[PDF] [PDF] Majorant - PédagoTech de Toulouse INP

[PDF] Majorer, minorer Quelques méthodes de majoration ou de minoration

Les outils pour obtenir une majoration ou une minoration de fonction sont adaptés aux différentes formes de fonctions 1) Pour majorer une fonction f sur D ⊂ R, 

[PDF] Majorer

f) Etudier la convergence simple et uniforme de la suite de fonctions définie par fn(x) = nxe−nx sinx sur [0,π] ; sur R+ ; sur R 3◦ Par convexité a) Montrer que 1 + 

[PDF] Majorant - PédagoTech de Toulouse INP

Ainsi dans ces problèmes de majoration, il faut avoir en tête l'objectif recherché 1 3 Fonctions bornées Par définition, une fonction bornée s'il existe deux réels M  

[PDF] Complement : Majorant - Minorant - PédagoTech de Toulouse INP

Pour certaines questions, il pourra etre utile que vous vous aidiez d'un dessin de la fonction a majorer Plus d'une reponse peuvent etre correctes 1- Pour tout x ∈  

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bien majorer » les valeurs absolues lorsque, par exemple, nous voulons particulier d'une différence « petite » (différence entre une fonction et la partie 

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,3] ; [1, +∞[ et ]0,1] Exercice n°5 Soit f une fonction définie sur IR tel que : pour tout x ∈ IR , on a f 

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b L'intervalle [a ; b[, a b, est majoré et minoré, on dit qu'il est borné Démonstration f est une fonction, son ensemble de définition est noté Df 1 Définition

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Première Année à Distance - Module Analyse de Fourier - Majorant/Minorant1

Fiche Technique :Majorant - Minorant

Dans la première partie de cette fiche, nous allons mettre en évidence quelques techniques pour

trouver un majorant ou un minorant d"une fonction donnée. Dans la deuxième partie, nous présenterons

comment il est possible de vérifier si le majorant (resp minorant) trouvé est correct ou non.

1 Comment trouver un majorant ou minorant

Considèrons une fonctionfdéfinie sur un intervalleI. Comment peut-on trouver un majorant de

cette fonction surI. Il n"existe pas de méthode générale qui permette de trouverce majorant (ou

minorant).

Voici quelques pistes :

-utiliser des majorations classiques et faire une majoration "à la main" -utiliser des propriétés particulières de la fonction, par example être bornée.

Nous verrons dans la suite quelques méthodes pour vérifier une majoration trouvées. Voici quelques

possibilites : -utiliser une étude de fonction -utiliser des points particuliers ou des limites, argument souvent utiles pourmettre en défautune majoration plutôt que pourprouverune majoration! On illustrera ces différentes techniques par des exemples.

Quelque soit la méthode utilisée, la connaissance d"un certain nombre demajorations de base, est

indispensable.

1.1 Inégalités à connaître

- Fonctions trigonométriques : sin cos Première Année à Distance - Module Analyse de Fourier - Majorant/Minorant2 - Fonctions puissances : x x 1 1 - Fonction exponentielle : e x≥1 +x?x?R - Fonction logarithme : - Fonction sinus-cardinal : sin Mentionnons tout de suite, le majoration plus générale suivante : |sin c(x)|=? ?sinx x? - Inégalité du triangle - Conséquence de l"inégalité du triangle

1.2 Majoration "à la main"

A partir des inégalités à connaître, il est possible de trouver une majoration "à la main". Voyons

un exemple.

Considérons la fonction suivante :

f(x) =sinx x⎷xavecx >0 Quelle majoration de|f(x)|peut-on obtenir avec les majorations classiques? x⎷xavecx >0 Première Année à Distance - Module Analyse de Fourier - Majorant/Minorant3

2. Grâce à|sin

c(x)|=? sinx x ⎷xavecx >0

3. En écrivant :

|f(x)|=? |sinx| |x|.? |sinx| |x|=? |sinx| |x|?|sinc(x)| on a aussi |sinx|

Toutes ces majorations sont exactes et selon les necessités, c"est l"une ou l"autre qui pourra être

utile. Par exemple, si on étudie l"intégrabilité defau voisinage de0,c"est la deuxième inégalité qui

permettra de conclure. L"intégrabilité au voisinage de +∞de cette même fonction s"appuiera sur la

première (revoir les intégrales généralisées pour écrire en détail tout celà). Par contre, la dernière

inégalité ne sera d"aucun utilité pour l"intégrabilité. Ainsi dans ces problèmes de majoration, il faut avoir en têtel"objectif recherché!

1.3 Fonctions bornées

Par définition, une fonction bornée s"il existe deux réelsMetm, tels que : Géométriquement, le graphe de la fonctionfest compris entre les droites d"équationy=Mety=m.

