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appliquées à l'informatique Luc De Mey Ces notes de cours sont disponibles à l' adresse : www courstechinfo be/Math_Info pdf Dernière révision : 6 mai 2013 

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Décimal Binaire Octal Hexadécimal BCD 211 11010011 323 D3 1000010001 341 101010101 525 155 1101010101 207 11001111 317 CF

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IRAStsurn6dekathikirleet

L'INFORMATIQUE

SOMMAIRE :

A,3ysittmemdnurnfratiori.........,........i............in.......,, ......., """".1 - ?Frd.1117Ple 11011. ................g

I- Introduction •• ........................................................................................................... 8

1.Apercu bistorique .. ...........................................................................8

2.Exemples de systernes de numeration .......................................................... 9

II- Des systemes positionnels ... ........ .. ...... .., . 1 0

1 .( ) W e s t c e ( p e w ] . s y s t e r n e d e n u m e r a t i o n2 1 0

2 .Principe (rune base......................................... . . 1 0

3 .L e s s y s t e m e s p o s i t i o n n e l s - 1 1

III- L'unit(i dc l'infortnati on et ses multiples , ........................................................... 12

IV- Passage de la base decimal a tine base quelconque -. 12 V1- Passage de la base binaireVerSttne base queleonque .......... ............- . . . 1 3

1.Passage de la base binai re vets leclecimal • ...........................................1.3

2 .P a s s a g e d e l a b a s e b i n a i r ev e t sl ' o e t a f . . 1 3

.3. Passage de la base bioaile very l'oceal: '............................................................. 13

VII- L'arithmetique binaire -.................................................................................. 141. L'addition binaire - ................................................................".•...........................................................................14

2 . L a r n a l l i p l i c a t i o n _ 1 4 -

.3. L a s o u s t r a c t i o n 1 4

4. La division - .....................................................................................4.........................................................................14

VIII- Les hombres fractionneli : ............................., .................................................. 15

1 , C o d a . 1 2 , e a v e c v i r g u l e f i x e - 1 5

2_ Representation dcs nornbres a virgule flottante ............................................ 15

IX- Representation desnombres siunes-..............................................................................16

1_ Parleurvaloura.b,solue.etleursigne. ............................................................,. . ........ 16

2. Ror6sentation des nombres signes clans le code du complement restreint ......... --.16

3_ Representation des norribres signes dans le code du complement vrai .....................17

X- En resumer pour i'arithmetique binairc ; .................................................................19

Xl- Representation des nombres signes .. Exemple sur un octet - , .................... 20 B. Algaire de Boole et logique combinatoire ; .. .... ................, . . . . . . . . 2 0

I. George Book '................................................................................................20

3. Fonctio.ns logiques de base'--................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................21

a. F o n e t i o n O U 1 • . . 7 1

I). Foliation NON ' ................................................................................................... 21

d. Function El (AND) : ................................................... .................. ,................. 23

4. Roglesdsimplificatioad'une function logiotic ' ..................................................24

a_ Commutativite: ............................................................................................... 2.4

b.Associativ ite .. ................................................................................24

c.Distributivite :- ................. ............................................................ 24

d.A u t r e r e g l e s d e s i m p l i f i c a t i o n : . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4

5. •Theorn-ledeMORGAN!....................................................................•.................................... .....,24

6 Table de Karnaugh.............................................................................................24

a_ Principe................................................................................................................. 14

b.Represontation d'un tableau de ICarnaugb ...............................................25 c.Tableau do Karnaugli a 3 variables ;..... ........ .... ....... .................-26 d.Tableau de Karnaugh A. 4 variables ! ....... ...... .. .. . ,, ............... ...... .. 26 e.Ecriture dans le tableau de KARNA1.1014.................................................... 27 onivriomy.2:

Resum6deEathodrleet

L'INFORMATIQUE

f_ R.ep4ragedezonescianslintableaude.Krris.u0..,,,,,,,... g_ Lecture dune font [iondansun tableau de karriaugh h, Regtoupetnentdecasesdarts1311tableaudeKarnaugh:..... i. Minit'nisntkpudunefonc.tiondansLEntableaudeKornai& j_Restuile-. ................. ..... ........... .. k.cm parki.5l i er ............ ........ , ............... ....N '')9 ...30 ...... 30 ...32 .. 12C.1'unicedernesuredel'infurrnationetses.muttiples:.....33

D.LesJiff-en codb i rmi res ... .... .........

