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Daniel ALIBERT cours et exercices corrigés volume 2 1
Daniel ALIBERT
Relations d"ordre. Entiers. Anneaux et corps. Nombres réels.
Objectifs :
-Majorer, minorer, chercher le plus grand élément d"un ensemble ordonné, la borne supérieure, faire une récurrence. - Calculer dans un anneau, un corps. - Utiliser l"ordre dans un groupe, un anneau, un corps. - Calculer dans le corps ordonné des réels : chercher une borne supérieure (ou inférieure), majorer, minorer, utiliser les intervalles. Daniel ALIBERT cours et exercices corrigés volume 2 2 Daniel ALIBERT cours et exercices corrigés volume 2 3
Organisation, mode d"emploi
Cet ouvrage, comme tous ceux de la série, a été conçu, dans son format comme dans son contenu, en vue d"un usage pratique simple. Il s"agit d"un livre d"exercices corrigés, avec rappels de cours. Il ne se substitue en aucune façon à un cours de mathématiques complet, il doit au contraire l"accompagner en fournissant des exemples illustratifs, et des exercices pour aider à l"assimilation du cours. Ce livre a été écrit pour des étudiants de première et seconde années des Licences de sciences, dans les parcours où les mathématiques tiennent une place importante. Il est le fruit de nombreuses années d"enseignement auprès de ces étudiants, et de l"observation des difficultés qu"ils rencontrent dans l"abord des mathématiques au niveau du premier cycle des universités : - difficulté à valoriser les nombreuses connaissances mathématiques dont ils disposent lorsqu"ils quittent le lycée, - difficulté pour comprendre un énoncé, une définition, dès lors qu"ils mettent en jeu des objets abstraits, alors que c"est la nature même des mathématiques de le faire, - difficulté de conception et de rédaction de raisonnements même simples, - manque de méthodes de base de résolution des problèmes. L"ambition de cet ouvrage est de contribuer à la résolution de ces difficultés aux côtés des enseignants. Daniel ALIBERT cours et exercices corrigés volume 2 4
Ce livre comporte quatre parties.
La première, intitulée "A Savoir", rassemble les définitions et résultats qui sont utilisés dans les exercices qui suivent. Elle ne contient ni démonstration, ni exemple. La seconde est intitulée "Pour Voir" : son rôle est de présenter des exemples de toutes les définitions, et de tous les résultats de la partie précédente, en ne faisant référence qu"aux connaissances qu"un étudiant abordant le chapitre considéré a nécessairement déjà rencontré (souvent des objets et résultats abordés avant le baccalauréat). La moitié environ de ces exemples sont développés complètement, pour éclairer la définition ou l"énoncé correspondant. L"autre moitié est formé d"énoncés intitulés "exemple à traiter" : il s"agit de questions permettant au lecteur de réfléchir de manière active à d"autres exemples très proches des précédents. Ils sont suivis immédiatement d"explications détaillées. La troisième partie est intitulée "Pour Comprendre et Utiliser" : des énoncés d"exercices y sont rassemblés, en référence à des objectifs. Ces énoncés comportent des renvois de trois sortes : ☺) pour obtenir des indications pour résoudre la question, ) lorsqu"une méthode plus générale est décrite, ) renvoie à une entrée du lexique. Tous les exercices sont corrigés de manière très détaillée dans la partie
3 - 2. Au cours de la rédaction, on a souvent proposé au lecteur qui
souhaiterait approfondir, ou élargir, sa réflexion, des questions complémentaires (QC), également corrigées de façon détaillée. La quatrième partie, "Pour Chercher", rassemble les indications, les méthodes, et le lexique. Daniel ALIBERT cours et exercices corrigés volume 2 5 Certains livres d"exercices comportent un grand nombre d"exercices assez voisins, privilégiant un aspect "entraînement" dans le travail de l"étudiant en mathématiques. Ce n"est pas le choix qui a été fait ici : les exemples à traiter, les exercices et les questions complémentaires proposés abordent des aspects variés d"une question du niveau du L1 L2 de sciences pour l"éclairer de diverses manières et ainsi aider à sa compréhension. Le lecteur est invité, à propos de chacun d"entre eux, à s"interroger sur ce qu"il a de général (on l"y aide par quelques commentaires). Daniel ALIBERT cours et exercices corrigés volume 2 6
