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C. Lainé Page | 1

TRIGONOMÉTRIE

Cours Première S

Soit (O ; I, J) un repère orthonormé du plan.

1. Trigonométrie

1) Cercle trigonométrique

Définition 1 : Le cercle trigonométrique est le cercle c de centre O, de rayon 1, et orienté de la manière suivante : • le sens direct (appelé aussi sens positif ou trigonométrique) est le sens inverse des aiguilles d"une montre ; • le sens indirect (ou négatif) est le sens des aiguilles d"une montre.

Le plan est alors dit orienté et le repère () ;? ?Oi j,,,, est appelé repère orthonormal direct.

2) Le radian

Définition 2 : Soit un cercle C de centre O et de rayon 1. On appelle radian, noté rad, la mesure de l"angle au centre qui intercepte un arc de longueur 1 du cercle.

Remarque

: Soit la longueur l d"un arc de cercle de rayon R qui intercepte un angle au centre de mesure, en radians, θ ; alors l = R × θ.

3) Propriété

Propriété 1 : Sur un cercle trigonométrique, la mesure en radians d"un angle au centre est égale à la mesure, en unités de longueur, de l"arc qu"il intercepte.

C. Lainé Page | 2

L"angle ?AOB a même mesure que l"arc ?AB.

Exemple : Soit un demi-cercle de rayon 1 unité. La longueur de ce demi-cercle vaut π × 1 unités de longueur. La mesure de l"angle au centre plat est donc

πradians.

3) Correspondance entre degré et radian

Ainsi, à π radians (tour complet), on fait correspondre un angle de 180°. Par proportionnalité, on obtient les correspondances suivantes : Mesure en degrés 0 30 45 60 90 180 270 360

Mesure en radians 0 6

4 3 2

π π 3

2

π 2π

Applications

• Convertir 24 degrés en radians. Après avoir fait un tableau de proportionnalité, on obtient :

24 degrés

2 0,42 rad

15radπ= ≈

• Convertir 3 5 π radians en degrés. Après avoir fait un tableau de proportionnalité, on obtient :

3 108 degrés

5radπ=

2. Enroulement de la droite numérique autour du cercle

trigonométrique

1) Ensemble des mesures

C. Lainé Page | 3

Le plan est muni d"un repère orthonormal

? ?i j ; O ,. On considère le cercle trigonométrique de centre O.

À tout nombre réel

x, on peut associer un point N unique d"un axe d"origine A représentant les nombres réels. On imagine que l"on enroule cet axe comme un fil autour du cercle trigonométrique. On obtient ainsi un point M unique du cercle trigonométrique.

Le nombre réel

x est une mesure en radians de l"arc d"origine A et d"extrémité M. Définition 3 : Soit un nombre réel x et M le point du cercle trigonométrique associé par l"enroulement de l"axe des nombres réels autour du cercle trigonométrique. - L"abscisse du point M s"appelle le cosinus du nombre réel x et se note cos(x). - L"ordonnée du point M s"appelle le sinus du nombre réel x et se note sin(x).

2) Propriétés élémentaires

Démonstration : Le cercle trigonométrique c a pour rayon 1, alors tout point de c a une abscisse et une ordonnée comprise entre - 1 et 1. A B M H K O x A B M H K O

C. Lainé Page | 4 De plus, en appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle OHM, on obtient :

2 22 2 2cos sinOM OH HM= + = +x x.

Comme M appartient à C, alors OM = 1. D"où

2 2cos sin 1+ =x x, que l"on écrit également

2 2cos sin 1+ =x x.

Propriété 3

: Quel que soit le réel x, cos(x,+ k×2π) = cos x, et sin(x, + k×2π) = sin x ,avec k entier. Démonstration : Aux points de la droite orientée d"abscisses x et 2kπ+x ont fait correspondre le même point du cercle trigonométrique.

3) Valeurs remarquables

Il est utile de connaître ou de savoir retrouver rapidement les valeurs des sinus et cosinus des angles suivants :

Mesures en degrés 0 30 45 60 90 180

Mesures en radians 0 6

4 3 2 sinus 0 21 2 2 2

3 1 0

cosinus 1 2 3 2

2 21 0 - 1

3. Angles associés

Définition 4 : Deux angles sont dits associés s"ils admettent des cosinus et des sinus

égaux ou opposés.

C. Lainé Page | 5 Propriétés 4

: Pour tout réel θ,

Oi→

j→ A B A" B"

Oi→

j→ A B A" B" ()cos cos- =θ θ ()sin sin- = -θ θ ()cos cos+ = -π θ θ ()sin sin+ = -π θ θ ()cos cos- = -π θ θ ()sin sin- =π θ θ ( )cos sin2- =πθ θ ( )sin cos2- =πθ θ ( )cos sin2+ = -πθ θ ( )sin cos2+ =πθ θ

Démonstration

: Pour des raisons de symétrie, on obtient les résultats suivants :

1) Les points

()Mθ et ()Mθ- sont symétriques par rapport à l"axe des abscisses. Ils ont la même abscisse mais des ordonnées opposées.

2) Les points

()Mθ et ()Mπ θ- sont symétriques par rapport à l"axe des ordonnées. Ils ont la même ordonnée mais des abscisses opposées.

3) Les points

()Mθ et ()Mπ θ+ sont symétriques par rapport au point O. Ils ont des abscisses et des ordonnées opposées.

4) Les points

()Mθ et

2Mπ

sont symétriques par rapport à la première bissectrice d"équation =y x. Leurs coordonnées sont " échangées ». 2 2

C. Lainé Page | 6 5) Les points

2Mπ

et

2Mπ

de l"affirmation précédente sont symétriques par rapport à l"axe des ordonnées. Ils ont donc la même ordonnée mais des abscisses opposées. Ceci permet d"établir le résultat pour les points ()Mθ et

2Mπ

4. Équations trigonométriques

1) Équations ()()cos cos=xa

Propriété 5 : Soit a un nombre réel.

L"équation cos

x = cos a admet pour solutions les nombres réels +π2a k et - +π2a k où k est un nombre relatif.

Démonstration :

Graphiquement, il existe deux points M et M" sur le cercle trigonométrique c qui correspondent à des angles qui ont le même cosinus. Ces deux points sont symétriques par rapport à l"axe des abscisses (OI). On retrouve ici la propriété énoncée au paragraphe précédent concernant les angles associés : pour tout réel x, cos(-x) = cos x.

Exemple : L"équation cos cos

3

π=x

a pour solution 2 3π

π+k et 2

3π

π- +k où k est un entier

relatif.

2) Équations ()()sin sinx=a

Propriété 6 : Soit a un nombre réel.

L"équation sin

x = sin a admet pour solutions les nombres réels +π2a k et - +π2a k où k est un nombre relatif.

Démonstration :

Graphiquement, il existe deux points M et M" sur le cercle trigonométrique c qui correspondent à des angles qui ont le même sinus. Ces deux points sont symétriques par rapport à l"axe des ordonnées (OJ). On retrouve ici la propriété énoncée au paragraphe précédent concernant les angles associés : pour tout réel x, ()sin sinπ- =x x.

Exemple : L"équation sin sin

6

π=x

a pour solution 2 6π

π+k et 52 2

6 6π π

π π π- + = +k k où k

est un entier relatif.quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50