... 33

1,Xfinitioris ............... .... .. , ........ ..........................33

2.Code binairc pur .............-...._.............................................................33

4.ConsltuctioriducodeGray!33

5,Les codes de caracteres ....... ......................

......346.Le code ASCII ............ .... .............. ....' LL..A,,.,'..--...,.,. . .I ...... •........................34

E..Lc..• (16-nombremerlt 1 ............ ., ..........................................31. Notationfactotigile L prorri6ts .:. ... ....... ........... ..............3Y•-

et., Definition ........ .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................. .......35.............b.PropriaL :..... . . . . . . . . . . •. .......... •i..................•................................... 35

2.ArrangemenLSderobjetspannin;................. 35

a.,Lvefinition;.............. ..........................................."..........36

b.AnteckfifiiLion:. .............. ..........................36c.Th4liore:_.'mc.................. . ...........36

3Conibinaisensde r objets panni n : ..........-. 36

a, Definition ;........ . ........ ......... : ........ .. ............... 36

F.Laprobabilitel............... .... ... ....

.....37

I.lrykroduction'..........•.....................................................I........11.99 I. . ...

.. . . . . . . . . .............. . 37

2.UNIVERS DES EVENI:..M1',.NTS 'V .Fe.F...............37. . . . . . . . . . . .. . . ......e_Detinitions ; ........... . . , ,. .••••••........................... .37

b.3. AXIONIES ............................. .. ..............•.....

IA .... .38... 400_Resoudredesprobkme6deprobabilit6etdestatistique......................................... 43

LNotion de vari.otpl es. sualicativcs..... 43

1.Notiondevariablesquantitati%les..... ......... •........................44-

3_Reprsc•niationdes'variablesqualitativesetqualitative&............ 44

4-(:.'alcuidesparambmesdetcndante.. 45

a.Paramfee.fle(enclarieecentrals'....... ...........................................,____45 b.Paramelrt. de dispersion ! .................. ............re, I.,. F .........................,,, , 45 RAVAUX. bIRTGES....... ....... ........ ................................. ....... ... ..... .:.41.3

CIFFPPT/DRIP

L'INFORMATIQUE

PAOCILILE 3 NOTIONS DE MATHEMATIQUES APPLIQUEES A L'INFORMATIQUE

CodeTRI-03Mirka : 60 heves

ECTIF OPERATIONN EL

COMPETENCE

Appliquer desnotionsde base enmathematiquesetstatistiquesen InforrnatiquePRESENTATION

Ce module de competent generale s'inscrit dans la premiere ankle du programme d'etudes at wnstitue un

creatable your l'enseignementdesmodules"Techniquesdeprogrammationstructuree'et'Irstallation d'unPasteinforrnatiquel.

DESCRIPTION

nodeti.stiari basee surcesconcepts,laresoluthide prob:emesell'analyse de siluaticns corcrete.sI'aide de

desresultatsobtenus.

CONTEM Di EN S EIGNEMENT

STRATEGIES 1:YE1 EI SNEM E

Pre...0-:rdesexposesdeconceptstheoriques.surIaintifeauer)amenentlestagMkearesod redes problemos appliquesen informiatiqueet analyser idessituotonsconcAtes. les aulres module.

ACTIATES D'APPREN715.SAGE

differentstypesdc.reprtsentationinterne.

Organiser ei tnaiier de I'Mforrnatim.

Resoudre des problemes de Anombrement, de probabilibe et de statistique.

EVALUATION

Individuelharnent

Travaiiieffectueapartir

de.situVlienspromsaudomainede l'inforrnadque.- da ccnsignes du brmatouf.

Tra.va]effectue

d'unestationdetfavaile1Suntebleur: des manuels de reference techrKues appropries.

MATERIELETEQU1PEMENT

WWI& :

- Notes do cours - lableurs quiperneint

Uflposteinfo!.m.afique

REFERENCES.

OFPUFFIDIZIF5

CONTEXTE D'ENSEIGNEMENT

PRECISIONSErPREALABLES ELEMENTS DE CONTENU

1. Detnir Lin systeme de numeration.Defni.tion de base d'un systeme de nu - Cation et

rangd'unchiffre,

2. Definir les systemesbinaire, octal et • Representation d'un nombre dans Ia base *air%

hexad6oimal. ccialeouh.exadecimale,

3_WO l'uniie de mes,..ire de l'informafion et • Definition de l'unite du me-sure de l'information en

sesmultiples. infctmatique(chiffrebinaireoubit).

