Fonction réciproque d'une fonction continue, d'une fonction dérivable EXEMPLES ON SE LIMITERA 1) Condition d'existence d'une fonction réciproque
Exposé 65 : Fonction reciproque d'une fonction continue strictement monotone sur un intervalle de » Exemple Pre requis : - notion d'intervalle - bijection
· Par exemple, soit la fonction f(x)=(x+1)2 = y avec domaine D = {x : x ≥ −1} · L' image R de cette fonction est R = {x : x ≥ 0} (puisque f(x) peut prendre
L'application ̂ fE est alors une bijection de E sur f(E ) Par exemple, la restriction de la fonction sinus `a [−π/2, π/2] est injective et l'application de
Remarque 1 Rappelons que toute fonction bijective admet une fonction réciproque Exemple 2 Montrer que la fonction f (x) = x3 est bijective Solution : Montrons
la fonction f Pour x dans I et y dans J il y a équivalence entre y = f(x) et x = f−1(y) Exemple : Voici un exemple : la fonction logarithme définie sur ]0; +∞[ et la
Application : Nombre de racines d'une équation à partir de l'étude des variations de la fonction correspondante c) Exemples Fonctions réciproques de ln,
Correction du problème 1 – Etude d'une fonction réciproque PARTIE I Si par exemple en −∞, cette limite est ℓ > −∞, on obtient, par croissante, g(R) ⊂ [ℓ
Proposition 3 : f est injective si et seulement si f est strictement monotone démonstration : "⇐" : Supposons par exemple f strictement croissante (l'autre cas se
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Exposé 65 : Fonction reciproque d"une fonction continue strictement monotone sur un intervalle de ?. Exemple.
Pre requis :
- notion d"intervalle - bijection - continuité et derivabilité d"une fonction - theoreme des valeurs intermediaires dans tout l"exposé, I designe un intervalle non vide de ?. On note( )mC Il"ensemble des fonctions continues et strictement monotones sur I.
1) Fonction reciproque
Theoreme : Si ( )mf C I? alors f realise une bijection sur ( )f I
Preuve :
( )f I est un intervalle d"apres le theoreme des valeurs intermédiaires : ( )f I f I→ est surjective par construction Soit 2
1 2( , )x x I?, supposons fstrictement croissante (on change le sens des inegalité si elle
est strictement decroissante, ou on considere f-qui sera alors strictement croissante)
1 2 1 2( ) ( )x x f x f x< ? Definition : Soit
( )mf C I?. L"application qui a tout ( )y f I? associe son unique antecedent par la fonction f est appelée fonction reciproque de f. On la note 1f- Remarque :
1( )( )
y f xx f y x Iy f I Si ( )mf C I? alors 1 If f Id-=? et1
( )f If f Id-=? Preuve (si le jury le demande)
, ( )x I y f I? ?tel que 1( ); ( )y f x x f y-= = 1 1 1( ) ( )If f x f y x f f Id- - -= = ? =? ?
2) Propriete de la fonction reciproque
a) Sens de variation Proposition : Si ( )mf C I? alors 1f- est strictement monotone sur ( )f I et a le même sens de variation que f. Preuve : cas où f est strictement croissante sur I Soient
2 1 2( , ) ( ( ))y y f I? tel que 1 2y y<. On pose 1 1 2 2( ), ( )x f y x f y= =
1 1 1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )y y f x f x x x f y f y- -< ? < ? < ? <
L"implication du milieu vient du fait que
f est croissante donc 1 2 1 2( ) ( )x x f x f x< ? < or si on prend la contraposé on a b) Continuité Lemme : Soit ( )mf C I?.( )f I est un intervalle si et seulement si f est continue sur I. Preuve : cela vient du fais que l"image d"un compact par une fonction continue est un compact. Propriété : Si
( )mf C I? alors 1f- est continue sur ( )f I. Preuve ( à faire) :
fest continue et strictement monotone sur I donc fest bijective de I sur ( )f I. fcontinue implique ( )J f I=est un intervalle, or 1f- existe et est strictment monotone d"où 1( )f J I-=, intervalle, ce qui entraine 1f-continue.
Exemple :
[ ], 1,1:2 2 sinf x x c) Dérivabilité Theoreme : Soit ( )mf C I? et ox I? tel que f soit derivable en ox et "( ) 0of x≠ Alors 1f- est dérivable en ( )o oy f x=et on a 1 11 1( )"( )
"( ) "( ( ))o o of yf x f f y Remarque : il se peut que
f ne soit pas derivable en un point et que 1f-le soit. Sur le graphe f aura une tangente verticale, et donc 1f-une tangente horizontale. Preuve (du theoreme) :
Montrons que
1 1( ) ( )1lim , "( ) 0"( )o
o oy yo of y f yf xy y f x- - La fonction
f étant dérivable en ox, on a ( ) ( )"( ) lim o o ox xof x f xf xx x -=-, comme 1f- est continue en oy, le théoreme de compositions de limites donne : 1 1 1 1( ( )) ( )"( ) lim lim
( ) ( ) ( )oo o o ox x y y oo f f y f x y yf x f y x f y f y Cette limite etant supposée non nulle, d"apres le theoreme de l"inverse d"une limite,on a (en fait c"est le theoreme des compositions de fonction avec la fonction inverse, sur un point non nul donc ou la fonction onverse est definie) 1 1( ) ( )1lim , "( ) 0"( )o
o oy yo of y f yf xy y f x- - Exemple :
2 21 1 1(arctan )"1 1 tan (tan )"
tan arctanx x y y y x y x= = = d) Graphe Soit ( )mf C I?
Graphe de
f :={}( , ( );fG x f x x I= ? Graphe de
1f- := {}{}1
1( , ( )); ( ) ( ( ), );fG y f y y f I f x x x I-
1fG- est donc le symetrique de fG par rapport à la 1ere bissectrice
Dessin
3) Exemple
a) Fonction exponentielle et logarithme neperien. exp:? +→? ?exp est continue et strictmenent monotone sur ? exp( ) Elle admet une fonction reciproque qui est ln:
( , ) ( , ln )xx e y y x y? dessin b) Fonction tangente et arctangente tan: ,2 2π π? ?- →? ?? ??, tan est continue et strictement monotone sur cet intervalle. tan ,2 2π π( )? ?- =( )? ?? ?( )?, elle admet donc une fonction reciproque notée arctan. arctan: ,2 2 ( ), ,tan ,arctan2 2x x y y y xπ π( )? ?? ? - = ? ? ? =( )? ?? ?( )? dessinquotesdbs_dbs4.pdfusesText_7
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