Table des matières
1 A Savoir ........................................................................ 9
1-1 Ensembles ordonnés ..................................... 9
1-2 Segments, intervalles.................................. 11
1-3 Entiers ........................................................ 13
1-4 Anneaux et corps ........................................ 15
1-5 Les nombres réels ....................................... 17
2 Pour Voir .................................................................... 19
2-1 Ensembles ordonnés ................................... 19
2-2 Segments, intervalles.................................. 28
2-3 Entiers ........................................................ 32
2-4 Anneaux et corps ........................................ 40
2-5 Les nombres réels ....................................... 44
3 Pour Comprendre et Utiliser ...................................... 55
3-1 Énoncés des exercices ................................ 55
3-2 Corrigés des exercices ................................ 73
3-3 Corrigés des questions complémentaires . 129
4 Pour Chercher ........................................................... 139
4-1 Indications pour les exercices .................. 139
4-2 Méthodes .................................................. 147
4-3 Lexique ..................................................... 151
Daniel ALIBERT cours et exercices corrigés volume 2 7 Daniel ALIBERT cours et exercices corrigés volume 2 8
1 A Savoir
Dans cette partie, on rappelle rapidement les principales définitions et les principaux énoncés utilisés. Vous devrez vous référer à votre cours pour les démonstrations. Vous trouverez des exemples dans la partie 2*Pour Voir.
1-1 Ensembles ordonnés
Définition
Une relation réflexive, antisymétrique et transitive est une relation relation d"ordre est dit ordonné. Soient x et y des éléments d"un ensemble ordonné, la relation : x est notée : x < y. Une relation d"ordre est dite totale si pour tout x et tout y on a x on dit que l"ordre est partiel.
Définitions
Soit E un ensemble ordonné et F une partie de E. On dit que y est un majorant de F dans E, si y est un élément de E et si pour tout x de F, y ≥ x. On définit de même les minorants de F dans E par : y Î E, et pour tout x de F, y Daniel ALIBERT cours et exercices corrigés volume 2 9 L"ensemble des majorants de F dans E est noté MajorE(F), et l"ensemble des minorants Minor E(F). Si F admet un majorant, on dit que c"est une partie majorée de E. On définit de même une partie minorée. Si F est à la fois majorée et minorée, on dit que c"est une partie bornée.
Propriété
Un plus grand élément de F est un majorant de F qui appartient à F : si F a un plus grand élément, il est unique, on le note max(F). De même un plus petit élément de F, s"il existe, est unique, et noté min(F).
Définition
Un élément a de E est la borne supérieure de F dans E si a est le plus petit des majorants de F dans E. Si F n"est pas majoré dans E, il n"a donc pas de borne supérieure.
Si a existe, il est unique, on le note sup
E(F). Un élément de E est la borne inférieure de F dans E si c"est le plus grand des minorants de F dans E. Si cet élément de E existe, il est unique, on le note infE(F).
Propriété
Si max(F) existe, alors supE(F) existe aussi et on a max(F) = supE(F).
Définition
Soient E et F des ensembles ordonnés, et f : E ® F une application. On dit que f est croissante si on a l"implication, pour tout x et tout y de E: x £ y ⇒ f(x) £ f(y). On définit de même les applications décroissantes. On dit que f est monotone si elle est croissante ou décroissante. Daniel ALIBERT cours et exercices corrigés volume 2 10 Enfin, on dit que f est strictement croissante si l"implication suivante est vraie : x < y ⇒ f(x) < f(y).
1-2 Segments, intervalles
Définition
On définit de même les segments ouverts, semi-ouverts. On appelle section finissante, fermée, d"origine a, la partie de E définie par : [a , ®[ = {x Î E | a On définit de même une section commençante, noté ] ← , a], et les sections ouvertes.
Propriété
Un segment est une partie bornée, qui admet une borne supérieure et une borne inférieure.
