alorsf0admet un DLn1en 0 de partie régulièreQ0.