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Si f : I → f(I) est bijective et si sa réciproque est conti- de dérivabilité et calculer la dérivée des fonctions suivantes 1 Soit le polynôme P(x) = x3 − 4x + 2

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Mathématiques B30

Fonctions polynomiales et rationnelles

Module de l'élève

2002
-10 10 -1010 x y

Mathématiques B30

Fonctions polynomiales

et rationnelles

Module de l'élève

Bureau de la minorité de langue officielle

200
2

P.ii - Math B30 - Fonctions poly. et rationnelles

Liste des objectifs du programme d'études de Mathématiques B30

Objectifs généraux

L'élève sera capable de:

• Démontrer l'habileté à représenter graphiquement et à analyser les graphiques de fonctions polynomiales et rationnelles • Démontrer sa compréhension de la réciproque d'une fonction

Objectifs spécifiques

L'élève sera capable de:

F.1 Définir et illustrer les fonctions polynomiales et rationnelles F.2 Tracer le graphique de fonctions polynomiales et rationnelles dont les coefficients sont des nombres entiers, à l'aide de la calculatrice ou de l'ordinateur F.3 Analyser les caractéristiques des graphiques de fonctions polynomiales et identifier les "zéros" de ces graphiques F.4 Définir, déterminer et esquisser la réciproque d'une fonction, là où elle existe F.5 Définir, déterminer et esquisser l'inverse (multiplicatif) d'une fonction

Remerciements

Certains exercices et exemples ont été adaptés, avec permission, des documents de B. Thiessen (Mathematics B 30, Saskatoon Public School Division, 1999) et d'Algèbre 30, manuel de l'élève, BMLO, 1988.

P.1 - Math B30 - Fonctions poly. et rationnelles

-4 4 -44 x y

3. Les fonctions polynomiales et leurs graphiques

1.1 Définition et illustration d'une fonction polynomiale

Une fonction polynomiale est habituellement décrite comme:

EFfx ax a x a x ax a

nn nn nn

ZH H HHH

JJ JJ11 22
10 où est un nombre entier positif et est le premier coefficient de la fonctionna n polynomiale. On rédige habituellement les fonctions polynomiales en ordre descendant. On peut aussi représenter graphiquement une fonction polynomiale. Par exemple, le graphique de la fonction aurait l'allure

EFfx x xZJ2

32
suivante.

P.2 - Math B30 - Fonctions poly. et rationnelles

-10 10 -1010 x y

1.2 Comment tracer une fonction polynomiale

À partir de nos connaissances antérieures, nous avons une petite idée des étapes à respecter pour tracer une fonction. Exemple 1 : Trace le graphique de la fonction polynomiale

EFfxxx xxZHJ JH

43 2
76
Solution: La méthode de base consiste à construire un tableau des valeurs et à utiliser les coordonnées de ce tableau pour tracer le graphique. x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 EFfx

90 0 -12 0 6 0 0 48 210

Le graphique correspondant est le suivant.

P.3 - Math B30 - Fonctions poly. et rationnelles

-4,5 5,0 -55 x y Dans l'exemple précédent, on remarque qu'il n'est pas nécessairement facile de tracer les subtilités de la courbe en utilisant seulement quelques coordonnées. À partir de l'exemple suivant, nous allons découvrir que plusieurs caractéristiques des graphiques de fonctions polynomiales peuvent être obtenues à partir d'un examen des équations. Exemple 2 : Dessine le graphique représentant la fonction et

EFfxx x

3 4J détermine les principales caractéristiques.

Solution: Construisons un tableau des valeurs

x -4-3-2-101234 EFfx -48 -15 0 3 0 -3 0 15 48 Utilisons les coordonnées trouvées dans le système d'axes afin d'obtenir le graphique.

