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Forme exponentielle des nombres complexespage 1 de 3
Forme exponentielle des nombres complexes
1.Soita=ei5=8etb= 1 +ei5=4.
Demontrer queba
est un reel et en deduire l'argument deb.Ne pas developper sous forme algebrique. Diviser pararevient a multiplier par
son inverseei5=8. ba ==ei5=8+ei5=8. C'est la somme de deux nombres conjugues, donc c'est un reelk. Doncb=ka. Donc arg(b) = arg(k) + arg(a). Pour determiner exactement arg(k) (0 ou), il faut conna^tre le signe dek.k=ei5=8+ei5=8= 2cos58 Or 2 <58 < , donc cos58 <0 (verier sur un dessin).Donck <0, donc arg(k) =, et arg(b) =+58
=138 38[2] Remarque (a demontrer) : les points d'axes 0, 1,b, etei5=4forment un losange.
A;OetBsont alignes, dans cet ordre.O
BA 2.Soitdans];[.
SoientO;A;B;C;D;Eles points d'axes respectives0;1;ei;ei;1 +ei;1eiDemontrer que(OD)est perpendiculaire a(OE)Geometriquement :OADBetOCEAsont des losanges (a demontrer). Les dia-
gonales d'un losange sont perpendiculaires, donc (OD) est perpendiculaire a (BA). Or!BA=!OE(a demontrer), donc (OD) est perpendiculaire a (OE).O CEADB Algebriquement : il sut de demontrer que1ei1 +eiest un imaginaire pur (rappeler pourquoi cela sut). Or1ei1 +ei=(1ei)(1 +ei)j1 +eij2(en multipliant en haut et en bas par le conjugue
du denominateur). Le denominateur est un reel et le numerateur est, apres developpement :eiei. C'est la dierence de deux nombres conjugues, donc c'est un imaginaire pur. Donc la fraction est bien un imaginaire pur. Remarque : cette solution est a un niveau abstrait, il y a tres peu de calculs.3.SoitOABA0un losange, avecAetA0sur le cercle trigonometrique. Comment se
traduit algebriquement la propriete geometrique qui dit que les diagonales d'un losange sont perpendiculaires?Soiteil'axe deAetei0l'axe deA0(veriez que vous comprenez bien pourquoi ces axes peuvent se mettre sous cette forme).!OBa pour axeei+ei0(a expliquer),!AA0a pour axeei0eiLa propriete equivaut donc a dire que
ei0eie i+ei0est un imaginaire pur (a expliquer). Cela peut se demontrer directement algebriquement, par un calcul analogue a celui de l'exemple precedent. Cela se ramene a prouver queei0eiei0eiest un imaginaire pur. (il faut comprendre pourquoi cela s'y ramene, et pourquoi c'est nalement vrai). Forme exponentielle des nombres complexespage 2 de 34. SoitOABA0un losange, avecAetA0sur le cercle trigonometrique. Comment se traduit algebriquement la propriete geometrique qui dit que les diagonales d'un losange sont les bissectrices des c^otes?Il sut de demontrer que !OA;!OB =!OB;!OA0 , c'est-a-dire que argba arg a0b , ce qui revient a dire qu'il existe un reel positifktel queba =ka0b , ce qui revient a dire que b2aa0est reel positif, ce qui revient a dire que(ei+ei0)2e
iei0est reel positif. A terminer :demontrer algebriquement cette derniere propriete (developper, sim- plier). 5.Montrer que1+cos2007
+cos22007 +cos32007 ++cos40132007 = 0L'expression etudiee est la partie reelle de 1+ei=2007+ei2=2007++ei4013=2007. Si on poseq=ei=2007, c'est donc la partie reelle de 1+q+q2++q4013, c'est-a- dire de1q40141q(vous ne serez jamais debarrasses de cette formule sur les suites
geometriques, donc autant l'apprendre une fois pour toutes).Orq4014=e2i= 1. Donc on a bien 1q4014= 0.
6.Trouver tous les complexesztels quez3=1On ecritzsous forme exponentiellerei. L'equation s'ecrit alorsr3ei3= 1ei. Le
module d'un nombre complexe est unique, et son argument est unique a 2kpres, donc l'equation equivaut ar3= 13=+ 2k, soitr= 1 (carrest un reel>0) et=3
+k23 Donc il y a trois solutions (pourk= 0 ouk= 1 ouk= 2) :ei=3;ei;ei5=3. La solutioneivaut1 et elle etait previsible (c'est la seule solution reelle). 7. Soitaun complexe non nul etj=ei2=3. Demontrer que les pointsA;B;Cd'axes a;jaetj2aforment un triangle equilateral.Il sut de montrer que j2aajaavautei=3ouei=3(rotation de centreAqui transformeBenC). j2aajaa==j+ 1 ==ei=3, donc la propriete est prouvee.
Autre methode :la rotation de centreOet d'angle23
transformeAenB(puisque b=ja),BenC(puisquec=jb) etCenA(puisquea=jc, a prouver).A;Bet Csont donc trois points sur un cercle de centreOavec des angles au centre egaux, ils forment donc un triangle equilateral. 8.Soita=p3 + 1
4 +ip314 etb= 6 + 6i. Calculerabsous forme algebrique puis sous forme exponentielle. En deduire la forme exponentielle deapuis la forme algebrique dea6ab== 3 + 3ip3 == 6ei=3.Orb== 6p2ei=4. Donca=abb
=1p2 ei(=3=4)=1p2 ei=12Donca6==18
ei=2=i8 Remarque : une question classique de ce genre d'exercice est ensuite : quelle est la formule directe de cos12 ? Indication : c'estRe(a)jaj. 9. SoitMle point d'axez= 1 +ei2,Ad'axe 1 etBd'axe 2, avec0< <2 SoitM0l'image deMpar la rotation de centreOet d'angle2. Demontrer queM;O;B;M
0sont sur un m^eme cercle xe (independant deM).
En utilisant la forme du triangleMAO, calculer l'argument dezOABM M0D'apres la formule du cours ("representation parametrique d'un cercle»),Mest
sur le cercle de centreAet de rayon 1. L'axe deM0estz0=e2iz=e2i+ 1 (=z). D'apres la m^eme formule,M0est sur le m^eme cercle.OetBsont sur ce cercle puisqueOA=AB= 1. Le triangleMAOest isocele puisqueAO=AM= 1. Or l'angle!AB;!AM vaut2puisque c'est l'argument dez1 =ei2. L'angle!AM;!AO
vaut2(c'est le"supplementaire»de!AB;!AMForme exponentielle des nombres complexespage 3 de 3Or les angles a la base d'un triangle isocele sont egaux, et la somme des angles
vaut. Donc les angles (geometriques) a la base du triangle valent chacun12 ((2)) =. Comme 0< <2 , le triangleAMOest direct (Mest sur le demi-cercle superieur), donc l'angle oriente!OA;!OM vaut. C'est donc l'argument dez. Algebriquement: on peut montrer quez= 2cos()ei, avec 2cos()>0