Définition
Propriété
Tout segment est un intervalle.
Daniel ALIBERT cours et exercices corrigés volume 2 11
Propriété
Dans un ensemble totalement ordonné, si I est un intervalle, et si a = inf(I) et b = sup(I) existent, alors I est un segment contenu dans [a , b] et contenant ]a , b[. Daniel ALIBERT cours et exercices corrigés volume 2 12
1-3 Entiers
Définition
Soit E un ensemble totalement ordonné, et x, x" des éléments de E. On dit que x" est le successeur de x, et on note x" = succ(x), si : x < x" et, ]x , x"[ = AE. On définit de même le prédécesseur de x, noté pred(x).
Propriété
Un élément x de E a au plus un prédécesseur, et au plus un successeur. S"ils existent, on a pred(succ(x)) = succ(pred(x)) = x.
Définition
a- Soit E un ensemble ordonné. On dit que E est bien ordonné (BO) si toute partie non vide A de E admet un plus petit élément. b- Soit E un ensemble bien ordonné. On dit que E est naturellement bien ordonné (NBO) si tout élément de E, sauf min(E), a un prédécesseur.
Propriété
Un ensemble bien ordonné est totalement ordonné.
Définition
On définit N comme un ensemble totalement ordonné, n"ayant pas de plus grand élément, dans lequel toute partie non vide a un plus petit élément, et tout élément sauf min(N) a un prédécesseur. L"ensemble N est donc un ensemble naturellement bien ordonné, sans
élément maximum.
Daniel ALIBERT cours et exercices corrigés volume 2 13
Propriété
Si E est un ensemble NBO sans élément maximum, alors il existe une bijection croissante de N sur E. En ce sens, N est "unique".
Propriété
Dans N, tout élément a un successeur.
Définition
Soit P : N ®{vrai, faux} une propriété. Soit a un élément de N. On dit que P est récursive à partir de a si pour tout x de N supérieur ou égal à a on a l"implication : si P(x) = vrai, alors P(succ(x)) = vrai.
Théorème
Soit P une propriété sur N, récursive à partir de a. S"il existe un élément b de N, plus grand que a, tel que P(b) = vrai, alors P(x) est vrai pour tout x supérieur à b.
Propriété
Dans N,
1) toute partie majorée a un plus grand élément.
2) les intervalles sont les segments fermés et les sections finissantes
fermées.
1-4 Anneaux et corps
Définition
Soit (E, T, ´) un ensemble muni de deux lois de composition interne.
On dit que (E, T, ´) est un anneau si :
Daniel ALIBERT cours et exercices corrigés volume 2 14
1- (E, T) est un groupe commutatif,
2- ´ est associative et admet un élément neutre différent du neutre de T,
3- ´ est distributive par rapport à T.
Si de plus
´ est commutative, on dit que l"anneau est commutatif.
Dans la pratique, on note le plus souvent + et
´ les lois d"un anneau, et 0,
et 1 les éléments neutres respectifs de ces lois. NB : on n"inclut pas toujours l"existence d"un élément neutre pour
´ dans
la définition d"un anneau. Dans ce cas, la définition donnée ci-dessus correspond à un "anneau unitaire".
Définition
Soit (E, T, ´) un ensemble muni de deux lois de composition interne.
On dit que (E, T, ´) est un corps si :
1- (E, T, ´) est un anneau commutatif,
2- Tout élément de E sauf le neutre de T a un symétrique pour ´ .
Définition
Dans un anneau (A, +, ´), un élément a est un diviseur de 0 s"il existe un élément b de A, non égal à 0, tel que : a ´ b = 0. Un élément a est nilpotent s"il existe un entier naturel n tel que : an = 0. Un élément a est inversible s"il existe un élément b de A tel que : a ´ b = 1. Un anneau est dit intègre s"il ne possède pas de diviseur de zéro différent de 0. Daniel ALIBERT cours et exercices corrigés volume 2 15
1-5 Les nombres réels
Définition
On appelle groupe ordonné un groupe (G, T) muni d"une relation d"ordre £ compatible avec T, c"est-à-dire telle que pour tout x, tout y, tout x", tout y" de G on ait l"implication : x £ y et x" £ y" ⇒ x T x" £ y T y". (On peut composer des inégalités.)