Supposons par exemple, que

on a aussi et donc ce qui s"écrit encore

Autre cas de figure :

on a encore donc Première Année à Distance - Module Analyse de Fourier - Majorant/Minorant4 et Dans le cas général, prenons le plus grand - en valeur absolue- des nombresmetM,soit

K= max(|m|,|M|)

en utilisant la suite d"inégralités on a ou encore

On a alors une définition plus commode des fonctions bornées :la fonctionfest bornée surIs"il existe

un réelKtel que

Par exemple, la fonction sinus cardinal :

sin(x) xest bornée puisque : ?sin(x) x?

Cette inégalité n"est pas du tout évidente!.. se reporter à un livre de premier cycle pour la démonstra-

tion. Rappelons que sin(x) xconverge vers1quandxtend vers0, donc on prolonge la fonctionsinc(x) par continuité enx= 0en posant :sin c(0) = 1.

2 Techniques pour verifier ou prendre en défaut une majoration

Dans ce qui suit, nous avons listé trois méthode pour vous permettre de vérifier ou de prendre en

défaut une majoration. Ce sont des outils utiles pour vous rassurer sur la majoration que vous avez

trouver.

2.1 Etude de fonction

Montrer que

équivaut à

on peut donc étudier le tableau de variation de la fonction ?(x) =f(x)-g(x) surI. Première Année à Distance - Module Analyse de Fourier - Majorant/Minorant5

Exemple 1Montrons de cette façon la majoration

e x≥1 +x?x?R

On étudie

h(x) = 1 +x-exp(x) surRet on va montrer qu"elle est toujours négative. On a : h ?(x) = 1-exp(x)

Cherchons les valeurs dexqui annule cette dérivée. Pour cela nous devons résoudre l"équation sui-

vante :

1-exp(x) = 0 =?exp(x) = 1 =?x= 0

Lorsquex <0,h

exp(x)≥1. Nous avons donc le tableau de variation suivant pour la fonctionh: x-∞0 +∞ h?(x)+ 0- h 0 L"étude de la fonction h montre quehest toujours négative ou nulle, nous avons donc

2.2 Mise en défaut d"une inégalité

Pour vérifier qu"une inégalité n"est pas exacte, l"une des techniques c"est de prendre des points

particuliers.

Exemple 2Supposons que vous ayez trouver que :

Essayons de trouver un pointx

0oùcos(x0)≥sin(x0).

Considùrons par exemplex

0= 0. Nous avons :

cos(x

0) = 1etsin(x0) = 0

donccos(x

0)≥sin(x0). On peut donc en conclure que la majoration n"est pas valide.

Voici un autre exemple.

Première Année à Distance - Module Analyse de Fourier - Majorant/Minorant6

Exemple 3A-t-on

e x≥xα?α≥0?x?R+

En passant au log elle équivaut à :

x≥αlnx Prenonsx=α, elle devientα≥αlnα, ce qui est faux silnα >1c.à.d.α > e. Exercice 4Montre alors en utilisant la technique précédente d"étude d"une fonction que : e Indication : Etudier le sens de varaition de?(x) =x-αlnx

Une autre technique, s"appuyant sur un raisonnement similaire à la méthode précédente, est d"uti-

liser la limite. Si la fonctiongmajore la fonctionfsurR, alors nous avons que lim

Donc si la limite defest supérieure à la limite deg, alors nous pouvons conclure que la majoration

est fausse. Voyons l"example suivant. Exemple 5Supposons que nous ayons trouvé la majoration suivante : ?x?R

Considérons la limite en+∞des deux termes de cette inégalité. Nous obtenons pour le membre de

gauche lim x→+∞f(x) = limx→+∞ln?⎷x?= +∞ et pour le membre de droite lim x→+∞g(x) = limx→+∞ x x+ 5= 1

Il est clair que la limte defest supérieure à la limite deg, donc la majoration n"est pas valable.

3 Conclusion

Il est clair que l"étude de fonction est la méthode la plus générale pour vérifier si une majoration

est correcte. Mais elle peut prendre du temps si la fonction àétudier est compliqué.

La deuxième méthode n"est intéressante que si un point où la majoration n"est pas valable est

facile à identifier. Dans le cas où aucune point ne semble présenter un problème, cette méthode ne

fonctionnera pas et risque de prendre beaucoup de temps.

La même remarque peut être faîtes pour la troisième méthode.Malgré leur limitation, ces deux

méthodes, lorsque on a un peu d"expérience, peuvent s"avérer fort utile et peuvent sauver pas de temps

et de stress. L"idéal est de sensir quelle méthode est plus adaptée au problème considéré.quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47