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X suit une loi binomiale de paramètres n =20 et p =0,5 Calculer p(X=5) et p(X ≤ 4) Dans le MENU RUN • Pour calculer p(X= 5) : OPTION puis STAT puis DIST

cès sur les n répétitions est (n k ) (« k parmi n ») On peut démontrer que (n k =0 (n k ) xkyn−k Les nombres (n k ) sont encore appelés « coefficients binomiaux » binomiale de paramètres n et p, c'est-à-dire une variable aléatoire X à

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0⩽i⩽m 1⩽j⩽n zi j Que se passe-t-il par exemple quand on multiplie deux Pour tous n ∈ et k ∈ , on appelle (coefficient binomial) k parmi n le nombre : n

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On parlera de coefficients binomiaux, double-comptage, injections, Deuxième méthode : On remarque que choisir k éléments parmi n revient à sélectionner les (formule de Pascal) Soient n et 0 ⩽ k ⩽ n des entiers (avec (k,n) = (0, 0))

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d'une ensemble en contenant n (il se lit « p parmi n ») Les coefficients (n p ) = 0 Théorème 1 : Soient p, n ∈ N tels que p ⩽ n Alors (np) = n p (n − p) Coefficients binomiaux, combinaisons et formule du binôme Proposition 1 ( formule

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n et p Soit un entier naturel k tel que 0 ≤ k ≤ n On appelle coefficient binomiale ou combinaison de k parmi n, le nombre de chemins conduisant à k succès

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Par convention, il y a 1 manière (et non 0) de choisir 0 éléments parmi n Cela peut puis en utilisant la définition combinatoire des coefficients binomiaux 3

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Le nombre de dispositions sans répétition de k éléments parmi n (k  n) est sons aux nombres qui peuvent s'écrire en base 2 (c-à-d avec symboles 0 et 1) avec 3 Une méthode récursive pour calculer avec les coefficients binomiaux est

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On considère un schéma de Bernoulli constitué de n épreuves et k un entier naturel compris entre 0 et n Le coefficient binomial, noté (n k) (lire k parmi n) est le