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Deux vecteurs non nuls sont colinéaires si, et seulement si, ils ont la même direction • Le vecteur nul 0 est colinéaire à tous les vecteurs Exemples : a) ( 2 ; – 3 ) 

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Colinéarité de deux vecteurs

I) Propriété caractéristique de colinéarité de deux vecteurs :

1) Définition

un nombre réel ࣅ non nul tel que ࢜

Exemple :

Remarque :

• Deux vecteurs non nuls sont colinéaires si, et seulement si, ils ont la même direction. est colinéaire à tous les vecteurs.

Exemples :

a) ݑ,& ( 2 ; - 3 ) et ݒԦ ( 10 ; - 15 ) sont colinéaires en effet 10 = 2 x 5 et -15 = -3 x 5

donc ݒԦ = 5 ݑ b) ݑ ,& ( 1

3 ; - 3

5 ) et ݒԦ ( 2

9 ; - 1

5 ) sont colinéaires en effet 2

9 = 1 3 x 2

3 et - 1

5 = 1

3 x- 3

5 donc ݒԦ = 1 3 c) ݑ ,& (4 ; 5 ) et ݒԦ (8 ; -10 ) ne sont pas colinéaires en effet : ,& 0 et ݒԦ 0 et s'il existe א ߣ Թ tel que ݒԦ = ߣݑ,& , alors 8 = ߣ -10 = ,& et ݒ& sont colinéaires

2) Propriété

Dans un repère, on donne les vecteurs ࢛,,& (࢞ ; ࢟) et ࢜,,&(࢞ǯ ; ࢟')

,& et ࢜,,& sont colinéaires, si, et seulement si, ࢞ ࢟ǯ Ȃ࢟࢞ǯ = 0

Exemples :

& ( 7 ; - 4 ) et ݒԦ ( 14 ; 8 ) sont-ils colinéaires? Réponse : 7 ൈ 8 - (-4)ൈ 14 = 56 - (-56) = 56 + 56 = 112 ് 0

Démonstration :

& (ݔ ; ݕ) et ݒԦ(ݔǯ ; ݕ'). ࢞࢟ǯȂ࢟࢞ǯ = 0 : existe un réel par : ࢞' = ࣅ࢞ et ࢟' = ࣅ࢟ Si l'un des vecteurs est nul alors la relation est clairement vérifiée. • Montrons maintenant la propriété réciproque : & et ݒԦ sont colinéaires :

Supposons

* Si ݔ ് Ͳ alors ݔݕǯȂݕݔǯ = 0 peut s'écrire : ݕǯ ൌ c'est-à-dire ݕǯൌࣅ࢟ avec ࣅ = ௫ǯ . Et comme ௫ǯ ௫.ݔ = ݔǯ on a aussi ݔǯൌࣅ࢞ .

Donc le vecteur

* Si ݕ ് Ͳ alors ݔݕǯȂݕݔǯ = 0 peut s'écrire : ݔǯ ൌ c'est-à-dire ݔǯൌࣅ࢞ avec ࣅ = ௬ǯ . Et comme ௬ǯ ௬.ݕ = ݕǯ on a aussi ݕǯൌࣅ࢟

Donc le vecteur

Remarque :

II) Vecteurs directeur d'une droite :

1) Définition

deux points distincts A et B de cette droite (d) tels que ࢛

2) Théorème

L'ensemble des vecteurs directeurs de (d) est ൛࢜ quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50