Définitions
On dit qu"un groupe (G, T, £) totalement ordonné, d"élément neutre e est archimédien, si pour tout x tel que e < x, et tout y de G, il existe un entier n tel que : y < xn. Un anneau A est ordonné si le groupe (A, +) est ordonné, et si, de plus, on a l"implication : x ≥ 0 et y ≥ 0 ⇒ x.y ≥ 0. Si A est un corps, on dit que c"est un corps ordonné s"il est totalement ordonné.
Propriété
Dans un anneau totalement ordonné, pour tout élément a, le carré a2 est supérieur ou égal à 0.
Théorème et
définition Il existe un unique corps ordonné (R, +, ´) ayant la propriété suivante : Toute partie non vide majorée de R a une borne supérieure dans R. Daniel ALIBERT cours et exercices corrigés volume 2 16 Partie entière d"un réel. Pour tout réel a, il existe un unique entier n tel que : n £ a < n+1, cet entier est appelé la partie entière de a, et notée E(a), ou [a]. Développement décimal d"un réel, à l"ordre n. Pour tout réel a, et tout entier n, il existe un unique rationnel D n tel que : 10 nDn est entier, et Dn £ a < Dn + 10-n , ce nombre rationnel est appelé le développement décimal à l"ordre n de a.
Propriété
Dans R, les intervalles sont les segments, les sections finissantes ou commençantes, et R. Daniel ALIBERT cours et exercices corrigés volume 2 17
2 Pour Voir
Dans cette partie, on présente des exemples simples des notions ou résultats abordés dans la partie précédente. Ils sont suivis de questions très élémentaires pour vérifier votre compréhension.
2-1 Ensembles ordonnés
"Une relation réflexive, antisymétrique et transitive est une relation d"ordre." exemple 1 Sur N*= N - {0}, outre la relation d"ordre usuelle, on utilise souvent la relation de divisibilité : a | b s"il existe un entier naturel n tel que : b = n a.
D"abord, a | a, évidemment, quel que soit a.
Si a | b et b | a, il existe p et q entiers naturels tels que a = pb, b = qa, donc a = pqa, 1 = pq donc p = q = 1 et a = b. Enfin, si a | b et b | c, il existe p et q tels que b = ap, c = bq d"où c = (pq)a, et a | c. Noter toutefois que ces deux relations sont très différentes : la première est une relation d"ordre total, la seconde est une relation d"ordre partiel. Ainsi, si ® symbolise la relation entre un plus petit et un plus grand, on a les schémas :
1 ® 2 ®3 ®4®5 ®6 pour le premier ordre,
et pour le second ordre : Daniel ALIBERT cours et exercices corrigés volume 2 18 exemple 2 (à traiter) D"autres relations d"ordre sont importantes, comme l"inclusion entre parties d"un ensemble. Dans P({1, 2, 3}), muni de la relation d"inclusion, faire un schéma de relation analogue à celui dessiné ci-dessus. Cet ordre est-il total ? # réponse Il y a six éléments : Ø, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {2, 3}, {1, 3}, {1, 2, 3}. Le schéma ci-dessous montre, à l"évidence, que l"ordre n"est pas total. Daniel ALIBERT cours et exercices corrigés volume 2 19 exemple 3 (à traiter) On définit également un ordre sur les ensembles de fonctions à valeurs dans un ensemble ordonné (R par exemple). Dans l"ensemble F(]0 , 1], R) des applications de ]0 , 1] dans R, on pose : f Vérifier que c"est bien une relation d"ordre. Ordonner l"ensemble des fonctions "puissance" : x ® x n (n entier naturel).
Cet ordre est-il total ?
# réponse La vérification ne pose aucune difficulté. Soit f, g : ]0 , 1] --. R, on a : "x, f(x) "x, f(x) "x, f(x) Daniel ALIBERT cours et exercices corrigés volume 2 20quotesdbs_dbs19.pdfusesText_25
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