Definitiond'unmotbinaire(octet).

systemebinaire(base2).

4. Definir leadifferents codes binaires (binaire • Codage dun nombre decimal enbip.a.renaturel,

nalurel,ASCII...). • Codage thin nombfe decimal et binaireen Gray etviceversa.

Codaged'unnombredecimalenBCDetviceversa.

DefinitionducodeASCII,

A.Effectuer destraitemerttssur desdonnoes• Convertir un nombreen differentssys-.imesde nun:di:ads. numeration.

Ca:culdesoperations(+,.x, dIrecemenldansle

systerrebinairenalurel. rriemoire,adressage). ifferents types de representation de nombres su r l'c

B.Mohlerdes operations logiques.

C.Rasoudredesprobliirnesde

den onibrernent. Alge

Lois fondamentales de l'algebre

de Boole.

Variables II:gigues et valeurs de

idierh'.-s.

Fuictions.legiques,tablesde verbet

simplification des fondions,

Notationfactorielleetproprietes.

Definition des arrangements de rOFPPTIDRIF

L'INFORMAT1QUE

R6surni.de is theorie et

L'INFORMATIQUE

PRECISIONSETPREALABLESELEMENTSDECOMTENtJ

5. Definir le concept de orobebilite.

11-iijoremedunombredesous-

coma*:somadescombinaisortspossibles,

DefinirlanotiondeprobabiRe.

Donner!eselementsd'unespyceechantionnal.

Definir1notionIle'variableeidetypede

variablestatistique_

Idenlifierletypedevariable

statisliqucassoci6eaurnconterte donne,

D.Resoludredesproblemesdeprobabiiitest

statistique.

Noti;on de variables

qualitatIves.

Nation de variables

quantitalives. R epresentationdesvariablesqualite,ivetet qualitative&

Ca cut des parametfes de

tendance.

Interpretation des pararnetres

de tennnce.

OF'PPTIORIF7i

Fie$IjrniS de la&Idiot*et

L'INFORMATIQUE

A. Systemesdonumeratit.n

I- Introduction

1. Apercu historique

L'aritlimalque est Ntude dcs nombres entiers et des operations. sur ces rombres. La notion de nombres enticrs nous est naturekle et leur eeriture usuelle (0, 1., 2, 2006, ".) L'origine desnombres entiers cstlointaine. Far exemple:les bergcrs de Mulct-trite utilisaient des caillouxcalothesen-Latin) pour faire rent= le soirautantdemoutons qu'ils en amaient fait sortir le matin. Cailloux d'uoe part et moutons d'autrepurl.'f)rrnentdes collections &objets differents ayarii autant d'6Iements Ainsi, au id du temps, partir de collections concretes d'objets pt4Sentaot le mame caracthre slest degage. le concept de nombrts entiers. Ensuite, progiessivement,cesentices sant devenus des objets mathernatiques. abstraits, independants des objets'eomptes. Onadonnedesnoms acesnombres(Arioter cependantquiz,parexemple, lesAborige'nes austra]icns n'ont pas dcnom denornbre). Test posh aussi Le probleme de la notation des entiers naturels. IIs sont en nombre Ellimite : comment les.6erire Lous avec en mini mum dc. signs (appelOS chi fires) ? C'est prob116rriede lanumeration. Viendront aussilesoperationselementairessurIcsnombms. cToutefois, une Yeritable arithmetique theorique tarlihmos veut dire nombre a grec ancient, oCi les nombres Scott concuss canine des objets mathentatiques abstraits" iriclependants de lour representation .6eriteet.des objets comp: s, ne s'est constituee clue progressiverneat ; chez. les Bab-Amiens (l7"' skele av-JC), Nis darns la mathematique grecque nombres figures, nioyemies,-suites chez les pythasorieiens, th6.ot-ie du MCI), nombres prerAiers et leur infiilitude (a partir de 500 ans Les madtematieiens arabcs dumoyen ageontrepris et developpe presque tauslesproblernesarithrneti cluesdesgrecs._r> p.'agir&...Mai;fd des ciges

Paety- 19.?7).