P.4 - Math B30 - Fonctions poly. et rationnelles

-10 10 -1010 x y On remarque que la courbe rencontre l'axe des x en trois endroits: les abscisses à l'origine ou les zéros (réels) sont donc -2, 0 et 2. On remarque aussi que le degré le plus élevé de la fonction

EFfx x xZJ

3 4 est 3. On dit alors que le degré de la fonction est 3. Le degré d'une telle fonction indique le nombre de zéros (réels ou complexes). Le premier terme de la fonction correspond à celui dont le degré est le plus élevé. Dans notre exemple, le premier terme de la fonction est . Le

EFfx x xZJ

3 4x 3 premier coefficient est le nombre accompagnant la variable de ce premier terme. Le premier coefficient de la fonction est 1.

EFfx x xZJ

3 4 La fonction a un maximum local à (-1, 3) et un minimum local à (1,-3). Ces points correspondent à des extremums ou points extrêmes. Une autre des caractéristiques d'une fonction peut être déterminée en examinant l'équation. Il s'agit de la constante de la fonction. Par exemple, pour la fonction , la constante est -15.

EFfx x xZHJ

2 415
On donne des noms spécifiques à certaines fonctions. Par exemple, une fonction dont le degré est 1 s'appelle linéaire. Une fonction du second degré est dite fonction quadratique, alors que des fonctions de degré trois sont dites cubiques. Exemple 3 : Détermine le degré, le premier terme, le premier coefficient et la constante de la fonction . Ensuite, nomme la

Efx x xZJJ

2 34
fonction, trace le graphique, détermine les extrêmes ainsi que les zéros de la fonction.

Solution:

`le degré de est 2; Efx x xZJJ 2 34
`le premier terme est ;x 2 `le premier coefficient est 1; `la constante de la fonction est -4; `la fonction est quadratique; `le graphique de la fonction nous indique que les zéros sont -1 et 4; `la fonction présente un minimum àenviron -6,25.

P.5 - Math B30 - Fonctions poly. et rationnelles

À toi de jouer! (1)

Complète le tableau suivant.

Fonctions

Degré Premier

termePremier coefficientConstante

EFfxZ5

05 5 5

EFfx xZJ H25

EFfx x xZHH

2 56

EFfx x x xZJ H H H

32
2

EFfx x x x xZJ H JJ

542
3743

À toi de jouer! (2)

Pour la fonction , trace le graphique et indique les

EFfxxx xxZHJ JH

43 2
76
extremums (approximativement) ainsi que les zéros de la fonction.

P.6 - Math B30 - Fonctions poly. et rationnelles

-10 10 -1010 x y -10 10 -1010 x y

Ce graphique est celui d'une fonction

définie par l'équation . Il s'agit du yxZ graphique le plus simple d'une polynomiale ayant un degré impair et un premier coefficient positif.

Ce graphique est celui d'une fonction

définie par l'équation . Il s'agit yxZJ du graphique le plus simple d'une polynomiale ayant un degré impair et un premier coefficient négatif.

1.3 Analyse des graphiques de polynomiales

Avant de procéder à l'analyse d'une variété de graphiques de fonctions polynomiales, faisons un rappel de quelques notions de base en ce qui concerne l'interprétation des graphiques.

On "lit» un graphique de gauche à

droite et les quadrants sont numérotés en chiffres romains dans le sens inverse des aiguilles d'une montre comme l'indique la figure ci-contre. On peut aussi identifier quatre graphiques de base pour les polynomiales qui nous serviront de points de référence lors de notre analyse des caractéristiques des graphiques d'autres polynomiales.

P.7 - Math B30 - Fonctions poly. et rationnelles

-10 10 -1 0 10 x y -10 10 -1010 x y

Ce graphique est celui de la fonction

définie par l'équation . Il s'agit du yxZ 2 graphique le plus simple d'une polynomiale ayant un degré pair et un premier coefficient positif.

Ce graphique est celui de la fonction

définie par l'équation . Il s'agit yxZJ 2 du graphique le plus simple d'une polynomiale ayant un degré pair et un premier coefficient négatif. -10 10 -1010 x y -10 10 -1 0 10 x y yxZJ32 yxZJ J2

À toi de jouer! (3)

Les graphiques ci-dessous représentent une brochette de polynomiales. Examine ces graphiques et ensuite, nous en ferons l'analyse afin d'en tirer les principales conclusions.

1. 2.

P.8 - Math B30 - Fonctions poly. et rationnelles

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