Cast de 1'Indc, que nou.s viennent ks notations actuelles. des nombres, transinises par les arabes:et, semble-t-il, le4 {zero (le mot francais chiifre.est une delormation (InMOEarabe oafdopant716m) : q:Onattribue i Brahmaguya, au 76: si6cle, l'invemion du.iero - en fail deja a l'etat latent dons lee mathernatiques indiennes de l'epoque - Hea rusaged'un systeme dcc irrtal positionnel quo l'Occident a.d.optora,.tratstris par les Arabes (Ma'.re )inrsde leas invalions en Arillalousic

FOITPTIORIF8

1141610-74dipIK!MorinetGuidedtravauxNOTIONS DEMATEliMATIQUESAPPLIQUEESA

INFORMATIQUE

(sud dc l'Espagnc ). Brahmagupta enorice marne la teglc des signs relative a 1

2_ Exemplosd systbmes de numeration

a-Lanurn6rdtionEgyptienne synaimPlasIn

1---5Q,k1ItI

03-100e$

probesaus arrnbcdca as!Atom umauraedu panne-mun cacdon unroule-Ru drpwrin. {in lac gli:We cent • rendIlLurEh: in4u4 . mutt ftistreaeln#

01l16jparnm.

i n d i r d dixmine undick; aguricuitleumli,Liatil6uppurlinkte ziuJ

Dealtmilte. asmillionValetulua diy.

Principe :

nurnorationdetype b-L.16eritureImbylonienne Pourles_119tribre$r,rflpris emit 1 et 59casturicdcriturcadditivequin'utiliseque Pour ks nombres s'40.[LintLk5P.eerituresefaitparpaquets"se.par6'sparun. e_space. Le premier pipet compte les unite, lc socond par.jut compte le nombrede soixantaines,letroisinie rinombredesoixantainesauearre", .Pourcbaquepaquetle nornbre,estcomprisentreIit59,

Par exemplc

Remarque ;

D'autressysternesdenurn6rationantOtisatilis65jadis.Voiei plusanelenaupiusrecent

Le systemephalicien

Le systOne gree.

OFPPTIDRIF

fly(11Tr

Nurnerotatinn

battyloniermeNurnerotation usue]le 9 MammadelatheeriegtGuidedutravaimcarigtsNOTIONS DE MATHEMATIQUES AFPLIQUEES A

L'INFORMAT1QUE

Le systemebobreu

Le systeme romain

Le syst&rne desmayas

Le systemc dcs arabes de Bagdad

II- Des systemes positionnels

1.QU' est cc q Li' un sYsteine de numeration 7

Sur lc plan de larepr6e,F3tationdes nornbres, ans'est-vite rendu compte de la difficulte D'associer a ehaque nombre un s)mbele : 0 1 2 ... .. etc.dua'Inverse,eer614,6;eruo signs uniquepourrepresenter un noibrc I II 111 1111 IIII1 .......... De lour dormer un nom : Ces obstacles out oblige les diverscs civiikation3 d'autrefc'is a combiner 1csnontbres et les symbolcs pour &signer desnombrcsSupdrieurs

Example chez 14 Romains:XXIV =X+X-F(V-I )=24

Rafe; unpetitchiffre precedantunplusgrandquelui est soustraitenpriorit6,ertsuite toutchiffreest addiCionn6auSlJtry'arit

Dijfiniarin :

.vpsrAfne d n cl ndy.ail on esti un ensenthk de symbanyiregles Ter.in-Want d rierlre et de nominerlesrtombres. Pour des raisons econornie de noms et desymboles, les systerncs les plus efficaccssons. mix qui represent sur des REGROUPEMENTS en un certain nombre d'61iments., toujours le rmernc.. Cc nombre est appeleBASEde nunt6ration. Les ehiffres qui indiquent lc nombre dedifferentsgroupements obtertusSO111piae4s les ores eeite des mires clans un ordre Bien precis Cemodederegpoupement ehaque chiffreprendone valeur differcnte selon la /Awe qu'il oceupc s'appelle SYSTEMEDENUMERATIONDE POSITION. Tousles systftes de numeration ne se }relentpas. 11yen a de plus pratiquc et de 'mins pratiques.

2_ Principe&me base

La base est le nornbre quiscrt a definir un iystanc de numeration.La base du sysame decimal c-st ("ix alors que cellcdu systemeoctal est huit, Quelque soit L base muneriquc employ6e, elle suit la relation suivante

OFIYPT/DR1F10

0141iivrinitIV

2,:q (Lia=bp.e+ ...........+bv15+b4a4-Fb3a3+b,22+bi+bnac -o b.;chin-m{1eEabasederangi et = aipuissance de la base a d.'exposant de rang i

Exemiopiebale 10 196.- x ]03)± (9 x 10)x x 10)

3, Lessyst6mcspasitionnels

a L .L e s p i k n e

Onkippolic; lvsysiale (1.6c.lirna! (base. 10) le syst&rne winpose de 10 elements sa.voir 0,1, 2,3 4, 5, 6, 7, 8 ct 9. Nene syseme de num6.ration en base 10 rcpose scar dm.tx n't e..an esign

elementaires Le rri6ezinisitle de groupement newt dire One' 10 unites d' un rarkgsonttoujourF regroupees en une unite du rang superietn. Le Int:Tanis= du position vent, lui, que ee. soil [a place' ran elliffre un nornbre • qui lui confcre sa valeur. A'B: Lerangoecupe par un chiffm dans ]a representation d' un nombre naturel est hi place, couir priir de la droite, 0e. lapse per cu chalet!: clans la sC.'rie. despuiSWICeS sLIC.C5SiVeg

3027=(3x103)-F(CT02)(2x101)4(7:n10)b.

Le systetne binaire :

Castte systeine deninnerationen. basedeux_11necomprendque lcliiffres0eelet indiLimml'absence.oulapre nee (Itintunii.4.4.1.3.71rang.. le.:xeinideI0111011=(1x23)-I-(0x2)+(1x21)+(1xf)+11x23)(0x22)+mat) +0x21)E.

Le s stEme Octal

Onappellelesy6tOzieoctkil(base.8)lesyst6mecompose.de.8elementsAsavoir 1 2,•3, 4,

5, 6 et 7_

d,Legs•tbrin Ilexadkirnal

1] enau8Sitaili S.6en inforrnaticruc(voile ASCII, Dansccttc base, on utilise 16 .chilrres; 0 1 ,

2 , 4 , 5 ,6,7:8,9,A,B,C,D,.E et-P. (le chiffre A represente 10 unites : ie chiffre B

repp5sente11unites ) voldiiWTrT-1,77, - 1715TIONSLIF MATIEMATIQUE8 APFL1QUEE AGuidet1etrawauxdiritiesLINFORMATIQUE e.La_basaB D'une maniere generale, on appelle une base B tout ensemble compos 4e B elements partant, de0jusx.iu1B-1

RefilGrgi.le:

1.' inconvenient d' ix petite base, e'en1.111trs grand nombrc de regroupcmcnts, ce qui

Parexemple,1 1 100101 1 01 1 1representsenbasedeuxre.rsombre7351.Parcentre,,unegum& base nkoessite wi grand •nombre de syrnbolcs (trente en base tentc). Labase dixl'a

Passage de la base ilkirrial aune basequelwrique

Le passage de in base decimate. viers n'importc quelle base s'efleciue parla division suc4essive de nombre par le numero de la base correspondante_Le resultat selit dans lc suns irem-6deLadivision.

Dray**:

Sensde feet urz du resultat

FiltalementIresulted est 07)2.=0191910-02

La fame methods est suivie gaeique snit la base de destination, it !;uffira de changer le d6nominateur par 1'indieede labase asavoir 8 pour in base octal et. 16 pour l'hexadecirnal.

0141iivrinitIV

OFPPTIDRIF12

Resum46deIstheorleet

V- Posage dune be quelconque vers]a base decimate

denombredanslabaseequivatente, fAZT0116=A*162+24.161-1-.1*1651=--.149*1.62+2*161+T* 76,4 = 2560 + 32 + 1 =(2593),16 V1- Pasnigt.delabasehinalreversvinebasequelei.,nque

1,Passagedelabasebinaireverstodecimal:

nombredanslabase-Equivalente

IAemnie:

(100102=/*Z.+ 0222+0*21+1*261=8-F0+ + 1 =92.

Passagedelabasebinairevers

(119.7.091) - 191,1_(51)8 7

3,PassagedelabasebinairecieTSI'octal;

Exempie

OFPPT(DRIF

Resume de I thdorie et

Guide de trevatut dirigesNOTIONSDEMATHEMATIQUESAPPLIQUEESA

L'INFORMATIQUE____________

a61001)2LilyIOW/ =(B3)2.6.__ B3

VII- L'arithyndlique birkaire

Les operations arithmetiques binaires c arau!ent de la rri6memaniatqti'en gysterne

Ucimat

1, L'addition binaire

caleiiler 10011 + 10100

2_ LarnulLiplication

Ca1cUler 111 101

ill 10] 11 + 000 +111

100011

3.1.a. soustraetion

Calculef 1101 - 1001 :

1:011 - 100.1 0010

4, La. division

Caieules11000 / 110

11000 110

110100

00000000

00000(0000

quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47